比例的稳定性

1、比例稳定性情景：如果一个实验中，事件A发生的概率为p，为了估计P的值，可以进行N次独立重复实验，并记录下事件A发生的次数n。根据大数定律，当试验次数N充分大时，有：p归。N问题：上述情景中只要实验次数足够大，就能够比较精确地估计出事件发生的概率值。这里 存在一个矛盾：如果要准确估计概率，就要多花时间（或成本）做实验；但是如果要 节约时间（或成本），估计出来的概率值就不会那么准确。那么在给定误差的前提下， 至少做多少次实验能比较精确地估计概率值呢？1、从切比雪夫不等式入手：假定，要求估计出来的频率与概率之间的误差不超过e，即：I p - n l e。N令：X = N次试验中事件A发生的次数，故有

2、：X B（N, p），则容易知道，E(X) = Np ； Var(X) = Np(1-p)。_ .Var (X)由切比雪夫不等式：尸(IX - E (X )l 1 - 一& 2Np (1- p)结合上述问题后得到：P(I n - Np 1-& 2n由于：I p一 l e，故：I n一Np l Ne，即：8= Ne。N故有：P(Ip-“ = P(In-NpI* = 7结论1：频率与概率之间的误差不超过e的概率至少为1 - p（1一 p）。Ne 2. p（1- p）一般地，称1-为置信概率。为了减小误差，就必须增大置信概率值。取置信Ne 2水平为。=1-以。令：1-p（ p） 0=1-a （置信概

3、率至少为P，一般可取90%或更 Ne 2大），得到：N 四立）。a e 2结论2：要使误差不超过e的置信概率至少为1 -a，则实验次数至少为p“一）。a e 2可以看出，试验次数不只与精度要求有关（e越小，实验次数越大），还与事件本身发11生的概率大小有关。由于p（1-p） = - （p -）2，故：当事件发生的概率接近0.5时，所42需实验次数就多；当事件发生概率接近0或接近1时，所需实验次数就少。2、从分式的变化率入手:n假定，第N次实验得到的事件发生的频率为p = T，那么第N+1次实验得到的频率 n Nnn +1可能有两种情况：P1 =(事件不发生)以及P2 =(事件不发生)。为了方N

4、+1 N +1N+1 N +1n + x便起见，记：第N+1次实验得到的频率为PN+1= n+1(x=0或1)。 TOC o 1-5 h z n n + X| I n - Nx I | n X | I P - x I1由于 I P - P I=I 1= = = N。N+1N N N +1 N (N +1)N +1N +1N +1结论3：当实验次数为N时,前后两次计算得到的频率值将不会超过N+1。3、从近似分布入手修正切比雪夫不等式的结果：令：X = N次试验中事件A发生的次数，故有：X B(N, p)，则容易知道，E(X) = Np ； Var(X) = Np(1-p)。由中心极限定理可知：当

5、实验次数N充分大时，有：X近似N(Np,Np(1-p)，标准X XT D化后可得z = . - P = N近似N(0,1)。Np(1- p):p(1- p)V NX _因此，P(I X -E(X) Ke) = P(INI8 /N) = P(I Z Ie 二):P(1- P):P(1- P). P(1- P)V NN利用正态分布的分布函数可以求得：P(IZ I6，可以推出，实验次数N满足 P(1- P)的关系式为：N P(1 P)e2r 6 +1 八中-1( g)= P(1- P) f (e, 6)k 2 J结论4：要使误差小于e的置信概率至少为6，则实验次数至少为P(1- P)不同精度以及置信

6、概率下的f (e,P)函数值表:P0.80.850.90.95f (0.03, P)1423.9471599.4791827.6152177.738P0.80.850.90.95f (0.02, P )3203.8793598.8294112.1344899.91P0.80.850.90.95f (0.01, P)12815.5214395.3116448.5419599.64例：假设某一事件发生的概率大概为39%,置信概率为95%,分别计算误差为0.01以及0.02 时至少进行多少次实验？解：由题意可知 P = 0.39;e = 0.01 or 0.02;P = 0.95故查表可知：f (e, P ) = 19599.64 or 4899.91。此时：N 7643.86 or 1910.965。注：对于NBA优秀三分射手而言，职业生涯命中率大概为38%40%左右。以雷吉米