2011下均值不等式

1、算术平均值-几何平均值不等式 英文名：Arithmetic-mean-Geometric-mean inequality 简称均值不等式，或AG不等式1设a1，a2，an是n个正数，An= 它们的几何平均值记为 Gn= 它们的算术平均值记为探索An与Gn的大小关系？转化为探索a1a2an与Ann的大小关系 2我省高中教材对均值不等式的处理阅读材料：n个正数的算术平均数与几何平均数如果a,b,cR+，那么a3+b3+c33abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）证明：由a3+b3a2b+ab2,同理b3+c3b2c+bc2,c3+a3c2a+ca2,三式相加得2(a3+b3+c3)a2b+ab2

2、+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(ab2+c2a)+(b2c+ca2)=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(b2+a2)b2ac+a2bc+c2ba=6abca3+b3+c33abc，当且仅当a=b=c时，取“=”号最后，直接给出了n元平均值不等式。 3类比与归纳协同发现均值不等式a12+a222a1a2；a13+a23+a333a1a2a3；事实上，a13+a23+a33-3a1a2a3=(a1+a2+a3)(a1-a2)2+(a2-a3)2+(a3-a1)2/2。a14+a24+a34+a444a1a2a3a4； 猜想：若a1,a2,an为正数，则a1n+a2n+

3、annna1a2an。 4=重复上述论证 ，有化归：对于任意的n，设m是使2mn的最小正整数， 取bi=ai(i=1,2,n),bn+1= =An，得 化简即得 5二元均值不等式形的经验：等周长的长方形越“方正” 面积越大； 当它成为正方形时，面积最大；如两边1，7；2，6；3，5；4，4。数的经验：和相等的两个正数越接近时乘积越大；当这两个正数相等时乘积最大。经验抽象：正数a1,a2满足a1a2(a1+a2)/22. 实际上这是(a1-a2)20的变形。 6几何意义（二元）几何意义（三元）表面积一定的长方体，以其中的正方体体积最大。两个不同的等腰直角三角形面积之和大于矩形面积 7从二元推广到

4、n元三元：24953249456555= 53四元：249137424913497878677777 =74五元：234620 75。2346203467154677116777877777=75。 推广：n个正数的乘积不大于它们的算术平均值的n次幂。思考：如何证明呢？8证明：设a1，a2，an是n个正数， 不妨假定a1a2an-1an， a1a2an-1ana2a3an-1(a1+an-An)An Ann 最多调整(n-1)次,而每一次调整，积都变大，直至最大的Ann，得证。n个正数的乘积不大于它们的算术平均值的n次幂。9定理：设a1，a2，an是n个正数，则 用第一数学归纳法证明1）当n=2时易证2）假设n=k-1时结论成立。当n=k时，不妨假定a1a2ak-1ak，令 ，则a1Aak。 a1ak-(a1+ak-A)A=(A-a1)(A-ak)0。即a1ak(a1+ak-A)A。 而由归纳假设，有下式成立：a1a2ak-1aka2a3ak-1(a1+ak-A)AAk， 当n=k时，不等式也成立。 由1)2)，不等式成立。 10调和平均值2次幂平均值延伸：11凸函数证法 要证两边取对数后，即证