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1、第四章 系统传递函数模型黎明安概述 传递函数分析法是研究系统动态特性的重要方法之一。线性系统的传递函数定义为在全部初始条件为零的假设下系统的输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（驱动函数）的拉普拉斯变换之比。本章摘要传递函数定义及其特性典型环节的传递函数传递函数的其他形式多自由度系统传递函数仿真模型传递函数模型的SIMULINK仿真模型建立弹性梁的传递函数模型 41 传递函数定义及其特性 1 传递函数的作用： 传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学工具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换，可以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的微分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大简化了运算

2、，而且根据传递函数还可以导出系统的频率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性，利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系统进行参数识别。 2 传递函数的定义 设有线性系统的输入为 ,输出为 ,对应的微分方程如下： 其中 称为微分算子，且有 假设 各阶导数的初值均为零，对该微分方程两端取 拉斯变换，则得： 其中 是输出量 的拉斯变换， 是输入量 的 拉斯变换。则定义传递函数为 ,如下： 若给定系统的输入，则系统的输出完全取决于传递函数，其关系如下： 再通过拉普拉斯反变换，可以得到时间域内的输出 （响应）： 表示拉斯变换符号，则“ ”表示拉斯反变换符号。 3 传递函数的特性（1）传递函数只取决

3、于系统结构（或元件）的参数，与外部信号的大小和形式无关。（2）传递函数只能适用于线性定常系统（由拉斯变换的性质可以得到，因为拉斯变换是一种线性变换）。（3）传递函数一般为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的最高次数n高于分子多项式S的最高次数m，即 。（4）由于传递函数是在零初始条件下定义的，因此它不能反映非零初始条件下的运动情况（即瞬态响应）。（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，对于多输入多输出系统，要用传递函数矩阵才能表达系统的输入与输出关系。 4 传递函数的图示方法 将系统分为输入、系统和输出，则可以将整个系统用下图来表示，在动态分析中，如果已知其中的两个部分，分析

4、另一个部分，则形成了正问题和反问题。 运算关系： 已知 , 求 ，称为动态分析正问题； 已知 ， 求 ，称为系统识别问题； 已知 ， 求 ，称为环境预测问题。 4.2 典型环节的传递函数 1 比例环节 凡输出量 正比于输入量 ，其特点是输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节，称为比例环节，其广义动力学方程为： K为环节的放大系数或增益，其传递函数为： 考察一个不计质量的杠杆的力学性能（力学杠杆原理就是一个比例环节，其比例系数是动力臂与阻力臂的比值）。 这里 是力的放大系数。 因为这里不考虑质量，所以系统不会因为有惯性而产生延迟现象。 2 惯性环节（一阶惯性环节） 分析RC串联电路系统的传递函

5、数，以 作为电路中电容器上的电荷， 为电压，则关于电荷的变化满足的动态方程为： 在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，设 为系统的输入力， 为系统的输出位移。对应的机械系统的微分方程为： 上述系统我们称为一阶系统，一阶系统最一般的形式可以表示为: 对上图所示的机械系统，其标准式为： 时间常数为 ，灵敏度为 ，其物理含义是系统在静止状态下的静变形。 为分析方便，令 ，以这种归一化系统为研究模型，即： 3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即： 系统的传递函数为 其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联

6、合使用。 4 积分环节 该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比，即： 这里k为常数，对应的传递函数为： 5 震荡环节（或称二阶振荡环节） 典型的震荡环节通常使用LRC串联谐振电路来表示， 设u为系统的输入电压，uc为电容两端的电压，则根据电路方程有： 将后两式代入电压方程中，则有： 令： ， 这个系统的特点是给定系统一个阶跃输入时，在小阻尼情况下，系统的输出呈现出振荡形式，它的标准形式动态方程为： 例如：单自由度弹簧质量模型是我们经常见到的典型模型，其动力学方程为： 标准形式： 可以对比电学方程和力学方程，其数学模型是等价的。4.3 传递函数的其他形式 1 传递函数的零极点形式 其中K

