上部分课内容总结

1、上节课内容总结统计推断基本概念统计模型：参数模型与非参数模型统计推断/模型估计：点估计、区间估计、假设检验估计的评价：无偏性、一致性、有效性、MSE偏差、方差、区间估计CDF估计：点估计、偏差、方差及区间估计统计函数估计点估计区间估计/标准误差影响函数BootstrapBootstrap也可用于偏差、置信区间和分布估计等计算1本节课内容重采样技术（resampling）Bootstrap刀切法（jackknife）2引言 是一个统计量，或者是数据的某个函数，数据来自某个未知的分布F，我们想知道 的某些性质（如偏差、方差和置信区间）假设我们想知道 的方差如果 的形式比较简单，可以直接用上节课学习

2、的嵌入式估计量 作为 的估计例： ，则 ，其中 ，其中问题：若 的形式很复杂（任意统计量），如何计算/估计？3Bootstrap简介Bootstrap是一个很通用的工具，用来估计标准误差、置信区间和偏差。由Bradley Efron于1979年提出，用于计算任意估计的标准误差术语“Bootstrap”来自短语“to pull oneself up by ones bootstraps” （源自西方神话故事“ The Adventures of Baron Munchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他想到了拎着鞋带将自己提起来）计算机的引导程序boot也来源于此意义：不靠外界力量，

3、而靠自身提升自己的性能，翻译为自助/自举1980年代很流行，因为计算机被引入统计实践中来4Bootstrap简介Bootstrap：利用计算机手段进行重采样一种基于数据的模拟（simulation）方法，用于统计推断。基本思想是：利用样本数据计算统计量和估计样本分布，而不对模型做任何假设（非参数bootstrap）无需标准误差的理论计算，因此不关心估计的数学形式有多复杂Bootstrap有两种形式：非参数bootstrap和参数化的bootstrap，但基本思想都是模拟5重采样通过从原始数据 进行n次有放回采样n个数据，得到bootstrap样本对原始数据进行有放回的随机采样，抽取的样本数目同

4、原始样本数目一样如：若原始样本为则bootstrap样本可能为6计算bootstrap样本重复B次，1. 随机选择整数 ，每个整数的取值范围为1, n，选择每个1, n之间的整数的概率相等，均为2. 计算bootstrap样本为：Web上有matlab代码：BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX, by Abdelhak M. Zoubir and D. Robert Iskander, toolbox.htmlMatlab函数：bootstrp7Bootstrap样本在一次bootstrap采样中，某些原始样本可能没被采到，另外一些样本可能被采样多次在一个bootstrap样本集中

5、不包含某个原始样本 的概率为一个bootstrap样本集包含了大约原始样本集的1-0.368 = 0.632，另外0.368的样本没有包括8模拟假设我们从 的分布 中抽取IID样本 ，当 时，根据大数定律，也就是说，如果我们从 中抽取大量样本，我们可以用样本均值 来近似当样本数目B足够大时，样本均值 与期望 之间的差别可以忽略不计9模拟更一般地，对任意均值有限的函数h，当 有则当 时，有用模拟样本的方差来近似方差10模拟怎样得到 的分布？已知的只有X，但是我们可以讨论X的分布F如果我们可以从分布F中得到样本 ，我们可以计算怎样得到F？用 代替（嵌入式估计量）怎样从 中采样？因为 对每个数据点

6、的质量都为1/n 所以从 中抽取一个样本等价于从原始数据随机抽取一个样本也就是说：为了模拟 ，可以通过有放回地随机抽取n个样本（bootstrap 样本）来实现11Bootstrap：一个重采样过程重采样：通过从原始数据 进行有放回采样n个数据，得到bootstrap样本模拟：为了估计我们感兴趣的统计量 的方差/中值/均值，我们用 bootstrap样本对应的统计量（bootstrap复制） 近似，其中12例：中值X = (3.12, 0, 1.57, 19.67, 0.22, 2.20)Mean=4.46X1=(1.57,0.22,19.67, 0,0,2.2,3.12)Mean=4.13X

7、2=(0, 2.20, 2.20, 2.20, 19.67, 1.57)Mean=4.64X3=(0.22, 3.12,1.57, 3.12, 2.20, 0.22)Mean=1.7413Bootstrap方差估计方差： 其中注意：F为数据X的分布，G为统计量T的分布通过两步实现：第一步：用 估计 插入估计，积分符号变成求和第二步：通过从 中采样来近似计算Bootstrap采样+大数定律近似14Bootstrap：方差估计Bootstrap的步骤：1.画出2.计算3.重复步骤1和2共B次，得到4.（大数定律）（计算boostrap样本）（计算boostrap复制）15例：混合高斯模型：假设真实

