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文档简介
1、第PAGE 页码64页/总NUMPAGES 总页数64页2021-2022学年中考数学真题汇编专项突破:勾股定理1.(2022大庆)平面直角坐标系中,点M在y轴的非负半轴上运动,点N在x轴上运动,满足点Q为线段的中点,则点Q运动路径的长为( )A. B. C. D. 2.(2022河北)题目:“如图,B45,BC2,在射线BM上取一点A,设ACd,若对于d的一个数值,只能作出一个ABC,求d的取值范围”对于其答案,甲答:,乙答:d1.6,丙答:,则正确的是( )A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整3.(2022大庆)已知圆锥
2、的底面半径为5,高为12,则它的侧面展开图的面积是( )A. B. C. D. 4.(2022黔东南)如图,、分别与相切于点、,连接并延长与交于点、,若,则的值为( )A. B. C. D. 5.(2022龙东地区)如图,中,AD平分与BC相交于点D,点E是AB的中点,点F是DC的中点,连接EF交AD于点P若的面积是24,则PE的长是( )A. 2.5B. 2C. 3.5D. 36.(2022遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形若,则点到的距离为( )A. B. C. 1D. 27.(2022牡丹江、鸡西
3、)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30,小明在坡比为512的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60,求山高( )A. (600250)米B. (600250)米C. (350350)米D. 500米8.(2022牡丹江、鸡西)已知圆锥的高是12,底面圆的半径为5,则这个圆锥的侧面展开图的周长为_9.(2022牡丹江、鸡西)在RtABC中,C=90,AD平分CAB,AC=6,BC=8,CD=_10.(2022齐齐哈尔)已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是_11.(2022齐齐哈尔)在ABC中,则_12.(2022贵阳)如图,在四边形中,对角线,相交于点,若,则的面积是_,_度
4、13.(2022龙东地区)如图,在中,AB是的弦,的半径为3cm,C为上一点,则AB的长为_cm14.(2022黔东南)如图,折叠边长为4cm的正方形纸片,折痕是,点落在点处,分别延长、交于点、,若点是边的中点,则_cm15.(2022龙东地区)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AH是的平分线,于点E,点P是直线AB上的一个动点,则的最小值是_16.(2022河南)如图,在RtABC中,ACB90,点D为AB的中点,点P在AC上,且CP1,将CP绕点C在平面内旋转,点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ当ADQ90时,AQ的长为_17.(2022铜仁)如图,在边长为2的正方形ABC
5、D中,点E为AD的中点,将CDE沿CE翻折得CME,点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点,过点N作NP/EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为_18.(2022遵义)如图,在等腰直角三角形中,点,分别为,上的动点,且,当的值最小时,的长为_19.(2022哈尔滨)如图,菱形的对角线相交于点O,点E在上,连接,点F为的中点,连接,若,则线段的长为_20.(2022大庆)如图,正方形中,点E,F分别是边上的两个动点,且正方形的周长是周长的2倍,连接分别与对角线交于点M,N给出如下几个结论:若,则;若,则;若,则其中正确结论的序号为_21.(2022河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点
6、是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则(1)AB与CD是否垂直?_(填“是”或“否”);(2)AE_22.(2022哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上(1)在方格纸中面出,使与关于直线对称(点D在小正方形的顶点上);(2)在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形的面积为4连接,请直接写出线段的长23.(2022龙东地区)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,(1)将先向左平移6个单位,再向上平移
