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文档简介
1、第七章 离散时间信号与系统的频域分析第七章 离散时间信号与系统的频域分析延续信号与系统的分析: 时域第1章、2章 变换域 频域第3章、4章 复频域第5章离散时间信号与系统分析: 时域第6章 频域第7章 变换域 复频域第8章 第七章 离散时间信号与系统的频域分析本章引见主要内容: 离散时间信号和系统的频域分析即离散傅立叶分析 信号的频域分析包括: 周期序列的离散时间傅立叶级数DFS 非周期序列的离散时间傅立叶变换DTFT 离散傅立叶变换和反变换DFT 快速算法即快速傅立叶变换FFT 快速傅立叶反变换IFFT 离散系统的频域分析方法第七章 离散时间信号与系统的频域分析 7.1 线性移不变系统对复指
2、数输入序列的呼应*7.2 周期序列的离散时间傅立叶级数*7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换 7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换*7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换 7.6 离散时间傅立叶变换的根本性质*7.7 离散傅立叶变换:有限长序列的傅立叶分析 7.8 离散傅立叶变换的性质#7.9 分段卷积法:短序列与长序列的线性卷积*7.10 利用离散傅立叶变换近似分析延续非周期信号的频谱#7.11 快速傅立叶变换FFT#7.12 快速傅里叶反变换*7.13 线性移不变系统的频域分析7.1 线性移不变系统对复指数输入序列的呼应单位样值呼应特征函数或特征信号 系统特征值、系统函数 LSI卷积
3、和恣意的复指数序列 呼应 推行: 线性移不变系统的任一输入 可以表示为一组 复指数序列的线性组合,即 那么线性移不变系统对 的呼应为 7.1 线性移不变系统对复指数输入序列的呼应 本章中思索 的情况7.2 周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)延续时间虚指数信号基波频率基波周期信号集延续时间周期信号为周期7.2 周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)虚指数序列 类似的,周期序列N为基波周期周期为N的周期序列基波频率为 7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 以 N 为周期的周期虚指数序列也可以构成一个序列集 中具有无穷多个互不一样(对k而言)的谐波信号,与虚指 数序列集的情况有所不同,虚
4、指数序列集是周期一样的。 类似:周期的序列 周期N 基波频率 序列集中每一个序列的频率均为基波频率的整数倍,因此各个序列的频率之间构成谐波关系。阐明:DFS为一有限项级数,即任一周期为 N 的周期序列 ,都可以分解为 N 项独立的虚指数序列 的线性组合。7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.1 离散时间傅立叶级数展开式 离散时间信号的傅立叶级数分析中,一个周期为N 的周期序列 可以用 中一切独立的N 个虚指数序列的线性组合表示,即 周期序列DFS DFS的系数,也称为 的频谱系数.比较,延续周期信号的傅里叶级数展开7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.2 傅立叶级数
5、的系数 7.14,留意到在一个重要式子的证明周期序列求和与起点无关几何级数离散序列的直流 基波 二次谐波N-1高次谐波 在区间 上构成一个正交序列集,正交性可以表示为:7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)在几何级数求和公式:令,留意到在时, 7.15可知:,正交7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)同乘以 在一个周期内对n 求和7.18分析公式 内和式为零内和式为N7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)周期序列DFS 分析公式 DFS比较7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.3 展开式系数 的性质DFS 的系数 有与延续傅立叶级数系数 类似的性质,两者之间的根
6、本区别在于 具有周期性。1假设 是一个周期为 的周期序列,那么 也是一个周期为N的周期序列 2假设 是实周期序列时,那么 具有共轭对称性 3 的模和相角分别是k 的偶函数和奇函数, 的实部和虚部分别是k 的偶函数和奇函数。 7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)例:求序列 的频谱系数。 7.7因此,解:1对于正弦序列来说,要成为周期序列,应为N对比K=1K=-17.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 7.7因此,周期性正弦序列 在长度为N 的任一周期内仅有两个非零的系数。 7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 7.7因此,(2) ,且P、N 无公约数, 是周期序列 7.7因
