反比例函数图像和性质及应用全章

1、反比例函数图像和性质及应用全章京沪铁路全程1463km，某列车的平均速度v km/h随运行时间t h的变化而变化(试用t表示v）.情境问题一V=1463 t_情境问题二某小区要种植一个面积为1000 m的矩形草坪，它的长ym随宽xm的变化而变化（试用x表示y）.2y=1000 x_情境问题三北京市总面积为1.68x10 平方千米 ，人均占地面积S平方千米/人随全市人口n人的变化而变化（试用n表示s）.S= n_44比一比 上述三个解析式分别为：1.你能说出它们的共同特征吗？2.你能用一个一般形式表示出来吗？思考反比例函数中自变量x的取值范围是什么?形如 （k为常数,k0）的函数叫做反比例函数，

2、其中x是自变量，y是x的函数。你能举出几个反比例函数的表达式吗？思考:xy=4中,y是x的反比例函数吗？y=kx-1xy=ky与x成反比例判断：下列各式是否是反比例函数，如果是,说出k的值.1.y = 4x 4. y= -2.y = 6x+1 5. =33.xy = 123 6. y= 5x3x_yx_(否)(否)(否)(是)(是)(是)-11.若函数y=(m+2)x 是反比例函数，则m_,n_;2.若函数y=(m+3)x 是反比例函数，则m=_;3.若函数y= 是反比例函数，则m=_.n-1lml-4m-1 x_lml=0-23-1填空：y=kx-1xy=ky与x成反比例记住这三种等价形式：

3、（k 0）例1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？可以改写成 ，所以y是x的反比例函数，比例系数k=1。不具备 的形式，所以y不是x的反比例函数。y是x的反比例函数，比例系数k=4。不具备 的形式，所以y不是x的反比例函数。可以改写成 所以y是x的反比例函数，比例系数k= y =32xy = 3x-1y = 2xy = 3xy =13xy = x1下列函数中哪些是反比例函数?哪些是一次函数? 反比例函数一次函数1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） （A） （B） + 7 （C）xy = 5 （D）2.已知函数 是正比例函数,则 m=_ ； 已知函数 是反

4、比例函数,则 m = _ 。y =8X+5y =x3y =x22y = xm -7y = 3xm -7C86xy+4=0中y是x的反比例函数吗?若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。xy+4=0可以改写成 比例系数k等于4所以y是x的反比例函数4.当m 时，关于x的函数y=(m+1)xm2-2是反比例函数？分析:m2-2=-1m+10即 m=1m-11例2.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.写出y与x的函数关系式:求当x=4时y的值.例题讲析因为当 x=2 时y=6，所以有y与x的函数关系式为 把 x=4 代入 得 【待定系数法求反比例函数的表达式】变式:y是x-1的反比例函

5、数,当x=2时,y=-6. (1)写出y与x的函数关系式.(2)求当y=4时x的值.(2).根据函数表达式完成上表.2-41例3.例题讲析(1).写出这个反比例函数的表达式;解: y是x的反比例函数,解：由题意知由 x=1 时，y=4知识点 1反比例函数的定义1.判别下列式子是否表示 y 是关于 x 的反比例函数？如果是，请指出相应的 k 值是多少？解：是反比例函数，k 值分别为5,123,3.反比例函数定义式及常见的变式(k 为常数，【跟踪训练】1下列函数中，是反比例函数的是( )D2已知函数 ykxk2 是反比例函数，求 k 的值解：由题意得，k21 且 k0，解得 k1.3.已知函数 是

6、正比例函数,则 m =_ ; 已知函数 是反比例函数,则 m =_ .已知函数 是反比例函数,则 m = _ 。y = xm -7y = 3xm -7y = (m-3)x2-|m|86-3判断一个等式为反比例函数,要两个条件:(1)自变量的指数为-1;(2)自变量系数不为0.知识点 2求反比例函数解析式(重点)2.(1)已知变量 y 与 x 成反比例，并且当 x3 时，y7，写出 y 与 x 之间的函数解析式；求当 x7 时函数的值；(2)已知函数 yy1y2，y1 与 x 成正比例，y2 与(x2)成反比例，且当 x3 时，y5；当 x1 时，y1，求出 y 与 x的函数解析式【跟踪训练】2