7、4个单位,得到,画出两次平移后的,并写出点的坐标;(2)画出绕点顺时针旋转90后得到,并写出点的坐标;(3)在(2)的条件下,求点旋转到点的过程中所的路径长(结果保留)24.(2022贵阳)如图,在正方形中,为上一点,连接,的垂直平分线交于点,交于点,垂足为,点在上,且(1)求证:;(2)若,求的长25.(2022铜仁)如图,D是以AB为直径的O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BCDE交AD的延长线于点C,垂足为点F(1)求证:AB=CB;(2)若AB=18,sinA=,求EF长26.(2022遵义)将正方形和菱形按照如图所示摆放,顶点与顶点重合,菱形的对角线点,点,分别
8、在,上(1)求证:;(2)若,求的长27.(2022大庆)如图,已知是外接圆的直径,点D为外的一点,点E为中点,弦过点E连接(1)求证:是的切线;(2)求证:;(3)当时,求弦的长28.(2022黔东南)(1)请在图中作出的外接圆(尺规作图,保留作图痕迹,没有写作法);(2)如图,是的外接圆,是的直径,点是的中点,过点的切线与的延长线交于点求证:;若,求的半径29.(2022河北)如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14,点M的俯角为7已知爸爸的身高为1.7m(1)求C的大小及AB的长;(2)请在图中画出线段DH,用其长度表示
9、水深(没有说理由),并求水深约为多少米(结果保留小数点后一位)(参考数据:取4,取4.1)30.(2022贵阳)小红根据学习轴对称的,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图,在中,为边上的高,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得(1)问题解决:如图,当,将沿翻折后,使点与点重合,则_;(2)问题探究:如图,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;(3)拓展延伸:当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值31.(2022哈尔滨)已知是的直径,点A,点B是上的两个点,连接,点D,点E分别是半径的中点,连接,且(1)如图1,求证:;(2)如图2,延长交
10、于点F,若,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,点G是上一点,连接,若,求的长32.(2022黔东南)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,杨老师给他这样一个几何问题:如图,和都是等边三角形,点在上求证:以、为边的三角形是钝角三角形(1)【探究发现】小明通过探究发现:连接,根据已知条件,可以证明,从而得出为钝角三角形,故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路,写出完整的证明过程(2)【拓展迁移】如图,四边形和四边形都是正方形,点在上试猜想:以、为边的三角形的形状,并说明理由若,试求出正方形的面积33.(2022河北)如图,四边形ABCD中,ABC90,C30,AD3,DHBC于点H将PQ
11、M与该四边形按如图方式放在同一平面内,使点P与A重合,点B在PM上,其中Q90,QPM30,(1)求证:PQMCHD;(2)PQM从图1的位置出发,先沿着BC方向向右平移(图2),当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3),当边PM旋转50时停止边PQ从平移开始,到绕点D旋转结束,求边PQ扫过的面积;如图2,点K在BH上,且若PQM右移的速度为每秒1个单位长,绕点D旋转的速度为每秒5,求点K在PQM区域(含边界)内的时长;如图3在PQM旋转过程中,设PQ,PM分别交BC于点E,F,若BEd,直接写出CF的长(用含d的式子表示)34.(2022河南)综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩
12、形的折叠”为主题开展数学(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM根据以上操作,当点M在EF上时,写出图1中一个30的角:_(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ如图2,当点M在EF上时,MBQ_,CBQ_;改变点P在AD上的位置(点P没有与点A,D重合),如图3,判断MBQ与CBQ的数量关系,并说明理由(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的