7、此,7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 7.7因此,7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 7.7因此,7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 7.7因此,7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)第一个零点位置峰值为7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS) 7.7因此,随着N 的增大,谱线的幅度和间隔( )都减小脉冲宽度N1 越大,那么频谱包络的主瓣宽度( ) 越窄 与延续周期矩形脉冲的结论类似-T1T1E0延续、周期非周期、离散离散、周期周期、离散7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.4 离散时间傅立叶级数的收敛性假设用有限项级数来近似表示原信号序
8、列,DFS 不存在收敛问题,也不存在吉布斯景象,这也是它和延续时间傅立叶级数之间的一个差别 N 为周期的离散时间序列N 个序列值是独立的信号的一个周期DFS 的系数 也是以N 为周期的,它有N 个独立的值序列在时域中N 个独立的值频域中N 个独立的值对应变换原离散时间信号可以用复指数序列线性组合表示,而系数就是这N 个独立值周期性矩形脉冲序列的周期N 频谱谱线的间隔 时域中 周期序列 非周期序列 频域中 离散频谱 延续频谱, 谱线的幅度也将趋于无穷小量DFS 不适宜表述离散非周期信号,这种情况与延续时间信号的完全类似。采用与延续时间情况下对周期信号的傅立叶级数令周期趋于无穷大,从而引出非周期信
9、号的傅立叶变换完全一样的方法。由周期序列的DFS来建立非周期离散时间信号的傅立叶变换表示式,称之为离散时间傅立叶变换DTFT。7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)7.3.1 非周期序列的离散时间傅里叶变换周期延拓 随着周期N 的增大, 就会在一个更长的时间段内与 一致当 时,在整个时间范围内或者说对于恣意 n 值, 周期序列 N 在区间 所在的这个周期内,有 ,将求和区间 就选在该周期内7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)周期序列 的离散傅里叶级数为7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)非周期序列的离散时
10、间傅立叶变换DTFT频谱密度函数 把区间 称为 的主值区间 :弧度为单位的数字频率 :周期 以 为变量的延续函数 7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)周期序列离散傅立叶级数的系数 就是与其相对应的非周期序列即有限长序列的DTFT 在点 的抽样值乘以1/N,非周期序列的DTFT 那么是与其相对应的周期序列的傅立叶级数系数的包络 。 7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)7.3.2 非周期序列的离散时间傅里叶反变换变为一个非周期信号的离散时间傅立叶反变换IDTFTDTFT时域中的非周期序列 可以分解为无穷多个频率从 延续分布的虚指数序列的线性组合,每个虚指数分量的幅度 积
11、分区间可以是任何一个长度为 的区间,对应于DFS中k 的取值周期N。7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)阐明:周期延续周期函数周期延续周期函数7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)IDTFTDTFT7.3.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换的收敛性对于无限长的非周期序列,并不一定能保证其DTFT都存在假设序列 满足绝对可和条件,即 或者假设 的能量有限,即应该留意,由于有所以这里的绝对可和与平方可和的条件并不是等价的序列的绝对可和与平方可和只是离散时间傅立叶变换收敛的充分条件,离散时间傅立叶变换存在的充分必要条件至今尚未找到。 7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(
12、DTFT)收敛周期、离散 周期N非周期、延续 :幅频、相频特性 非周期、离散 :频谱线延续时间周期信号、延续时间非周期信号、离散周期信号、离散非周期时间信号的傅立叶分析表示式,这些表示式在时域和频域上,均具有离散性和周期性、延续性和非周期性之间的一一对应关系。7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)周期、延续 周期 延续非周期函数延续周期函数延续与离散傅氏分析比较FSFTDTFT时域的非周期频域的延续频域的周期频域的非周期频域的离散时域的离散时域的延续时域的周期离散周期序列离散非周期序列DFS规律:幅度谱、相位谱都是以2为周期的周期函数。因此普通只需画出 或 谱线图即可。1、单边指数
13、序列7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换频谱函数幅频特性和相频特性图a,由于序列值变化较慢,所以幅度谱集中在 附近,即频谱能量主要集中在低频附近,具有低通特性;图b中,由于序列值正负交替,变化较快,故其幅度谱集中在 附近,即频谱能量主要集中在高频附近,具有高通特性。 越接近于1,其幅频特性曲线越尖。 为一实偶序列,其频谱也是一个实偶函数,其相位谱为零。 时,双边指数序列的频谱图如下图。2、双边指数序列7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换3、矩形脉冲序列有限长序列7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换 的频谱为1,这阐明单位脉冲信号包含了