7、称为增益， 称为系统的零点， 称为系统的极点。极点就是分母多项式等于零的根，不难看出传递函数的极点就是对应的微分方程的特征根。传递函数的零点和极点对系统的动态性能有影响，极点的数目必须要大于或等于零点的数目，或者说，分母的方次要大于等于分子的方次。 （对于分子方次大于等于分母方次的时候，通常要转换成余项研究） 例4-1 设系统的动力学方程为： ，计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。 解： 其中 为固有频率， 为阻尼比 将 因式分解可以得到系统的极点，在这里，系统的极点就是动力系统的特征根： 对于单自由度系统而言，系统的极点是固有频率P和阻尼比 的函数 当 时，极点是一对共轭复数，即：

8、当 时， 沿单位圆上的 点向 点移动，同时 沿单位圆上的 点向 点移动，由此可见：在小阻尼 情况下，传递函数的极点就是系统的 复频率函数。 当 时， 、 在同一B点处，说明此时两极点为相同的负实数。 当 时，两个极点在实数轴上沿反方向运动。 例4-2 如图所示系统，已知 , , , 。试求系统的传递函数。 解：系统的动力学方程为： 对上两式取拉斯变换 以上两式消去变量 2 传递函数的留数形式 我们还可以将传递函数： 写成： 为系统的极点并假定无重根情况； 为系统的留数。 可以证明：各个留数可以通过下式求出： 例4-3 某系统的传递函数为： 将系统模型写成零极点增益模型。 解： 系统的零点： 极

9、点： 增益： 写成留数形式，则有： 同理： 则系统的留数为： 传递函数的留数形式为： 例4-4 已知系统的传递函数为: 将系统模型写成零极点增益模型：解：零极点模型 系统的留数模型： 3 传递函数的并联、串联与反馈链接形式 1） 串联形式：设有两个系统的传递函数分别为： 和 ，将两个系统串联，分析两个系统串联 后的总系统的传递函数。 因为 即H1H2H 结论：当两个线性系统模型串联时，其等效系统的传递函数等于串联系统中两传递函数的乘积， 即： 推广到n个系统串联： 或 注意这里假定极点比零点数目大1,根据这个表达式我们可以将一个高次传递函数分成一系列简单一次传递函式的串联形式。 例4-5 设有

10、两个系统的传递函数分别为： 试求串联系统的传递函数。 解： 2） 并联形式：设有两个系统的传递函数分别为： 和 ，将两个系统并联，分析两个系统并联后 的总系统的传递函数。因其中则H（s） 结论： 当两个线性系统模型并联时，其等效系统的传递函数等于并联系统中两传递函数的和， 即： 推广到n个系统并联： 或 根据这个表达式我们可以将一个高次传递函数分成一系列简单一次传递函式的并联形式，这是留数形式传递函数的带来的优点之一。 例4-6 设有两个系统的传递函数分别为： 求以上两个系统并联后的系统的传递函数。 解： 3） 反馈连接 在控制领域中，常常需要根据系统的输出与系统的输入信息相比较后，再将这个新

11、的信息作为系统的输入，使系统达到某种预期的需要，这种系统称为反馈系统。在下图中，设 是反馈元件的传递函数，这样就构成了反馈系统。传递函数用 表示。C(s) 根据信号的流向，有： 又 即： 得等效传递函数为： 如果是正反馈系统，则有：4 系统的开环传递函数与闭环传递函数 在动力学控制领域中，经常要分析不同支路之间的传递函数情况， 如图所示的反馈系统中，输入信号 与反馈信号 的差值我们称为误差信号 ，系统的输出信号用 表示，系统传递函数表示为 ，反馈元件的传递函数表示为 。 通常在带有反馈系统中，我们定义： （a）前馈传递函数： 是系统的主要传递函数。 （b）反馈传递函数： 它将输出信息通过传递函

12、数 返回到系统。（c）开环传递函数：反馈信号 与误差信号 的比称为开环传递函数，即： 在图中由于有： ，则系统的开环传递函数为： 在此我们可以看到，开环系统的传递函数相当于系统传递函数与反馈传递函数串联形式，而串联形式的传递函数等于 。 开环传递函数也可以理解为系统回路的相加点断开后，以 作为系统的输入，经前馈传递函数，反馈传递函数而产生的输出 ，此时的输出与输入的比值 可以认为是一个无反馈的开环系统的传递函数，由于 与 在相加点的量纲相同。所以，开环系统的传递函数是无量纲的，这个情况是十分重要的。（d）闭环传递函数：输出信号 与输入信号 的比称为闭环传递函数，即： 由于： 则有： 得： 最后