13、边长为8cm,当FQ1cm时,直接写出AP的长2022年中考数学真题汇编:勾股定理参考答案1.(2022大庆)平面直角坐标系中,点M在y轴的非负半轴上运动,点N在x轴上运动,满足点Q为线段的中点,则点Q运动路径的长为( )A. B. C. D. 【答案】解:设点M的坐标为(0,m),点N的坐标为(n,0),则点Q的坐标为,(,) ,当时,即,此时点Q在一条线段上运动,线段的一个端点在x轴的负半轴上,坐标为(-4,0),另一端在y轴的负半轴上,坐标为(0,-4),此时点Q的运动路径长为;当时,即,此时点Q在一条线段上运动,线段的一个端点在x轴的正半轴上,坐标为(4,0),另一端在y轴的负半轴上,
14、坐标为(0,-4),此时点Q的运动路径长为;综上分析可知,点Q运动路径的长为,故B正确故选:B2.(2022河北)题目:“如图,B45,BC2,在射线BM上取一点A,设ACd,若对于d的一个数值,只能作出一个ABC,求d的取值范围”对于其答案,甲答:,乙答:d1.6,丙答:,则正确的是( )A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整【答案】过点C作于,在上取B45,BC2,是等腰直角三角形若对于d的一个数值,只能作出一个ABC通过观察得知:点A在点时,只能作出一个ABC(点A在对称轴上),此时,即丙的答案;点A在射线上时,只能作出
15、一个ABC(关于对称的AC没有存在),此时,即甲的答案,点A在线段(没有包括点和点)上时,有两个ABC(二者的AC边关于对称);故选:B3.(2022大庆)已知圆锥的底面半径为5,高为12,则它的侧面展开图的面积是( )A. B. C. D. 【答案】解:由题意知,圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为,圆锥侧面展开图的面积为,故选B4.(2022黔东南)如图,、分别与相切于点、,连接并延长与交于点、,若,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】解:连结OA、分别与相切于点A、,PA=PB,OP平分APB,OPAP,APD=BPD,在APD和BPD中,APDBPD(SAS)ADP=BDP,
16、OA=OD=6,OAD=ADP=BDP,AOP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB,在RtAOP中,OP=,sinADB=故选A 5.(2022龙东地区)如图,中,AD平分与BC相交于点D,点E是AB的中点,点F是DC的中点,连接EF交AD于点P若的面积是24,则PE的长是( )A. 2.5B. 2C. 3.5D. 3【答案】解:如图,连接DE,取AD的中点G,连接EG,AB=AC,AD平分与BC相交于点D,ADBC,BD=CD,SABD=12,E是AB的中点,SAED=6,G是AD的中点,SEGD=3,E是AB的中点,G是AD的中点,EGBC,EG=BD=CD,EGP=FDP=90,F是
17、CD的中点,DF=CD,EG=DF,EPG=FPD,EGPFDP(AAS),GP=PD=1.5,GD=3,SEGD=3,即,EG=2,在RtEGP中,由勾股定理,得PE=2.5,故选:A6.(2022遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形若,则点到的距离为( )A. B. C. 1D. 2【答案】解:在中,设到的距离为,故选B7.(2022牡丹江、鸡西)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30,小明在坡比为512的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60,求山高( )A. (600250)米B. (6002
18、50)米C. (350350)米D. 500米【答案】解:如答图,BE:AE=5:12,可设BE=5k,AE=12k,AB=1300米,在RtABE中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即,解得k=100AE=1200米,BE=500米设EC=x米,DBF=60,DF=x米又DAC=30,AC=CD1200+x=(500+x),解得x=600250DF=x=600750CD=DF+CF=600250(米)山高CD为(600250)米故选B8.(2022牡丹江、鸡西)已知圆锥的高是12,底面圆的半径为5,则这个圆锥的侧面展开图的周长为_【答案】圆锥的底面半径是5,高是12,根据勾股定理得:圆
