分块矩阵(四分块矩阵)初等变换的应用(共17页)

1、陕西理工学院毕业论文 第1页 共17页分块矩阵（四分(s fn)块矩阵）初等变换的应用潘 望(陕西理工学院数计(sh j)学院数学(shxu)专业11级2班,陕西 汉中 723000)指导老师:周亚兰摘要 求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩是高等代数中常见的问题.而对于高阶矩阵而言,这些问题的求解往往过于繁琐,甚至无法求解.但如果利用矩阵分块的方法,把矩阵的初等变换的思想和方法运用于分块矩阵,则可起到事半功倍的效果.本文总结了分块矩阵的初等变换的性质以及分块初等变换在求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩等方面的应用.关键词 分块矩阵;初等变换;应用1 引言矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法,

2、用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块,使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵.在运算中,我们有时把这些子块当作元素一样来处理,从而简化了表示,便于计算.分块矩阵初等变换是高等代数中重要而基本的运算,它在研究矩阵行列式,矩阵求逆,秩等各种性质及求矩阵的逆,解线性代数方程中有着广泛的应用.因此,如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要,本文的目的就是讨论四分块矩阵的初等变换及其应用.第 2页 共17页2 预备知识2.1分块矩阵的定义把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵,然后把每个小矩阵看成一个元素,这样得到的矩阵称为分块矩阵.特殊的,如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上,就称为分块

3、对角矩阵（准对角矩阵）. 如: 是一分块矩阵,其中,均表示的是一个矩阵.2.2 四块分法分块形式(xngsh)为,的分块矩阵(j zhn)为四分块矩阵.这是一种比较(bjio)一般的形式.在矩阵的乘法运算中应用较多,应用时尽量地让分出的小矩阵出现单位矩阵或零矩阵,这样可以位运算带来方便.2.3 四分块矩阵的运算四分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样,只要进行运算的矩阵的分块适当,四分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则:加法：已知,且与的分法相同,即,其中与级数相同,则.乘法：已知,且的列的分法与的行的分法相一致, ,则.其中,.数乘：已知,则.转置：若,则.2.4 四分块矩阵初等变换四

4、分块矩阵的初等变换与普通矩阵的初等变换类似,也具有三种类型: 换法变换:交换分块矩阵的,两行（列）,记作 .如 . 倍法变换：用一个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的第行（列）,记作 .如 . 消法变换：用一个矩阵左（右）乘分块矩阵的第行（列）后加到第行（列）,记作 .如 .可以看出,与初等矩阵和初等变换的关系一样,用初等矩阵去乘四分块矩阵只要四分块乘法能够进行,左乘就相当与对它做相应的广义(gungy)初等行变换,右乘相当于做相应的广义初等列变换.四分块乘法和矩阵的初等变换有效的结合是矩阵的运算中一种极为重要的手段,灵活并巧妙的用这种手段,会使某些矩阵问题较为(jio wi)容易的得到解决.2.5

5、四分块初等矩阵的性质(xngzh)性质2.1 1分块初等矩阵均为可逆的,且逆矩阵仍为分块初等矩阵.如第3页 共17页;.第4页 共17页 性质2.21 分块初等矩阵的转置仍为初等矩阵.如 ;.性质2.31 设为分块矩阵,则对施行一次初等行（列）变换,相当于在的左（右）边乘以一个对应的分块初等矩阵.如,而,;而,而. 性质2.41 分块矩阵左（右）乘一个分块初等矩阵,分块矩阵的秩不变.3 四分块矩阵初等变换的应用求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩是高等代数中常见的问题.而对于高阶矩阵而言,这些问题的求解(qi ji)往往过于繁琐,甚至无法求解.但如果利用矩阵四分块的方法(fngf),把矩阵(j

6、zhn)的初等变换的思想和方法运用于四分块矩阵,则可起到事半功倍的效果.3.1 四分块矩阵在行列式计算中的应用在计算高阶矩阵行列式时,通常将矩阵四分块,利用四分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式,再利用三角形矩阵,准对角形矩阵行列式的性质计算.例12设是一个四分块阶矩阵,中的四个矩阵,分别是,阶矩阵.（1）若可逆,则;（2）若可逆,则.证明（1）因为,两边同时取行列式,有.第5页 共17页（2）又因为则.例22设是一个四分块阶矩阵,其中中的四个矩阵,分别是,阶矩阵.（1）若可逆，则;（2）若可逆，则.证明 （1）因为,两边取行列式,得.（2）若可逆,得.例33 设,都是阶矩

