存在性与恒成立专题练习

1、知识点梳理1、恒成立问题的转化：a2、能成立问题的转化：a3、恰成立问题的转化：a另一转化方法：若x专题训练恒成立存在性问题fx恒成立afx能成立afx在M上恰成立D,f(x)3可.对(x)x2x求导，2x212x4x21,、一(x)2-0,故(x)在x1,2是增(2x21)2fxmax；afx恒成立fxmin;afx能成立afx的解集为Mafxminafxmaxafx在M上恒成立afx在CRM上恒成立A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)A,若2min(x)(1)-,所以a的取值范围是0a.3a112、设函数h(x)-Xb,对任意a-,2,都有h(x)10在x,1恒成立，

2、求实数b的取值范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质还是通过函数求最值解决.方法1：化归最值，h(x)10hmax(x)10；xD,f(x)B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)B.4、设函数fx、fminXgminXx1存在乂2使得fXigx2方法2：变量分离，b10(-x)或ax2(10b)x；x11万法3：变更王兀，(a)axb100,a-,2x25、设函数fX、对任意的x1存在X2X1gX2简解：方法1:对h(x)g(x)xbaxb求导，h(x)1-a2xx(xa)(xa)2，xfmaxxgmaxx。1.1由此可知

3、，h(x)在,1上的最大值为h(一)与h(1)中的较大者.446、设函数fx、g对任意的X1x2c,d，使得fX1=gX17、8、9、a,b上的值域设函数fx、g设函数fx、g若不等式fxM是gX在X2x,存在X1x,存在X1c,d上的值域a,b,存在X2N的子集。即：MNoygx图象上方;x在区间a,b,存在X2c,d,使得D上恒成立，则等价于在区间fX1fX1X2X2D上函数gmin14a-b1041ab103944a4,对于任息a9a1一一-,2,得b的取值范围是b，则fminXgmaxfx和图象在函数10、若不等式fXgX在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数3、已

4、知两函数f(x)x2,g(x)则实数m的取值范围为解析：对任意x0,2,存在x2x1m,对任意X10,2,存在X21,2，使得f(X1)gX2,2x1,一，一1,2，使得f(X1)gX2等价于g(x)m在1,2上的最2ygx图象下方；题型一、常见方法2a1、已知函数f(x)x2ax1,g(x)一，其中a0,x0.x1)对任意x1,2,都有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围;-1小值一m不大于f(x)44.已知f(x)2axx11x在0,2上的最小值0,既一m0,m-4412lnx在x1与x一处都取得极值.函数g(x)=x2mx+m,右对任息的22)对彳E意X11,2,X22,4,都有f

5、(xjg(x2)恒成立，求实数a的取值范围;【分析：】1)思路、等价转化为函数f(x)g(x)0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2)思路、对在不同区间内的两个函数简解：(1)由x22ax1亘0 xf(x)和g(x)分别求最值,即只需满足fmin(x)gmaKx)即可.x3xx3xa一成立，只需满足(x)一的最小值大于a即2x12x11X1,2,总存在X2一,2,使得、g(X1)2b斛析：Qf(x)2axlnx,f(x)2ax什一.12a取得极值，f(1)0,f(-)0,22af(X2)lnX2,求实数m的取值范围。b1-，、-b.,-1,一二一Qf(x)2ax一lnx在x1与x一

6、处都x2xx2b1011解得：ab一当ab一时，4b2033f(x)12112(x1)(x-)J33x2133x21所以函数f(x)在x1与x-处都取得极值.2又函数y=f(x)lnx2117x+在,2上递减，f(x)lnxmin=f(2)=33x26又函数g(x)=x22mx+m图象的对称轴是x=m111(1)当m一时：g(x)min=g(-)=-,依题息有22412(2)当一m2时：g(x)min=g(m)=mm,217.，1成乂，m2时：g(x)min=g(2)=43m,43m31m,182小结：右二次函数yaxa02bxca0大于0恒成立，则有,同理，右二次函数yaxbxca0综上：m