14、一切的频率分量,而且这些频率分量的幅度和相位都一样。 的波形及频谱示于图中。4、单位样值序列7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换5、常数序列 不满足绝对可和条件,不能直接运用公式 离散直流信号常数1 频域中强度 7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换,1周期为假设区间上只一个7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换1周期6、符号函数序列该序列可以看成是双边指数序列 7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换, 实奇函数虚奇函数7、单位阶跃序列运用上面所求出的三个序列即1、 和 的离散时间傅立叶变换7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换离散时间傅里叶变换有着与延续时间傅里叶变换相
15、类似的特点,推导得到的频谱也有着对应关系。但他们又有着根本的区别,离散时间信号的频谱是以2为周期的周期函数,这一点应特别留意。7.4 典型非周期序列的离散时间傅立叶变换留意:7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换延续时间信号的傅立叶分析周期信号和非周期信号均可用其傅立叶变换来表示 周期信号的傅立叶变换表示式是利用在周期信号的傅立叶级数展开式两边取傅立叶变换的方法导出的。类似地,周期序列的DTFT利用在周期序列的傅立叶级数展开式两边取离散时间傅立叶变换得出周期序列的离散时间傅立叶变换,从而也使周期序列与非周期序列都可以一致地用其离散时间傅立叶变换来表示。1、 周期性虚指数序列的离散时间傅立叶变换延
16、续时间 离散域中7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换由于在恣意一个长度为 的积分区间内只含有一个单位样值信号,积分区间选择包含 处的单位样值信号对偶的频谱7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换是周期函数2. 普通周期序列的离散时间傅立叶变换周期序列DFS两边同时取DTFT7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换周期函数7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换1周期序列 的DTFT由一系列冲激序列组成;2各个冲激序列仅出如今 的各次谐波频率点上即基波频率 的整数倍频率上,位于频率 处冲激序列强度为 ;3傅立叶级数的系数 是以 为周期的
17、相当于 以 为周期, 是一个周期等于 的周期函数。3与延续时间周期信号的傅立叶变换表示式完全对应,其含义也一样。 类似于延续时间周期信号,对于 即可以利用其定义式求取,也可以利用单个周期内信号的离散时间傅立叶变换求得,即7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换延续周期FS离散周期DFS离散周期DTFT延续周期FT7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换 是周期序列 在第一个周期内的信号的DTFT周期序列或信号的DTFT(或FT)与它的单个周期内序列或信号的DTFT(或FT之间的关系对比小 结DFS周期序列DTFT非周期序列、周期序列周期序列DTFT7.6 离散时间傅立叶变换的根本性质离散时间信号 的离
18、散时间傅立叶变换 对于 以 为周期1.周期性 2.线性 7.6离散时间傅立叶变换的根本性质3.位移时移性 阐明:序列位移时移后其幅频特性坚持不变,相频特性附加一个线性相移,即时域位移对应频域相移。4.频移性 阐明:时域调制对应于频域频移7.6离散时间傅立叶变换的根本性质正弦和余弦序列的波形及其频谱图 7.6离散时间傅立叶变换的根本性质1共轭对称序列与共轭反对称序列 时域复序列任一复序列 可以分解为一个共轭对称序列分量与一个共轭反对称序列分量和5. 对称性共轭对称序列共轭反对称序列7.6离散时间傅立叶变换的根本性质 分解 共轭对称分量共轭反对称分量DTFT频域复函数7.6离散时间傅立叶变换的根本
19、性质2 复序列离散时间傅立叶变换的对称性1假设2复序列分解为实部分量和虚部分量 时域序列的实部分量和虚部分量与该序列频域函数的共轭对称分量和共轭反对称分量相对应7.6离散时间傅立叶变换的根本性质3 时域序列的共轭对称分量和共轭反对称分量与 该序列频域函数的实部和虚部相对应4实序列DTFT的对称性1实序列 的DTFT具有共轭对称性实部 是 的偶函数虚部 是 的奇函数 幅频特性是 的偶函数, 相频特性是 的奇函数7.6离散时间傅立叶变换的根本性质7.6离散时间傅立叶变换的根本性质2任一实序列总能分解为一个偶对称序列分量和一个奇对称序列分量之和,即 奇对称序列偶对称序列实序列偶分量的DTFT为原序列
20、傅立叶变换的实部分量 奇分量的DTFT为原序列傅立叶变换的虚部分量 7.6离散时间傅立叶变换的根本性质实实时域频域共轭对称共轭反对称共轭对称共轭反对称虚虚7.6离散时间傅立叶变换的根本性质6.时域卷积特性 它不仅将时域的卷积运算简化为频域的乘法运算,提供了一种由频域计算零形状呼应的简易方法,而且阐明系统呼应 是离散系统频率呼应 对鼓励信号频谱 进展加权的结果。产生这种时域卷积特性的根本缘由是由于虚指数序列 是线性移不变系统的特征函数。留意:该特性不能直接运用于两个序列都是周期序列的情况,由于其卷积和不收敛7.6离散时间傅立叶变换的根本性质7. 频域卷积特性调制特性 频域卷积性质有两个重要运用:其一是调制,即利用和正弦指数信号相乘对信号的频谱进展搬移,如频移性质;其二是加窗,即利用和有限长的窗口函数相乘对时域信号进展截断,如数字滤波器的设计。加窗的方法在信号
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