7、阵(j zhn),其中(qzhng),且,证明(zhngmng)： 证明 因为 ,所以是可逆的 所以即有又因为,所以上式取行列式得 .第6页 共17页例44 设,都是阶方阵,则有 . 证明 因为 同样两边取行列式得 所以(suy)结论即证.例61 设,均为阵,证明(zhngmng)行列式的乘积公式. 证明(zhngmng) 作 ,设,均为阵,作,这里为阵,除了第行第列元素为外,其他元素皆为零,则由初等矩阵与初等变换的关系,易得右端为第7页 共17页.又由所对应的初等变换是某行加上另一行的倍数,它不改变行列式的值,故.但 ,故,这就证明了.例7 ,均为阶矩阵，其中可逆,则 .证明 因为所以,.例

8、8求行列式的值.解 将进行(jnxng)分块,得,其中(qzhng), , , .则得到第12页 共22页.例95 证明(zhngmng) .第10页 共18页证明 令, , 则由上面(shng min)的定理得第8页 共17页所要证得结论(jiln)即证毕.例10 计算(j sun)矩阵的行列式.解 首先利用加边法,在原来的行列式中增加一行一列,但保持行列式的值不变,再利用四分块矩阵的性质进行简化.即 ,令,则 .3.2 四分块矩阵在求逆矩阵中的应用在计算高阶矩阵的逆矩阵时,通常将矩阵四分块,利用四分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式,再利用三角形矩阵,准对角形矩阵逆的性

9、质计算.在分块矩阵求逆矩阵时,初等变换法甚是优越.例116设是一个(y )四分块方阵,其中(qzhng)为阶方阵(fn zhn),为阶方阵,当与都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵且第9页 共17页,特别的,(1)当,与都可逆时,有;(2)当,与都可逆时,有;(3)当,与都可逆时,.证明 设可逆,且,其中为阶方阵,为阶方阵,则应有,即,于是得到右面的等式: 因为可逆,用右乘（2）式可得,代入（1）式可得则,用右乘（4）式可得,第10页 共17页代入（3）式得,则可得所以(suy).例12 6设是一个(y )四分块方阵,其中(qzhng)为阶方阵,为阶方阵,当第11页 共17页与都是可逆矩阵时,则是可逆

10、矩阵,且,特别的,当,与都可逆时,有;当,与都可逆时,有;当,与都可逆时,有.例13 若, 且,可逆求.解 因为,.所以(suy) .例14 已知,均为阶矩阵(j zhn),其中(qzhng)可逆,可逆,求.证明 因为 ,.所以 .第12页 共17页例15 求矩阵（）的逆矩阵. 解 令,则,由知可逆所以, ,故.例16 设,求.解 将分块 ,其中(qzhng),.于是(ysh)可得 第13页 共17页.3.3四分块矩阵(j zhn)在证明矩阵秩中的应用 矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用.而矩阵秩的问题,比较复杂,处理起来也没有一般的方法,而初等变换不改变矩阵的秩.利用分块矩阵的初等变换来

11、处理矩阵秩的问题,要充分利用对一个分块矩阵作一次分块矩阵初等行（列）变换,相当于用一个相应的分块初等矩阵左（右）乘该矩阵,利用分块矩阵左乘,右乘的灵活性,构造适当的分块矩阵,利用分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式,再利用三角形矩阵,准对角形矩阵秩的性质计算,使问题得以简化.引理3.14矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩;两个矩阵中有一个是可逆矩阵时,它积的秩等于另一个因子的秩.引理3.24秩+秩秩.引理3.34秩秩,事实上我们(w men)有,再利用(lyng)引理3.1可证.引理3.44在一个(y )分块矩阵中,若把每个块看成一个元素,则进行通常的初等变换仍不改变矩阵的秩