7、【课堂练习】是x成反比例,当x=3时,y=4.(1)写出y与x的函数关系式.(2)求当时x的值.2.已知函y=m+n,其中m与x成正比例,n与x成反比例,且当x=1时,y=4;x=2时y=5.(1)求y与x的函数关系式.(2)当x=4时,求y的值.26.1.2 反比例函数的 图 象 和 性 质(1)知识回顾1、什么是反比例函数？ 2、反比例函数的定义中还需要注意什么？自变量x的取值范围一般地，形如 的函数 叫做反比例函数 自变量x的次数为 3、请回忆：正比例函数的图象和性质-2 （k是常数，k0）-1x0若函数y=（m-2)xm2-5是反比例函数，则m= ， 性 质 图象名称 解析式图象位于：

8、一、三象限 y随x的增大而增大图象位于：二、四象限 y随x的增大而减小K0K0y=kx (k0)直 线(过原点）增减性：增减性：1、列表:2、描点:3、连线:y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6O-1-2-4421请你另外取一个正整数k的值，作出其反比例函数图象图象会和坐标轴相交吗？反比例函数 的图象通过对k取不同的正值，作出了反比例函数的图象，你发现了反比例函数的图象是什么?分别在哪个象限内？思考：-4 -2 -1 -0.50.5 1 24注意：图象不会与x轴、y轴相交y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3

9、-4-5-6Oy -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6O图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内y =x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233245616-1-6-2-3-3-2-4-5-6-1图象由两条曲线组成，叫做双曲线，只要k取正值，图象都位于第一、三象限内K的值还可以取其他一些什么值？说说看再认真观察y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6Oy -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x654321-1-2-3-4-5-6O列表、描点、

10、连线对称性反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点xy012y = kxy=xy=-x123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？AB如图xB xA但yB0K0时,图象在第_象限,y随x 的增大而_.一、三二、四一减小增大减小练一练1 函数y=kx-k 与 在同一条直角坐标系中的 图象可能是 .练一练2已知反比例函数 若函数的图象位于第一三象限，则k_;若在每一象限内，y随x增大而

11、增大，则k_. 4练一练3Dxyoxyoxyoxyo(A) (B) (C) (D) 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k0时，y随x的增大而减小;当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.k0k0 x知识回顾y=kx(k0)(特殊的一次函数)k0k0 x既轴对称又中心对称既轴对称又中心对称对称中心：原点对称中心：原点对称轴：直线y= -kx对称轴：直线y=x 和 直线y=-x例1.已知函数 为反比例函数(1)求m的值.(2)它的的图象在第几象限?在各个象限内，y随x的增大如何变

12、化?(3)当 时，求此函数的最大值和最小值例2.已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？解：（）设这个反比例函数为，解得： 这个反比例函数的表达式为这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，随的增大而减小。图象过点A（2，6）1、反比例函数 的图象经过（2，-1），则k的值为 ；2、反比例函数 的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数图象上，则n等于（ ）A、10 B、5 C、2 D、-6-2A3、下列各点在双曲线 上的是（ ）A、（ ， ） B、（ ，

13、）C、（ ， ） D、（ ， ）B例3. 如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a，b），如果aa，那 么b和b有怎样的大小关系？解：（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。函数的图象在第一、第三象限解得 （），在这个函数图象的任一支上，随的增大而减小，当时例3. 如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（

14、2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a，b），如果aa，那 么b和b有怎样的大小关系？A1、在反比例函数 的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1x20 x3，则下列各式中正确的是（ ） A、y3y1y2 B、y3y2y1 C、y1y2y3 D、y1y3y22.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数 的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为 .y1 y23.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数 的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为 .(k0)A(x1,y1),B(x2,y2)且x10 x2yxox1x