13、的系统的闭环传递函数为：（e）误差传递函数： 由于 ，代入闭环传递函数： 则误差传递函数为： 对照前面讲述的串并联的基本知识可知，系统的闭环传递函数是将系统传递函数与反馈传递函数并联后的总传递函数。 闭环系统的量纲取决于输入和输出的量纲，两者的量纲可以相同也可以不相同。 有时候可以将系统内部分成几个相对独立部分，然后再连接成一定形式，所以系统的开环传递函数和闭环传递函数是针对某个固定系统而言的。 例如: 对于标准二阶系统的传递函数： 如果要把它构造成单位反馈传递函数的闭环系统来等表示，则有： 其中开环传递函数为： 相当于开环传递函数为 ,反馈传递函数等于 根据连接框图可以得到系统的闭环传递函数

14、为：阶段小结：1 传递函数的典型环节（比例环节、微分环节、积分环节，一阶延迟环节。二阶震荡环节）2 传递函数的 零极点增益模型、留数模型、并联模型（简化），串联模型（简化），反馈模型（正反馈、负反馈）3 控制系统的：前馈传递函数、反馈传递函数、误差传递函数、开环传递函数，闭环传递函数。 例4-7 简化下图所示系统结构图，并求系统传递函数 解：这是一个无交叉多回路结构图，具有并、串联，局部反馈，主反馈系统。首先将并联和局部反馈简化如图（b）所示,再将串联简化如图（c）所示。 容易得到前馈传递函数为： 系统开环传递函数为: 系统闭环传递函数为: 误差传递函数为:4.4 多自由度振动系统的传递函数模

15、型 设n自由度系统振动方程如下： 对上式求拉斯变换，可以得： 即： 令： 则有： 为系统的传递函数矩阵 ,由此可见，多自由度振动系统的专递函数是一个矩阵形式，矩阵的维数等于系统的自由度数。 例题4-8 如图所示两自由度系统，试建立系统的传递函数并建立基于传递函数的simulink仿真模型。解： 可以简化为： 其中： 可见，在多自由度系统中，传递函数是一个矩阵形式，且矩阵的维数等于系统的自由度数。 一般情况下，传递矩阵是对称的。 可以通过单点激励，单点拾振的方法得到相应的传递函数阵的各个元数。例如在第一点激励，第二点拾振，有 。同理可以得到其它各个传递函数。 当不计阻尼时： 当给定系统的各个物理

16、参数后，不难得到系统的仿真模型框图。由于系统的对称性有 ， 作用在第一个自由度上的激励引起第二个自由度的响应等于相同的激励作用在第二个自由度引起第一个自由度的响应。还可进一步可以写成传递函数的零极点模型。 求多自由度线性系统传递函数的模态分析方法 可以采用模态分析法，给出更一般的传递函数矩阵。设物理空间下的振动方程为： ，假定系统可以用实模态矩阵 ，利用坐标变换 ，则模态坐标方程为： 这里 是第i阶阵型列向量。 对第i阶模态方程两边取傅氏变换，则得： 模态坐标下的传递函数为： 再根据坐标变换，则物理空间中的响应为： 可以根据单点激励和单点拾振来得到传递矩阵中的各个元素，设在j点激励，i点拾振，

17、则有： 易得传递矩阵各个元素例题 用模态分析法试求如下系统的传递函数， 解：易得系统的动力学方程为：时，可以得到系统的固有频率为：振型矩阵为：取线性变换为： 或：模态质量矩阵模态阻尼阵; 模态刚度矩阵 分别采取单点激励，单点拾振方法，可以得到原系统的传递函数为：Sin(t)Sin(2t)4.5 传递函数模型的Simulink仿真模型建立1 与传递函数相关的运算指令 MATLAB提供了有关传递函数运算的使用命令 （1）串联命令 例如有两个模型 求两个模型串联后的总模型。脚本文件： h1=tf(1,2,1,1,10); % 传递函数1， h2=tf(2,1,3); % 传递函数2 h=series

