东北育才双语学校2022年高三最后一卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）A2BCD32已知函数，则（ ）

2、ABCD3执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）AB4CD4已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足l m，l n，则（ ）A且B且C与相交，且交线垂直于D与相交，且交线平行于5若复数满足，则( )ABCD6若向量，则与共线的向量可以是（）ABCD7已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是ABCD8复数满足，则（ ）ABCD9已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD10空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A这20天中指数值的中位数略高于100B这20天中的中度污染及以上（指数）的天

3、数占C该市10月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好11是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD12已知为等差数列，若，则( )A1B2C3D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_ ，该几何体的表面积为 _14小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_.15在面积为的中，若点是的中点，点满足，则的最大值是_.16记为数列的前项和，若，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字

4、说明、证明过程或演算步骤。17（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，

5、如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总

6、次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，18（12分）已知向量，函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值19（12分）已知函数（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围20（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（）求的方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.21（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.22（10分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛

7、物线的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值. 详解：由得到，故无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度

8、转化为到准线或焦点的距离来求解.2A【解析】根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【详解】依题意，.故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3A【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，退出循环，输出结果为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.4D【解析】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D考点

9、：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论5C【解析】化简得到，再计算复数模得到答案.【详解】，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.6B【解析】先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.7A【解析】求函数定义域得集合M，N后，再判断【详解】由题意，故选A【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等

10、式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定8C【解析】利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: ，故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.9D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10C【解析】结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.【详解】对于，由图可知天的指数值

11、中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.故选：【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.11D【解析】根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，

12、故，所以.令，则，故在上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.12B【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出【详解】an为等差数列，,，解得10，d3，+4d10+111故选：B【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，所以体积是，解得，四个侧面都

13、是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1三视图；2几何体的表面积14【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，所以其概率为.故答案为：【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.15【解析】由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB|AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化，最后由重要不等式求得最值.【详解】由ABC的面积为得|AB|AC|sinBAC=，所以

14、|AB|AC|sinBAC=，又,即|AB|AC|cosBAC=，由与的平方和得:|AB|AC|=，又点M是AB的中点，点N满足，所以，当且仅当时，取等号，即的最大值是为.故答案为：【点睛】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.16-254【解析】利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知，得，即，所以又，即，所以是以-4为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以。故答案为：【点睛】本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1

15、）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,则可求得,即可得到,进而由可得到p关于k的函数关系式；（ii）由可得,推导出,设（）,利用导函数判断的单调性,由单调性可求出的最大值【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,则,恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,若,则,则,p关于k的函数关系式为（,且）（ii）由题意知,得,设（）,则,令,则,当时,即在上单调增减,又,又,k的最大

16、值为4【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性18（1），（2）【解析】（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可【详解】（1），最小正周期：，由得，所以的单调递增区间为；（2）由可得：，所以又因为成等差数列，所以而，19（1）（2）【解析】（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】（1）当时，

17、由得由得解：，得当时，关于的不等式的解集为（2）当时，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.20（）（为参数）；（）【解析】（）设点，则，代入化简得到答案.（）分别计算，的极坐标方程为，取代入计算得到答案.【详解】（）设点，故，故的参数方程为：（为参数）.（），故，极坐标方程为：；，故，极坐标方程为：.，故，故.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.21（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）分、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）.当时，由，解得，此时；当时，不成立；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）要证，即证，因为，所以，.所以，.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.22（1）；（2）见解析【解析】（1）由条件可得，再根据离心率可求