19、锥的母线长为13,这个圆锥的侧面展开图的周长213252610故答案为26109.(2022牡丹江、鸡西)在RtABC中,C=90,AD平分CAB,AC=6,BC=8,CD=_【答案】如图,过点D作DEAB于E,C=90,AC=6,BC=8,AB=,AD平分CAB,CD=DE,SABC=ACCD+ABDE=ACBC,即6CD+10CD=68,解得CD=310.(2022齐齐哈尔)已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是_【答案】解:根据母线和高,用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径,则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长,再根据弧长公式,得到,算出故答案是:11.(2022齐齐哈尔)在
20、ABC中,则_【答案】解:情况一:当ABC为锐角三角形时,如图1所示:过A点作AHBC于H,B=45,ABH为等腰直角三角形,,在RtACH中,由勾股定理可知:,情况二:当ABC为钝角三角形时,如图2所示:由情况一知:,故答案为:或12.(2022贵阳)如图,在四边形中,对角线,相交于点,若,则的面积是_,_度【答案】,设,在中,由勾股定理得,解得或,对角线,相交于点,过点E作EFAB,垂足为F,故答案为:,13.(2022龙东地区)如图,在中,AB是的弦,的半径为3cm,C为上一点,则AB的长为_cm【答案】解:连接OA、OB,过点O作ODAB于点D,故答案为:14.(2022黔东南)如图,
21、折叠边长为4cm的正方形纸片,折痕是,点落在点处,分别延长、交于点、,若点是边的中点,则_cm【答案】解:连接如图,四边形ABCD是正方形,点M为BC的中点,由折叠得, 设则有又在中,在中,解得,(舍去)又即故答案为:15.(2022龙东地区)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AH是的平分线,于点E,点P是直线AB上的一个动点,则的最小值是_【答案】解:如图,作点O关于AB的对称点F,连接OF交AB于G,连接PE交直线AB于P,连接PO,则PO=PF,此时,PO+PE最小,最小值=EF,菱形ABCD,ACBD,OA=OC,O=OD,AD=AB=3,BAD=60,ABD是等边三角
22、形,BD=AB=3,BAO=30,OB=,OA=,点O关于AB的对称点F,OFAB,OF=2OG=OA=,AOG=60,CEAH于E,OA=OC,OE=OC=OA=,AH平分BAC,CAE=15,AEC=CAE=15,DOE=AEC+CAE=30,DOE+AOG=30+60=90,FOE=90,由勾股定理,得EF=,PO+PE最小值=故答案为:16.(2022河南)如图,在RtABC中,ACB90,点D为AB的中点,点P在AC上,且CP1,将CP绕点C在平面内旋转,点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ当ADQ90时,AQ的长为_【答案】如图,连接,在RtABC中,ACB90,根据题意可得,当AD
23、Q90时,点在上,且,在中,故答案为:17.(2022铜仁)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E为AD的中点,将CDE沿CE翻折得CME,点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点,过点N作NP/EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为_【答案】解:作点P关于CE的对称点P, 由折叠的性质知CE是DCM的平分线,点P在CD上,过点M作MFCD于F,交CE于点G,MN+NP=MN+NPMF,MN+NP的最小值为MF的长, 连接DG,DM,由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线,AD=CD=2,DE=1,CE=,CEDO=CDDE, DO=,EO=,MFCD,EDC=90,DEMF,E
24、DO=GMO, CE为线段DM的垂直平分线,DO=OM,DOE=MOG=90,DOEMOG,DE=GM,四边形DEMG为平行四边形, MOG=90,四边形DEMG为菱形,EG=2OE=,GM= DE=1,CG=,DEMF,即DEGF,CFGCDE,即, FG=,MF=1+=,MN+NP的最小值为故答案为:18.(2022遵义)如图,在等腰直角三角形中,点,分别为,上的动点,且,当的值最小时,的长为_【答案】如图,过点作,且,连接,如图1所示,又,当三点共线时,取得最小值,此时如图2所示,在等腰直角三角形中,设,即取得最小值为,故答案为:19.(2022哈尔滨)如图,菱形的对角线相交于点O,点E
