杨辉三角与二项式系数的性质ppt.课件

1、一般地，对于n N*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？45 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性详解九章算法中记载的表杨 辉杨辉三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除1

2、以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+ 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 由： 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同

3、时取得最大值。（2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： （1） 一般地， 展开式的二项式系数 有如下基本性质： （2）（4） （3）当n为偶数时， 最大 当n为奇数时， = 且最大 （对称性）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 1第5行 1 5 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11 第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜线和”= 125第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第7行

4、1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和， 这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。斐波那契数列斐波那契 （11701250） 意大利商人兼数学家,他的著作算盘书中,首先引入阿拉伯数字，将“十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令 ，则： 已知求:(1) ； (2) ； (3) ; (4)变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？解类型：求展开式中系数最大的项方法:利用通项公式建立不等式组变式练习：在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项.解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则 即 3(r+1)2(20-r) 解得 2(21-r)3r