18、(h1,h2) % 求传递函数1和传递函数2 串联后的传递函数。 运行结果如下 Transfer function: 2 s + 4 - s3 + 4 s2 + 13 s + 30（2）并联命令 例如：对以上两个模型求并联后的模型。 脚本文件： h1=tf(1,2,1,1,10); % 传递函数1 h2=tf(2,1,3); % 传递函数2 h=parallel(h1,h2) % 求传递函数1和传递函数2并联后的传递函数。 运行结果如下 Transfer function: 3 s2 + 7 s + 26 - s3 + 4 s2 + 13 s + 30（3）反馈连接命令 这里sign是反馈链接

19、符号，负反馈时 ，正反 馈时 为前馈传递函数， 为反馈回路传递函数。 例如对于上例给出的模型求负反馈的总模型。脚本文件： h1=tf(1,2,1,1,10); % 传递函数1 h2=tf(2,1,3); % 传递函数2 h=feedback(h1,h2,-1) % 求前馈传递传递函数1和反馈传递函数2在负反馈状态下的总模型。 运行结果 ransfer function: s2 + 5 s + 6 - s3 + 4 s2 + 15 s + 34 单位反馈：如果反馈传递函数为1 （对应于单位反馈系统），cloop函数实现。 命令格式为： numc, denc = cloop(num, den, s

20、ign) sign为可选参数，sign=-1为负反馈，而sign=1对应为正反馈，缺省值为负反馈。 例如 num, den = cloop(1 2,1 1 10, -1) printsys(num,den) % 显示传递函数 显示结果 num/den = s + 2 - s2 + 2 s + 12（4）零极点增益模型命令 例如：求传递函数 的零极点增益模 型。 脚本文件： h1=tf(1,3,1,1,2,5,10); % 传递函数1 h=zpk(h1) %传递函数的零极点增益模型 运行结果: Zero/pole/gain: （5）留数极点增益模型命令 脚本文件： numG=1 3 1; %传递

21、函数分子 denG=1 2 5 10; %传递函数分母 G=tf(numG,denG); %形成传递函数形式 zG,pG,kG=zpkdata(G,v) %求传递函数的零极增益模型，“v表示返回数据向量 r,p,k=residue(numG,denG) %求传递函数的留数 显示结果： Transfer function: 零点： zG = -2.6180 -0.3820 极点 pG = -2.0000 -0.0000 + 2.2361i -0.0000 - 2.2361i 增益 kG =1 留数 r = 0.5556 - 0.1739i 0.5556 + 0.1739i -0.1111 极点

22、p = -0.0000 + 2.2361i -0.0000 - 2.2361i -2.0000 增益 k = 即：零极点模型 系统的留数模型 下面再看一个稍微复杂点的一个例题， 系统连接方式如下图，其中： 试求系统的总模型脚本文件： h1=tf(1,1,10); % 传递函数1 h2=tf(1,1,1); % 传递函数2 h3=tf(1,1,1,4,4); % 传递函数3 h4=tf(1,1,1,6); % 传递函数4 h5=tf(1,1,1,2); % 传递函数1 h6=2; % 传递函数6 h7=1; % 传递函数7 p1=minreal(h4*h5/(1-h4*h5*h6); % 传递函

23、数的最小实现（消去相同的零极点）。 p2=minreal(h2*p1/(1-h2*p1*h3); p3=feedback(h1*p2,h7,-1) % 反馈系统（负反馈）。 hz=zpk(p3) % 零极点增益模型。 运行结果: Transfer function: Zero/pole/gain: 2 传递函数模型的Simulink仿真模型建立 对于一个动力学系统，除了使用以前讲过的微分方程模型来建立仿真模型，还可以使用传递函数模型来建立仿真模型。 例4-9 设单自由度弹簧质量系统的数学微分方程为： ，对上式两端取拉斯变换，假设y的各阶导数的初值均为零。 则传递函数定义为： 设： ， ， ， 即： 在正弦激励下，对应的系统的仿真模型框图如下（为了对比结果，仿真框图中附加了微分方程模型）观察输出图线，得到了完全一样的仿真结果。 例4-10 已知某系统的传递函数为 计