12、.例174 设,都是矩阵,则秩秩+秩.证明 构造分块矩阵,对其进行广义的初等变换,则,故根据初等变换的性质有秩()秩()秩秩 秩,从而秩秩+秩.用数学归纳法可以推广到秩(+)秩()+r()+r().推论14 设,都是矩阵,则秩秩秩.证明 秩=秩秩+秩即证.例184设是矩阵,是矩阵,且,则秩+秩.证明 由于,故有,由引理得秩秩秩秩秩第14页 共17页从而有秩+秩.推论(tuln)24 设是阶方阵(fn zhn),且,则秩秩.证明(zhngmng) 由于,秩秩.另一方面, 秩秩秩秩从而有秩+秩.例19 2设,为矩阵,证明:如果,那么秩（）秩（).证明 因为, , 所以秩 秩,又秩秩秩,所以 .例2

13、0 设为阶矩阵,则.证明 对矩阵的阶数用数学归纳法.当时,结论成立.若,结论成立.当时,若.不妨设,第15页 共17页.例21 设,都是阶矩阵(j zhn),求证:秩秩秩.证明(zhngmng) 因为(yn wi) 所以.又因为,都可逆,所以秩秩.而秩秩 秩秩秩,所以秩秩秩.例22 设是矩阵的可逆顺序主子阵,则.证明 因为而是可逆矩阵(j zhn),由以上(yshng)性质知.例23 （Sylvester公式(gngsh)）设,分别为和矩阵,则第16页 共17页,.证明 构造四分块矩阵对其进行广义的初等变换,则 ,故.而,综上所述,得以证明 .第17页 共18页例24（Frobeniius不等

14、式）设矩阵,及依次是,及矩阵,则.证明 构造四分块矩阵,对其进行广义的初等变换,则,故根据初等变换的性质有第17页 共17页,从而有.总之(zngzh),四分块矩阵是研究矩阵问题是的一种重要(zhngyo)的方法,目的(md)在于简化运算和数学证明,通过局部性质的描述,更直接的解决问题,减少不必要的步骤,使问题简单明了便于记忆和理解,以上主要介绍了利用矩阵四分块的方法,求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩的不等式等问题.然而矩阵分块的思想方法在矩阵的正定性,特征值等方面应用也很广泛,本文不再赘述.除了在数学领域,它还适用于一些电脑应用如VLSI芯片设计等.参考文献1 王萼芳,石生明.高等代数(第

15、3版)M.北京:高等教育出版社,2003:181-203.2 严坤妹.分块矩阵的应用J.福建广播电视大学学报,2006,第5期:71-73.3 北京大学数学系几何与代数小组教研室代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社.4 杨子胥.用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质J.聊城师范学院学报,1982:40-45.5 王莲花,李念伟,梁志新,分块矩阵在行列式计算中的应用J,河南教育学院学报(自然科学版),2005,14(1):12-15.6 徐天保.分块矩阵的应用J.安庆师范学院学报(自然科学版),2010,16(2):106-108.7 孔庆兰.分块矩阵的应用J.枣庄学院学报,2006,23(5):

16、24-26.8 Shujun Bi,Le Han,Shaohua Pan et al.Approximation of rank function and its application to the nearest low-rank correlation matrixJ.Journal of global optimization,2013,57(4):1113-1137.9 吴旭.用矩阵分块方法证明矩阵秩的一些性质J.甘肃广播电视大学学报,2003,13(3):45-47.10 陈文华.分块矩阵的初等变换及其应用J.大理学院学报,2009:7-11.Applicationoffourbl

17、ockmatrixelementarytransformationWangPan(Grade11, Class2, Major in Information and Computational Science, Department of Mathematics, Shanxi University of Technology, Hanzhong 723001,Shanxi)Tutor: Yalan ZhouAbstract:Matrixinverseanddeterminantofamatrix,matrixrankiscommonprobleminadvancedalgebra.Forhighordermatrix,solvetheseproblemsareoftentoocumbersome,evencantsolve.Butifusingthemethodofmatrixblocking,applytheideasandmethodsofelementarytransformationofmatrixinthepartitionedmatrix,thencanhav