DMU-对坐标的曲线积分课件

1、 大 连 海 事 大 学 数 学 系王志平2005年11月高等数学第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用 第四节 曲线积分与路径无关的条件第五节 对面积的曲面积分第六节 对坐标的曲面积分第七节 高斯公式 通量 散度第八节 斯托克斯公式 环流量 与旋度第一节 对弧长的曲线积分 定义及性质 计算 总结对弧长的曲线积分定义 对弧长的曲线积分定义：

2、设 L 是xoy面内的一条光滑曲线弧, f(x,y)在 L上有界, 都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对 L 的任意分割局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L 称为积分弧段 .注：和对对弧长的曲线积分性质（k 为常数)( L由 组成) ( l 为曲线弧 L 的长度)对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分弧微分： 又(x,y)在L上 对弧长的曲线积分如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广: 设空间曲线弧的参数方程为则例1. 计算其中 L 是抛

3、物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)对弧长的曲线积分注：化为定积分时上限一定大于下限例2. 计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解: 线对弧长的曲线积分例3. 计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分也有类似于重积分的对称性对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分质量质心转动惯量对弧长的曲线积分总结对弧长的曲线积分第二节 对坐标的曲线积分 定义及性质 计算 两类曲线积分之间的关系 总结对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,

4、 “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:变力所作的功W.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1) “大化小”.2) “常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在3) “近似和”4) “取极限”(其中 为 n 个小弧段的最大长度)记作对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分2. 定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限记作对坐标的曲线积分对 x

5、的曲线积分;对 y 的曲线积分.若 为空间曲线弧 , 记若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 对坐标的曲线积分性质 定积分是第二类曲线积分的特例.说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !对坐标的曲线积分计算定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明: 下面先证存在, 且有对应参数设根据定义对应参数同理可证对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分若 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分例2. 求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解: 取 的参数方程对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分两类曲线积分之间的关系设有向光滑弧 L 参数方程

6、为则L上(x,y)处的切向量为则两类曲线积分有如下联系对坐标的曲线积分类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为则对坐标的曲线积分总结第三节 格林公式及其应用 格林公式 格林公式的应用 总结格林公式及其应用格林公式复连通区域单连通区域格林公式及其应用yxoab格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式的应用1.直接用格林公式及其应用2. L不封闭，取L+l封闭格林公式及其应用3. P(x,y), Q(x,y)一阶偏导不连续A. 代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。B. 直接法格林公式及其应用C. 将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）格林公式及其应用格林公

7、式及其应用格林公式及其应用4. 求二重积分格林公式及其应用5. 求面积格林公式及其应用总结第四节 曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关 全微分求积 题型 小结曲线积分与路径无关GyxoBA曲线积分与路径无关则称曲线积分定义：如果在区域 G 内有在 G内与路径无关,否则称为与路径有关。曲线积分与路径无关平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微

8、分,即 格林公式及其应用说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明： (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)格林公式及其应用 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有格林公式及其应用 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得所围区域为证毕格林公式及其应用对坐标的曲线积分说明:根据定理 , 若在某区域内则2) 可用积分法求d u = P d

9、x + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;例1. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。对坐标的曲线积分曲线积分与路径无关题型1. 与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1. 与参数有关 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关小结第五节 对面积的曲面积分 概念 重要结论 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分概念对面积的曲面积分定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 叫做积分曲面.据此定义, 曲面

10、形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积任意取点,对面积的曲面积分性质：对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分计算定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有则曲面积分证明: 由定义知而对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 对面积的曲面积分第六节 对坐标的曲面积分 有向

11、曲面及投影 定义及性质 计算 两类曲面积分之间的关系 总结 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分有向曲面及投影其方向用法向量指向表示 :方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为高斯公式 通量 散度方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 设 是包含点 M 且为了揭示场

12、内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 高斯公式 通量 散度定义:设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作divergence高斯公式 通量 散度表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 ,

13、 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场.说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且高斯公式 通量 散度*例5.置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 高斯公式 通量 散度设小结高斯公式 通量 散度第八节 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式 环流量与旋度定理. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式)的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 则有在包含 在内或记为斯托克斯公式 环流量与旋度例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1

14、被三坐标面解: 记三角形域为, 取上侧,则所截三角形的整个边界, 方向如图所示. 利用对称性例2. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 环流量与旋度斯托克斯公式 环流量与旋度令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义: 沿有向闭曲线 的环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度 .ro

15、tation斯托克斯公式 环流量与旋度设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:斯托克斯公式 环流量与旋度向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式的物理意义:例4.求电场强度 的旋度 .解: (除原点外)高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原