25、在上,连接,点F为的中点,连接,若,则线段的长为_【答案】已知菱形ABCD,对角线互相垂直平分,ACBD,在RtAOE中,OE=3,OA=4,根据勾股定理得,AE=BE, 在RtAOB中,即菱形的边长为,点F为的中点,点O为DB中点, 故答案为20.(2022大庆)如图,正方形中,点E,F分别是边上的两个动点,且正方形的周长是周长的2倍,连接分别与对角线交于点M,N给出如下几个结论:若,则;若,则;若,则其中正确结论的序号为_【答案】解:正方形的周长是周长的2倍,若,则,故没有正确;如图,在的延长线上取点,使得,四边形是正方形,即,故正确;如图,作于点,连接,则,同理可得,关于对称轴,关于对称
26、,是直角三角形,若,故没有正确,若,即,又,即,故没有正确故答案为:21.(2022河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则(1)AB与CD是否垂直?_(填“是”或“否”);(2)AE_【答案】 解:(1)如图:AC=CF=2,CG=DF=1,ACG=CFD=90, ACGCFD, CAG=FCD,ACE+FCD=90,ACE+CAG=90,CEA=90,AB与CD是垂直的,故答案为:是;(2)AB=2,ACBD,AECBED,即,AE=BE=故答案为:22.(2022哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,
27、的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上(1)在方格纸中面出,使与关于直线对称(点D在小正方形的顶点上);(2)在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形的面积为4连接,请直接写出线段的长【答案】(1)如图(2)如图,23.(2022龙东地区)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,(1)将先向左平移6个单位,再向上平移4个单位,得到,画出两次平移后的,并写出点的坐标;(2)画出绕点顺时针旋转90后得到,并写出点的坐标;(3)在(2)的条件下,求点旋转到点的过程中所的路径长(结果保留)【答案】
28、(1)解:如图所示A1B1C1即为所求,;(2)如图所示A2B2C2即为所求,;(3)点旋转到点所的路径长为24.(2022贵阳)如图,在正方形中,为上一点,连接,的垂直平分线交于点,交于点,垂足为,点在上,且(1)求证:;(2)若,求的长【答案】(1)在正方形ABCD中,有AD=DC=CB=AB,A=D=C=90,A=D=90,四边形ADFM是矩形,AD=MF,AMF=90=MFD,BMF=90=NFM,即BMO+OMF=90,AB=AD=MF,MN是BE的垂直平分线,MNBE,BOM=90=BMO+MBO,MBO=OMF,ABEFMN;(2)连接ME,如图,AB=8,AE=6,在RtABE
29、中,根据(1)中全等的结论可知MN=BE=10,MN是BE的垂直平分线,BO=OE=5,BM=ME,AM=AB-BM=8-ME,在RtAME中,解得:,在RtBMO中,ON=MN-MO=即NO的长为:25.(2022铜仁)如图,D是以AB为直径的O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BCDE交AD的延长线于点C,垂足为点F(1)求证:AB=CB;(2)若AB=18,sinA=,求EF长【答案】(1)证明:连接OD,如图1,DE是O的切线,ODDEBCDE,ODBCODA=COA=OD,ODA=AA=CAB=BC;(2)解:连接BD,则ADB=90,如图2,在RtABD中,si
30、nA=,AB=18,BD=6OB=OD,ODB=OBDOBD+A=FDB+ODB=90,A=FDBsinA=sinFDB在RtBDF中,sinBDF=,BF=2由(1)知:ODBF,EBFEOD=即:=解得:BE=EF=26.(2022遵义)将正方形和菱形按照如图所示摆放,顶点与顶点重合,菱形的对角线点,点,分别在,上(1)求证:;(2)若,求的长【答案】(1)证明:正方形和菱形,在与中()(2)如图,连接交于点,在中,中,在中,27.(2022大庆)如图,已知是外接圆的直径,点D为外的一点,点E为中点,弦过点E连接(1)求证:是的切线;(2)求证:;(3)当时,求弦的长【答案】(1)解:BC
31、是ABC外接圆O的直径,BAC=90, B+ACB=90,ACD=B,ACD+ACB=90,BCD=90, OC 是 OO 的半径, CD 是 OO 的切线;(2)如下图,连接AF、CG,AFE=ECG,AEF=CEG,FEACEG,点E为AC中点,AE=CE,EF=2EG, CE2=2EG2,BAC=90,点E为AC中点,EOAB,OEC=90,OC2-OE2=EC2,OC2-OE2=2EG2,(OC+OE)(OCOE)=EGEF;(3)作ONFG,延长FG交线段于点W,BC=16,OC=8,FGBC,四边形ONWC为矩形,EF=2EG,FG=3EG,NG=1.5EG,NE=0.5EG,EW
