投影法及其分类

1、2.1 投影法及其分类2.2 点的投影2.3 直线的投影2.4 平面的投影 2.5 直线平面及两平面的相对位置第2章 点、直线、平面的投影1平行投影法中心投影法1 投影法及其分类投影法投射线物体投影面投影投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。投射中心斜投影法正投影法2中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投 影 特 性物体位置改变，投影大小也改变。投射线物体投影面投影投射中心3平行投影法投 影 特 性投影：大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。4投影法中心投影法平行投影法正投影法

2、斜投影法5 PbAP 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3B2B1 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。2.2.1 点在一个投影面上的投影a2.2 点的投影62.2.2 点在两投影面体系中的投影 投影面 正面投影面（简称 正面或V面） 水平投影面（简称 水平面或H面）投影轴 ox轴（简称x轴）V面与H面的交线HVOX两个投影面互相垂直VH7空间点A在两个投影面上的投影a点A的水平投影a点A的正面投影XOVHAaaxa注意： 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。8XOVHAaa点的投影规律:1.aaOX轴2. aax aaxxa=Aa（A到V面的距离）

3、=Aa（A到H面的距离）VaaaX投影面展开省略不画绕X轴下旋转90不动H9HWV2.2.3 点在三投影面体系中的投影投影面正面投影面（简称正 面或V面）水平投影面（简称水 平面或H面）侧面投影面（简称侧 面或W面）投影轴OXZOX轴 V面与H面的交线OZ轴 V面与W面的交线OY轴 H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y10空间点A在三个投影面上的投影a 点A的水平投影a点A的正面投影a点A的侧面投影XZOVHWAaaaxaazayY11XYZOVHWAaaaxaazay绕Z轴向右旋转90绕X轴向下旋转90不动投影面展开WVHaaxazZaayayaXYH YWO 省略不画12XYZOVHWAa

4、aa点的投影规律:1. aaOX轴2. aax= aax=xaazayYWZazaXYHayWOaaxayHa aaOZ轴=y=Aa（A到V面的距离）aaz=x=Aa（A到W面的距离）aay=z=Aa （A到H面的距离）aazaay=13aaax例：已知点A的两个投影a, a, 求第三aaaaxazaz解法一:解法二:aZOXYWYHZOXYHYW投影a。142.2.4 两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x 坐标大的在左 y 坐标大的在前z 坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。baa abbXYHYWZo15( )a cc重影点： 空间两点在某

5、一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。aac被挡住的投影加( )ZXYWOYH16aa abbb2.3 直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性3.1 直线的投影特性 BAab直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cosABabAMBa（m）（b）172.3.1 直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面)

6、正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。18 投影面平行线XZbaaabbOYHYW水平线实长在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的真实大小。另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。投影特性：VHabAaaBbbWZoXY19判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角: 与V面的夹角:与W面的夹角:实长实长baababbaabba直线与投影面夹角的表示法：Z

7、OXYWYHZOXYHYW20 反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。 投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线2.另外两个投影，1. 在其垂直的投影面 上，投影有积聚性。投影特性:aba(b)abc(d)cddcef efe(f)ZXOYHYWZOXYHYWZXOYHYW21 一般位置直线ZYHaOXabbaYWb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性:HaaAbVBbWabZXOY22cacXabcYWYHbOaZbcAHacaVbBabcCbW2.3.2 直线与点的相对位置 若点在直线上,

8、则点的投影必在直线的同面投影上。 点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理XYOZ23例1：判断点C是否在线段AB上。cabcababcabc在不在abcaabcbc不在应用定比定理另一判断法?XXZXOYHYW24例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一： （应用第三投影）解法二： （应用定比定理）aa bbkabkkaabbkkXZOXYHYW252.3.3 两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 两直线平行 空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCc

9、VaDbBacdbcdabOXOX26例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。 对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。cbaddbacbdcaZXOYHYWdZabccabdOXYHYWabcd272.3.4 两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。HacVXbDacdkCAkKdbOBcabd bacdkkX28cdkkd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影abbacX29例2：判断直线AB、CD的相对位置。cabda

10、bcd相交吗？不相交！为什么？ 交点不符合空间一点的投影特性。判断方法？ 应用定比原理 利用侧面投影X302.3.5 两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！ 交点不符合点的投影规律！cacabddbOXaccAaCVbHddDBbX31accAaCVbHddDBbcacabddbOX1(2)21投影特性： 同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间一点的投影规律。 “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)43(4 )33(4 )34322.4 平面的投影2.4.1 平面的表示法不在同一直线上的三个点 直线及线外一点abcabcdd两平行直线abcab

11、c两相交直线平面图形cabcabcababcbacabcXXXXX332.4.2 平面的投影特性垂直倾斜投 影 特 性平面平行投影面投影反映实形平面垂直投影面投影积聚成直线平面倾斜投影面投影为缩小类似形 平面对一个投影面的投影特性平行ABCabcABCabcABCabc341. 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜 正垂面 侧垂面 铅垂面 侧平面 正平面 水平面35cc 投影面垂直面abcabba积聚性投影特性： 在它垂直的投

12、影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。ZXOYHYW36abcabcabc 投影面平行面实 形投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。ZXOYHYW37abcacbabc 一般位置平面三个投影都为类似形。投影特性：ZXOYHYW38acbcaabcb例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45ZXOYHYW392.4.3 平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件： 平面上取

13、任意直线MNABM若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 PQ40abcbca d d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。解法一：解法二：nmnmabcbcaXX41例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。nmnm10cabcab 唯一解！有多少解？X42 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bacakbc 面上取点的方法：dd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助

14、线求解kabcabkckXX43bckadad bckb例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcXX44de1010mm例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。bcXbcaaOed452.5 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。2.5.1 平行问题 直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。直线与平面平行 平面与平面平行46nacbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。ddX有无数解。47例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。cbamabc

15、mnnddX48 两平面平行 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。cfbdeaabcdeffgabcdefgabcdeXX49acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH50 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。2.5.2 相交问题直线与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交要讨论的问题：(1) 求直线与平面的交点。(2) 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线

16、与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。51例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析: 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 求交点 判别可见性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。 平面为特殊位置abcmncnbamkk1(2)21X52km(n)bmncbaac 直线为特殊位置空间及投影分析: 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 求交点 判别可见性 点位于平面上，在前，点位于MN上，在后，故k1为不可见。k2 11 (2)X53 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题： 求两平面的交线方法： 确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。54abcdefcfdbeam(n)例：求两平面的交线 MN并判别可见性。空间及投影分析： 求交线 判别可见性 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。mn 平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，