8、分布为现有n=100个观测样本：直接用嵌入式估计结果：16例：混合高斯模型（续）用Bootstrap计算统计量 的方差：1. 得到B=1000个bootstrap样本 ，其中2. 计算B=1000个bootstrap样本对应的统计量的值 3. 与直接用嵌入式估计得到的结果比较：17Bootstrap：方差估计真实世界：Bootstrap世界：发生了两个近似近似的程度与原始样本数目n及bootstrap样本的数目B有关18Bootstrap：方差估计在方差估计中， 可为任意统计函数如均值（混合高斯模型的例子）中值（伪代码参见教材）偏度（例子参见教材）极大值（见后续例子）除了用来计算方差外，还可以

9、用作其他应用CDF近似、偏差估计、置信区间估计19CDF近似令 为 的CDF则 的bootstrap估计为20偏差估计偏差的bootstrap估计定义为：Bootstrap偏差估计的步骤为：得到B个独立bootstrap样本计算每个bootstrap样本 对应的统计量的值计算bootstrap期望：计算bootstrap偏差：21例：混合高斯模型： 标准误差估计在标准误差估计中，B为50到200之间结果比较稳定偏差估计22Bootstrap置信区间正态区间：简单，但该估计不是很准确，除非 接近正态分布 百分位区间： ，对应 的样本分位数还有其他一些计算置信区间的方法如枢轴置信区间：23例：Bo

10、otstrap置信区间例8.6：Bootstrap方法的发明者Bradley Efron给出了下列用语解释Bootstrap方法的例子。这些数据是LAST分数（法学院的入学分数）和GPA。计算相关系数及其标准误差。24例8.6 （续）相关系数的定义为：相关系数的嵌入式估计量为：Bootstrap得到的相关系数插入估计的标准误差为：标准误差趋向稳定于25例8.6 （续）当B=1000时， 的直方图为下图，可近似为从 的分布采样95%的正态区间为：95%的百分点区间为：当大样本情况下，这两个区间趋近于相同26非参数bootstrap过程总结对原始样本数据 进行重采样，得到B个bootstrap样本

11、 ，其中b=1, , B 对每个bootstrap样本 ，计算其对应的统计量的值（bootstrap复制）根据bootstrap复制 ，计算其方差、偏差和置信区间等称为非参数bootstrap方法，因为没有对F的先验（即F的知识仅从样本数据中获得）27非参数bootstrap统计量/统计函数：没有对F的先验，F的知识仅从样本数据中获得（CDF估计），统计函数的估计变为嵌入式估计真实世界：Bootstrap世界：如方差计算中，发生了两个近似近似的程度与样本数目n及bootstrap样本的数目B有关28Bootstrap的收敛性例：混合高斯模型： n=100个观测样本：4次试验得到不同B的偏差和方

12、差的结果29Bootstrap的收敛性B的选择取决于计算机的可用性问题的类型：标准误差/偏差/置信区间/问题的复杂程度30Bootstrap失败的一个例子 ，我们感兴趣的统计量 为 的CDF用G表示则 的pdf为 31Bootstrap失败的一个例子（续）对非参数bootstrap，令则所以 ，非参数bootstrap不能很好地模拟真正的分布32Bootstrap失败的一个例子（续）假设样本数目n=10，样本为 ，取参数 X = (0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637) 非参数bootstra

13、p复制的直方图B=1000，最高峰为理论结果：33Bootstrap失败的一个例子为什么失败？EDF 不是真正分布 的很好近似为了得到更好的结果，需要F的参数知识或者 的平滑性参数化的bootstrap表现很好，能很好模拟真正的分布34Bootstrap的收敛性给定n个IID数据 ，要求当 ， 收敛于F 为 的嵌入式估计统计函数的平滑性平滑函数：均值、方差不平滑函数：数据的一个小的变化会带来统计量的很大变化顺序统计量的极值（极大值、极小值）35参数化的bootstrap真实世界：Bootstrap世界：与非参数的bootstrap相比：F的先验用参数模型表示多了一个步骤：根据数据估计参数 （参

14、数估计），从而得到 不是经验分布函数EDF重采样：从估计的分布 采样（产生随机数）F的先验36例： 非参数bootstrap失败的例子 ，取参数 ，假设样本数目n=10，样本为 X = (0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637)在参数bootstrap中：F的先验：根据数据估计F中的参数：得到F的估计：从分布 产生B=1000个样本 ， 得到B个 , 直方图如右图的分布为真正的分布37参数化的bootstrap当F为参数模型时，参数化的bootstrap也可用于计算方差、偏差、置信区间等如计算方