32、=8-1.5EG+EG=8-0.5EG,由(2)可知:OC2-OE2=2EG2,CE2=2EG2, OE2=64-2EG2,ON2=64-2EG2-EG2,EW2=(8-0.5EG)2,(8-0.5EG)2+64-2EG2-EG2=2EG2,解得EG=,FG=3EG=28.(2022黔东南)(1)请在图中作出的外接圆(尺规作图,保留作图痕迹,没有写作法);(2)如图,是的外接圆,是的直径,点是的中点,过点的切线与的延长线交于点求证:;若,求的半径【答案】(1)如下图所示的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点,半径为交点到任意顶点的距离,做AB、AC垂直平分线交于点O,以OB为半径,以O为圆
33、心做圆即可得到的外接圆;(2)如下图所示,连接OC、OBBD是的切线是对应的圆周角,是对应的圆心角点是的中点如下图所示,连接CE与是对应的圆周角是的直径的半径为29.(2022河北)如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14,点M的俯角为7已知爸爸的身高为1.7m(1)求C的大小及AB的长;(2)请在图中画出线段DH,用其长度表示水深(没有说理由),并求水深约为多少米(结果保留小数点后一位)(参考数据:取4,取4.1)【答案】(1)解:水面截线,在中,解得(2)过点作,交MN于D点,交半圆于H点,连接OM,过点M作MGOB于G,
34、如图所示:水面截线,为水深,且,即,即,在中,即,解得,水深约为米30.(2022贵阳)小红根据学习轴对称的,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图,在中,为边上的高,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得(1)问题解决:如图,当,将沿翻折后,使点与点重合,则_;(2)问题探究:如图,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;(3)拓展延伸:当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值【答案】(1),是等边三角形,四边形平行四边形,为边上的高,(2),是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,为底边上的高,则点在边上,当时,取得最小值,最小值为;(3)如图,
35、连接,则,设, 则,折叠,在中,延长交于点,如图,在中,31.(2022哈尔滨)已知是的直径,点A,点B是上的两个点,连接,点D,点E分别是半径的中点,连接,且(1)如图1,求证:;(2)如图2,延长交于点F,若,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,点G是上一点,连接,若,求的长【答案】(1)如图1点D,点E分别是半径的中点,;(2)如图2,由(1)得,(3)如图3, 连接,设,在上取点M,使得,连接,为等边三角形,过点H作于点N,在中,32.(2022黔东南)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,杨老师给他这样一个几何问题:如图,和都是等边三角形,点在上求证:以、为边的三角形是钝角三角形(1)
36、【探究发现】小明通过探究发现:连接,根据已知条件,可以证明,从而得出为钝角三角形,故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路,写出完整的证明过程(2)【拓展迁移】如图,四边形和四边形都是正方形,点在上试猜想:以、为边的三角形的形状,并说明理由若,试求出正方形的面积【答案】(1)证明:ABC与EBD均为等边三角形,BE=BD,AB=CB,EBD=ABC=60,EBA+ABD=ABD+DBC,EBA=DBC,在EBA和DBC中,EBADBC(SAS),AEB=CDB=60,AE=CD,ADC=ADB+BDC=120,ADC为钝角三角形,以、为边的三角形是钝角三角形(2)证明:以、为边的三角形是直角三角形连结CG,四边形和四边形都是正方形,EBG=ABC,EB=GB,AB=CB,EG为正方形的对角线,BEA=BGE=45,EBA+ABG=ABG+GBC=90,EBA=GBC,在EBA和GBC中,EBAGBC(SAS),AE=CG,
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