居于马线性代数第四章答案

1、1、由过渡矩阵的定义，设从基到基的过渡矩阵为，则，初等行变换求得，所以2(1)、记在基下为. 设从基到基的过渡矩阵为，则，初等行变换求得，所以2(2)、设从基到基的过渡矩阵为，记，则，即，所以2(3)、记在基下为，所以，经初等变换得，所以 3(1)、记，记在基下为.设从基到基的过渡矩阵为，所以由过渡矩阵的定义有，则，经初等变换可得，所以，.3(2)、设在基下的记为，从基到基的过渡矩阵为，所以由过渡矩阵的定义有，则，所以3(3)、记在基下为，所以.4、记，. 设从基到基的过渡矩阵为，由过渡矩阵的定义知，即. 设，又在基下的坐标不变，所以，即，其系数矩阵，所以，所以的通解为.5(1)、略5(2)、

2、设与向量都正交的向量为，则，其系数矩阵得基础解系为，所以与向量都正交的向量为6、设向量与所给向量均正交，所以，其系数矩阵，基础解系为，所以可取，所以，所求单位向量为.7、证：已知，记，其中为任意常数，则为的任一线性组合。得证。8(1)、设，正交化：，标准化：8(2)、设，易得，即线性相关，又线性无关，所以为的极大线性无关组，只需对进行施密特正交化。正交化：，标准化：8(3)、设，记，得，所以线性相关，取其极大线性无关组正交化：，标准化：9(1)、正交化：，标准化：设从到的过渡矩阵为，则，经初等变换可得，所以向量在新基下的坐标为9(2)、正交化：，标准化：设从到的过渡矩阵为，则，经初等变换可得，

3、所以向量在新基下的坐标为10、证法1（利用标准正交基的定义）：因为是一组标准正交基，则，那么只需证明。利用内积的性质和即可得证同理可证，即是标准正交基。证法2：因为，且和均为正交矩阵，所以也是正交矩阵，所以为一组标准正交基。11、因为为正交矩阵，则各行各列均为单位向量，所以第1行：；将代入第1列： 第2列：第3行：将代入第3列：又因为，正交矩阵的不同行、不同列的向量正交，所以(第1行，第3行) (第1行，第2行) (第2行，第3行) 由和得，所以有两组解：或12、是正交矩阵，则，可逆当时，所以，所以，所以，即正交； 当时，所以，所以，所以，即正交13(i)、正交13(ii)、因为，所以可逆。所

4、以，14(1)、“对称、正交对合”：，得证；(2)、“对称、对合正交”：，得证；(3)、“对合、正交对称” ：，得证；15、略16、不妨设为下三角矩阵，则所以有得，除主对角线元素的平方等于1外其余元素均为零补充题51(1)、因为正交，所以有， 所以，即可交换51(2)、所以，所以为反对称矩阵。52(1)、正交，又，两式相减，得又正交可逆，所以，即，所以52(2)、正交，又，两式相加，得又正交可逆，所以，即，所以53、设证明：线性无关的充要条件是：解法1：设，要证即证线性无关充分性（反证法）：假设线性相关，则存在不全为零的数使得分别用与上式左右两端做内积，得即存在不全为零的数，使得成立，矛盾，所以线性无关。必要性：因为，线性无关，所以该向量组的秩为。， (1)令，则. 由于方程组（）和（）同解。所以，所以（“方程组（）和（）同解”：如果是（）的解，则，显然，即是（）的解