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文档简介

1、第2.3节两个随机变量的函数的分布(2)为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入例1 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为求随机变量 Z=X+Y 的分布律.得因为 X 与 Y 相互独立, 所以解二、离散型随机变量函数的分布可得所以结论三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布由此可得概率密度函数为由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时,例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.得说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有

2、正态分布.为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例6 若X和Y 独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度 .解: 由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示:也即于是同理可得故有当 X, Y 独立时,由此可得分布密度为解由公式例7得所求密度函数得3.极值分布则有故有推广若 X与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为p(x), 则M与N的分布密度为 上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量 相互独立同分布,令 则它们的分布函数分别为 它们的概率密度函数分别为例1* 设X,Y独立同分布,PX=i=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=

3、min(X,Y)的分布律. 解 从而M的分布律为 类似可得N的分布率为 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 从而M的分布律为例2 书上四、小结1. 离散型随机变量函数的分布律2. 连续型随机变量函数的分布若随机变量（X,Y)的概率密度为p(x,y)，则 (4) Z=XY的概率密度为（5）Z=kx+Y,(k0)的概率密度为（6）Z=XY的概率密度为 本 节 结 束例1 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密度分别为其它.其它.求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度. 由于 X 与Y 相互独立,所以 ( X,Y ) 的分布密度函数为解备份题随机变量 Z 的分布函数为所以随机变量 Z 的分布密度为解例2解例3此时例9解例1 设相互独立的两个随机变量

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