15、2Ay1y2By1 0y24.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数 的图象上，则（ ）A、y1y2y3 B、y2y1y3C、y3y1y2 D、y3y2y1B例4. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，(-2,1)(1,a)(1)根据图象，求反比例函数和一次函数的解析式.(2)根据图象，直接写出不等式 的解集. 观察函数 的图象,当x=-2时,y= _ ,当x-2时,y的取值范围是 _ ;当y-1时,x的取值范围是 _ .-1-1y0 x0活学活用1. 如图：一次函数的图象 与反比例函数 交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.(1)求反比例函数和一

16、次函数的解析式；(2)根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.M（2，m）20-1N（-1，-4）yx 变式训练yx20-1N（-1，-4）M（2，m）（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.（2）观察图象得：当x-1或0 x2时，反比例函数的值大于一次函数的值. 变式训练2.如图已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 变式训练3如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，

17、与双曲线y2= （ky2(2)求出点D的坐标；(1)分别求直线AB与双曲线的解析式； 变式训练my2则y1y2则y1x2 ，则y1y2吗？ 课堂小结1.作函数图象的一般方法和步骤2.反比例函数的图象和性质：当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。当k0;当图像在第二、四象限时，K0。ByxoACxyoC(3,-1)A(-3,1)BD思路拓展1已知A(-3,1)、C(3,-1)在反比例函数上，将四边形沿着x轴(y轴) 做出他们的对称图形，求：四边形ABCD的面积为多少？若A(-x,y)、C(x,-y)，那么四边形ABCD的面积又为多少？C(x,-y)A

18、(-x,y)EF四边形AEFD的面积呢？反比例函数 的图象如图，点M是函数图象上一点，MN垂直x轴于N,则 （ ） （ ）xyoMN探究2P42Aoyx 2.观察图中各个三角形的面积，你有什么发现？1.如图，S矩形OAPB= _,SOAP= .xyOAPPyB你能总结一下规律吗？思考反比例函数 上一点P（m，n），过点P分别作PAy轴，PBX轴，垂足分别为A、B，则S矩形AOBP= ，SAOP= SBOP = . 归纳P(m,n)AoyxB1.如图，A、C是反比例函数 的图xyoCA象上的点，且A（3，-4），过C点作y轴的垂线，则COD的面积是多少？D2.如图，若点A在反比例函数 的图象上，

19、ABx轴，ACy轴，SABO=3；求k的值；当点A在反比例函数图像上运动时，ABO的面积发生变化吗？为什么？3.如图，已知点A在反比例函数图象上,AMx轴于点M，且AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为 。思路拓展2xyoCABFE如图，A、C是反比例函数 的图象上两点，过A作y轴的垂线，过C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，垂足分别为E、F，记S为ABC的面积，则S=?反比例函数中K的几何意义如图，在坐标平面上有两点A(2,3)和B(6,1),求AOB的面积；k的几何意义练习1：用含k的代数式表示下列阴影部分的面积练习21练习3图中面积相等的图形有哪些？图中面积相等的图形有哪些？例1.如图，

20、在坐标平面上有两点A(2,3)和B(6,1),求AOB的面积；学以致用图中面积相等的图形有哪些？学以致用重要的图形练习3例3AyOBxMNCD学以致用AyOBxMNAyOBxMNCDAyOBxMNCDAyOBxMN 1.已知,如图,反比例函数 与一次函数y=kx+1的图象交于A、B两点,点A的纵坐标是3.(1)求这个一次函数的解析式(2)求AOB的面积. 变式训练yBAxo2.如图，已知A、B是双曲线 上的两点,(1)若A(2,3)，求K的值.(2)在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积. 变式训练(3)若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交

21、X轴于点C，若 ，求K的值yBAxoC 变式训练yxoPQ 变式训练MN3 4. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交与A，B两点且点A的横坐标与B点的纵坐标都是，求一次函数的解析式；求AOB的面积。xyOABCEFP(m,n)AoyxB 图象上的面积P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx 图象上的面积PBy轴于点B,直线PC经过原点。 图象上的面积P(m,n)AoyxP/ 图象上的面积A. S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2面积性质的应用ACoyxBA.S = 1 B.1S2ACoyxP解:由性质(2)可得4.如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作ACx轴于点C若ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（） A. B. C. D.xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数 的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作 轴与 轴