7.5函数展开成幂级数

1、 第七章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数展开成幂级数一、泰勒级数的概念二、函数展开成幂级数的方法泰勒级数的概念由泰勒公式知,如果函数在点 的某邻域内有 阶导数,则对于该邻域内的任意一点,有其中介于 与之间.定理 1设在区间 内存在任意阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒级数的概念定理 1设在区间 内存在任意阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒级数的概念定理 1设在区间 内存在任意阶的导数,幂级数的收敛区间为则在区间 内成立的充分必要条件是:在该区间内证充分性 由泰勒公式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒级数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒级数的

2、概念令有其中,级数在内收敛,即机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒级数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒级数的概念且当 时,故由极限运算法则知反之亦然.式右边的级数称为在点 处的泰勒级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林级数时的泰勒级数称为 的麦克劳林级数.注:由上节定理 可知, 如果函数 能在某个区间内展开成幂级数,则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数，即没有任意阶导数的函函数的麦克劳林级数数是不可能展开成幂级数的.是 的幂级数,可以证明,如果 能展开成 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林级数是 的幂级数,可以证明,如果 能展开成 的机动 目

3、录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林级数是 的幂级数,可以证明,如果 能展开成 的幂级数,则这种展开式是唯一的,的麦克劳林级数.它一定等于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 能展开成 的幂级数,则这种展开式是唯一的,它一定等于 的麦克劳林级数.证如果 在点 的某邻域 内能展开成 的幂级数,即在 内恒有则根据幂级数在收敛区间内可逐项求导,有LL+-+=-xannnaxfnn33)2)(1(!3)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 LL+-+=-xannnaxfnn33)2)(1(!3)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 LL+-+=-3xannnaxfnn3)2)(1(!3)(把 代

4、入以上各式, 时的系数.即 为函数 麦克劳林展开LLLLLL+=+xannanxfnnn1)(23)1(!)(得机动 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林级数例如,函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 由函数 的展开式的唯一性可知,展开成的幂级数,克劳林级数.但是,反过来如果 的麦克劳林级它却不一定收敛于数在点 的某邻域内收敛,如果能则这个幂级数就是的麦麦克劳林级数例如,函数在 点任意阶可导, 所以 的麦克劳林级数为该级数在内和函数显然,的麦氏级数处处不收敛于因此,虽然且除 外,当 在 处具有各阶导数时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林级数因此,虽然当 在 处具有各阶导数时,机

5、动 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林级数因此,虽然当 在 处具有各阶导数时,的麦克劳林级数能被作出来,是否能在某个区间内收敛,却需要进一步考虑.但这个级数以及是否收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数展开成幂级数 直接法把函数 展开成泰勒级数,可按下列步骤进行:计算写出对应的泰勒级数并求出该级数的收敛区间验证在 内,写出所求函数 的泰勒级数及其收敛区间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1解有将函数展开成幂级数.由得于是的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为对于任何有限的数、介于与之间),因有限,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1解有将函数展开成幂级数.于是的麦克劳林级数为

6、该级数的收敛半径为对于任何有限的数、介于与之间),因有限,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1解有将函数展开成幂级数.于是的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为对于任何有限的数、介于与之间),因有限,的一般而是级数项,所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1解将函数展开成幂级数.于是的麦克劳林级数为因有限,的一般而是级数项,所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1解将函数展开成幂级数.于是的麦克劳林级数为因有限,的一般项,而是级数所以于是即有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2解该级数的收敛半径为有将函数展成的幂级数.顺序循环地取于是的麦克劳林级数为对于任何有限的数、介于与之间),

7、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2解该级数的收敛半径为有将函数展成的幂级数.于是的麦克劳林级数为对于任何有限的数、介于与之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2解该级数的收敛半径为有将函数展成的幂级数.于是的麦克劳林级数为对于任何有限的数、介于与之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2解有将函数展成的幂级数.对于任何有限的数、介于与之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2解有将函数展成的幂级数.对于任何有限的数、介于与之间),于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3解利用幂级数的运算性质,逐项求导得将函数展成的幂级数.由的展开式机动 目录 上页 下页 返回 结

8、束 例4解而在上式两端从 0 到逐项积分,得因为上式右端的幂级数当将函数展成的幂级数.因为上式对也成立.时收敛,在而上式左端的函数处有定义且连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5级数.解所以于是的麦克劳林级数为将函数展开成的幂机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5解于是的麦克劳林级数为级数.将函数展开成的幂机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5解于是的麦克劳林级数为该级数相邻两项的系数之比的绝对值因此,该级数的收敛半径收敛区间为级数.将函数展开成的幂机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5解级数.将函数展开成的幂则可求得即设级数(2)的和函数为的取值而定.可证明:在区间的端点处,展

9、开式(3)是否成立要看当时,收敛域为当时,收敛域为当时,域为收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，逐项求导,得利用恒等式由就得到机动 目录 上页 下页 返回 结束 就得到机动 目录 上页 下页 返回 结束 就得到即故有所以因为有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5解级数.将函数展开成的幂公式(3)称为二项展开式.特别地,它就是初等代数中的当为正整数级数成为的次多项式,时,二项式定理.例如,对应、的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用麦克劳林展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用麦克劳林展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用麦克劳林展开式机动 目录 上

10、页 下页 返回 结束 函数展开成幂级数 间接法一般说来,只有少数简单的函数,其幂级数展开函数是根据唯一性定理,利用已知函数的展开式(尤通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程.式能利用直接法得到它的麦克劳林展开式.更多的其是上面总结的六个基本函数的麦克劳林展开式),求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式.这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.实机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数展开成幂级数 间接法质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数展开成幂级数 间接法质上函数的幂级数展开是求幂级数和

11、函数的逆过程.掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后,转化成 的表达式,把 看成变量要把函数展开成 的幂级数时,即得 的幂级数.对于较复杂的可作变量替换于是当只需把展开的幂级数,成函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6解将函数展开成的幂级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7解所以将函数展开成的幂级数.当时,级数收敛;当时,级数收敛.且当时,函数连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7解所以将函数展开成的幂级数.当时,级数收敛;当时,级数收敛.且当时,函数连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7解所以将函数展开成的幂级数.当时,级数收敛;当时,级数收敛.且当时,函数连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8解由于所以将函数且成的幂级数.展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9解将函数展开成的幂级数.机动 目录 上页 下页 返回