7、3+J?6所以，实数m的取值范围为(3+516题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)，一，a0-.一一，一一小于0恒成立，则有0。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法1、对于满足p2的所有实数p,求使不等式x2解：不等式即x1px22x10,设fp,f20 x24x30于0,故有：f20 x210px1p2x恒成立的x的取值范围。.2x1px2x1,则fp在-2,2上恒大x3或x1x1或x3x1或x12、已知函数f(x)ln(exa)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函

8、数gxf(x)sinx是区间1,1上的减函数,(1)求2的值；(11)若9(冷t2t1在x1,1上恒成立，求t的取值范围;(n)分析：在不等式中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在1内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(n)略解：由(I)知：f(x)x,g(x)xsinx,Qg(x)在11上单调递减，g(x)cosx02sin1tt1f(t1)t2sin1cosx在1,1上恒成立，2(t1)tsin110(其中11，g(x)maxg(1)sin1,只需)恒成立，由上述结论：可令10(1),则t10t1t2sin

9、110t1t2tsin1，而t2tsin10恒成立,若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立，则等价于在区间D上fxA;max若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立，则等价于在区间D上的fx.B.min.1、存在实数x,使得不等式x3|x1a23a有解，则实数a的取值范围为。解：设fX|x3|x1,由fXa23a有解，a23afXmin,又x3x1x3x14,1-a23a4,解得a4或a1。122、已知函数fxlnx-ax22xa0存在单调递减区间，求a的取值范围2.2解：因为函数fx存在单调递减区间，所以fX-ax2-ax一210 x12八0,有解.即a七一x0,能成立，设uxx2x,12

10、1.2x2t1。题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)1、当x1,2时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是2解析：当x(1,2)时，由x2mx4Vm-一4.m5.|x|x|由Ux-11信，uminx1.于,a1,x2xx由题设a0,所以a的取值范围是1,00,ax小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式f X不等式f X不等式f XM对x I时恒成立M对x I时有解M对x I时恒成立或f X的上界大于或等于M ；又因为 TOC o 1-5 h z fmax(X)M?,XI。

11、即fX的上界小于或等于M；fmin(X)M?,XI。或fX的下界小于或等于M；fmin(X)M?,XI。即fX的下界大于或等于M；不等式fXM对XI时有解fmaX(X)M,XI.。题型六、等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法1.已知函数f(x)aXlnX,X(1,e),且f(x)有极值(I)求实数a的取值范围；(n)若lmn0,解将墓=-2*式垃=/7-2.1(L。)的值域为(由(I)知人*).*=-1+la(*)-1-21.=U+】(_*+1.Q)*,KQ=2.J.,?r-2-1+ln(-、-2+1T-2A+)芮5力(+1,-I+ln(/)匚(-2,累，-2).且1*-1鼻火-+)(=或

12、？-*),二九“J)石却匹(1M人使得底气)/司)成立(n)鬟证明/即证明Rhurt也即证明：令FS)蛔m(Q)JWFG)与粤X4J.当工e(1，时，F(h)在(I,鼻)上为增雨数又1(e工顺叫停课后作业:1、设a1,若对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程logaxlogay3,这时a的取值集合为()(A)a|1a2(B)a|a2(C)a|2a3(D)2,32、若任意满足xy0 xy50的实数x,y,不等式a(x2y2)(xy)2恒成立，则实数a的最大值是y303、不等式sin2x4sinx1a0有解，则a的取值范围是4、不等式axJx4x在x0,3内恒成立，求实数a的取值范围。7、已

13、知A、B、C是直线上的三点，向量OAOBOCl足：OAy2f1OBInx1OC0.5、已知两函数 f x 7x2 28x c, g x 2x3 4x2 40 x。(1)对任意x3,3 ,都有f x g x成立，求实数c的取值范围;(2)存在x3,3 ,使f x g x成立，求实数c的取值范围；(3)对任意xi ,x23,3 ,都有f xig x2 ,求实数c的取值范围;(4)存在xi,x23,3 ,都有f xig x2 ,求实数c的取值范围；(1)求函数y=f(x)的表达式；2x(2)若x0,证明：f(x)x+2；1222(3)若不等式-xfxm2bm3时，x1,1及b1,1都恒成立，求实数m的