15、差：0. 根据数据 估计 f 的参数 ，得到 f 的估计1. 抽取样本2. 计算3. 重复步骤1和2 B次，得到4.38参数bootstrap Vs. 非参数的bootstrapF的先验参数bootstrap中利用了分布F的先验，表现为一个参数模型，因此多了一个步骤，估计F模型中的参数。当先验模型正确时，参数bootstrap能得到更好的结果而非参数bootstrap不利用F的先验知识就能得到正确的标准误差（在大多数情况下）参数bootstrap能得到与Delta方法（计算变量的函数的方差）相当的结果，但更简单重采样参数bootstrap中，通过从分布 中产生随机数，得到bootstrap样本

16、，得到的样本通常与原始样本不重合非参数bootstrap中，通过对原始样本进行有放回采样实现对 的采样，每个bootstrap样本都是原始样本集合的一部分二者相同的是模拟的思想39Bootstrap（参数/非参数）不适合的场合小样本（n太小）原始样本不能很好地代表总体分布Bootstrap只能覆盖原始样本的一部分，带来更大的偏差结构间有关联如时间/空间序列信号因为bootstrap假设个样本间独立脏数据奇异点(outliers)给估计带来了变化40刀切法（jackknife）41引言Bootstrap方法并不总是最佳的。其中一个主要原因是bootstrap样本是从 产生而不是从F产生。问题：能

17、完全从F采样或重采样吗？如果样本数目为n，答案是否定的！若样本数目为m (m n)，则可以从F中找到数目为m的采样/重采样，通过从原始样本X得到不同的子集就可以！寻找原始样本的不同子集相当于从观测 进行无放回采样，得到数目为m的重采样样本（在此称为子样本）这就是jackknife的基本思想。42刀切法（jackknife）Jackknife由Maurice Quenouille (1949)首先提出比bootstrap出现更早与bootstrap相比，Jackknife ( m=n-1) 对计算机不敏感。Jackknife为一种瑞士小折刀，很容易携带。通过类比， John W. Tukey (

18、1958)在统计学中创造了这个术语，作为一种通用的假设检验和置信区间计算的方法。43Jackknife样本Jackknife样本定义为：一次从原始样本 中留出一个样本 ： Jackknife样本中的样本数目为m=n-1共有n个不同的jackknife样本无需通过采样手段得到 jackknife样本BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX中也有该功能44Jackknife复制统计量为：Jackknife复制为：均值的jackknife复制为：45Jackknife方差估计 从原始样本X中计算n个jackknife样本计算n个jackknife复制：计算jackknife估计的方差： 46

19、例：计算均值的方差 ，则所以方差的无偏估计47例：计算均值的方差因子 比bootstrap中的因子 大多了。直观上，因为jackknife 方差 比bootstrap中的方差 小得多（相比bootstrap样本，jackknife样本与原始样本更相似事实上，因子 就是考虑特殊情况 得到的 （有点武断）48例：混合高斯模型： Bootstrap结果：Jacknife结果：49例：混合高斯模型： 复制的直方图1000个Bootstrap复制100个Jacknife复制Jackknife复制之间的差异很小，每两个Jackknife样本中只有两个单个的原始样本不同50Jackknife Vs. boo

20、tstrap当n较小时，能更容易（更快）计算 n个 jackknife复制。但是，与bootstrap 相比，jackknife只利用了更少的信息（更少的样本） 。事实上， jackknife为bootstrap的一个近似（jackknife方差为bootstrap方差的一阶近似）！估计样本分位数时，jackknife计算的方差不是一致估计51Jackknife的其他应用Jackknife可用于类似bootstrap的应用，如偏差估计52Jackknife不适合的场合统计函数不是平滑函数：数据小的变化会带来统计量的一个大的变化如极值、中值如对数据 X=(10,27,31,40,46,50,52,104,146)的中值得到的结果为48,48,48,48,45,43,43,43,43偶数个数的中值为最中间两个数的平均值当函数不平滑时，可以用delete-d jackknife子采样来弥补每个delete-d jackknife样本中的样本的数目为n-d共有 个不同的delete-d jackknife样本d的取值：53参考文献BooksAn Introduction to Bootstrap, B. Efron and R. J. Tibshirani, Chapman & Hall, 1998.Bootstrap Meth