弹塑性力学习题题库加答案(一)

1、第二章应力理论和应变理论23.试求图示单元体斜截面上的0- 30和。30。斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时， 正负值应作何修正。（应力单位为其符号及解：在右图示单元体上建立 xoy坐标，则知(T x = -10 (T y= -4 T xy = -2（以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得:CT + CT CT CT二- =x y . x y cos2： - sin 2： 3022-10 -4-10 41 一cos60” 2sin 60 = -7 -3 2 2MPa）并说明使用材料力学求题1-3图=-6.7681-6.77(MPa)T ，30ysin2ji：XvCs2=-0-

2、4sin60-2cos60 xy2-21=-3.598L-3.60(MPa)代入弹性力学的有关公式得:己矢口 C x = -10(Ty= -4 T xy = +2CT u 30CT +(J x yCJ(一CTy、)cos2 Txysin2： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document -10-4-10411,3cos602sin60-7-3-2-6.768L-6.77(MPa) HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 、-y.104T -30sin21rxvCos2二-sin602c

3、os60 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document xy2 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document =3二21=3.59813.60(MPa)22由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。2-6.悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为丫弹性模量为E,横截面面积为A。试求离固定端Z处一点C的应变ez与杆的总伸长量Al。解：据题意选点如图所示坐标系xoz,在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面

4、的内力：Nz=YAz;C截面上的应力：仃zNz所以离下端为z处的任意一点c的线应变z为:则距下端（原点）为 z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为:I _ z .z. z z ,z .|_lz= ; d：. Ll = :;zdz= E dz= E ； zdyz22E，显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）1 = d (1)=2EA 1 l W 1/、=；(W= yAI)2EA 2EAxo题16图500300-80029.己知物体内一点的应力张量为：（Tij =300-300800-3001100应力单位为kcm2试确定外法线为ni/,1=,1=（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总:

5、3、3,3应力R、正应力bn及剪应力Pn。解：首先求出该斜截面上全应力Pn在x、y、Z三个方向的三个分量：n7=nx=ny=nzPx=（仃x +xy + 三 xz ）n721=153-8）10=Py=yx 二 y - yzJn7 = 3+0+（-3）1父102Pz=zx - yz .二z n78 -8-3 11 102173所以知，该斜截面上的全应力百及正应力bn、剪应力。n均为零，也即:Pn=（Tn=Pn=0215.如图所示三角形截面水坝材料的比重为丫，水的比重为丫1。己求得应力解为:crx=ax+by,cry=cx+dy-yy,txy=-dx-ay;试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a

6、、b、c、d。解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：li=-1；12=0;Tx=丫iy;Ty=0则dx=-丫iy;zxy=0代入：o-x=ax+by;txy=-dx-ay并注意此时：x=0得：b=-丫i；a=0;OB边：1i=cos3;12=-sin3,Tx=Ty=0 xcosPsinB=0则：Jx口x口（a）yxcosP+ysinP=0将己知条件：。x=-丫iy;pxy=-dx;dy=cx+dy-丫y代入（a）式得：-1ycosdxsin:=0|HHHI川川WIHH仙b-dxcos:-cxdy-ysin:=01HHHHHIHIIHHIHHHc化简（b）式得：d=丫ictg23；化

7、简（C）式彳c:c=Yctg3-2丫ictg331260217.己知一点处的应力张量为6100M103Pa000_试求该点的最大主应力及其主方向。解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：bx=12Xl03by=10Xl03Pxy=6Xl03,；T.2且该点的主应力可由下式求得：17,083 1033 Pa4.91724 103巴10十厄国762Li032K2JI-J11_,37103f11_6.082810333则显然：二1二17.08310PaO2=4.91710Pa二3二00-1与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）tg2u-2-6 _ 1212 -10sin 2 cos21显然20为第I

8、象限角：20=arctg(+6)=+80.5376贝U:0=+40.2688J4016/或(-13944)219.己知应力分量为：（Tx=（Ty=（Tz=Txy=0,Tzy=a,Tzx=b,试计算出主应力（T1、b2、（T3并求出b2的主方向。解：由211题计算结果知该题的三个主应力分别为：c1=Ja2+b2；/a2+b2；设b2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：121、122、123,于是将方向余弦和b2值代入下式即可求出（T2的主方向来。l21-x-二2122yxl23xz=l23xz=0IHHIHI1121yxl220y-：2123yz=l23-zy=01MIH2l21zxl22zyI

9、230z一二2=Lyx-122zy=0|HHIHI3以及：121122123=11川IIH4由（1）（2）得：123=0由（3）得：区=一旦；展=;122b121a将以上结果代入（4）式分别得:12-bl221 22 = 一a a2 b2同理121 =.a2 b2于是主应力b2的一组方向余弦为：（十；a,+A=,0）；.a2b2a2b2b 3的一组方向余弦为（士严2% a2 b2.2a一 21a2=b2di2 220.证明下列等式:一、 ,1 , 2(1) ： J2=I 2+ 11 ；3,1(3): I2 =2 . CJ I O -i CJ I ,ii kk ikik /, TOC o 1-5

10、 h z 1O12证明(1)：等式的右漏为：I2+-I1=-(xy及yx又都是坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。：2；x二-2- 2y :x将ex、ey、exy代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知:-2:xy,一一，一-也即：2c+0=2c知满足。xy所以说，该应变状态是可能的。解（2）:将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得:-2：2.：2二；x：y:xy2-2-二:y二x二x：y2：2；zyz2二_y二y:z一2一一一-z：zx.:xy.:z0zx+xy_cz=2以xyczex)cycz丸十-争zx二2-2y%役汉yczcx1)2ax+2ay=00+0=00+

11、0=0八，得：不满足，因此该应变状态是不可能的。0=02b#00=0,解（3）:将己知应变分量代入上（1）式得：2cz+0=2cz、0+0#00=0不满足，因此该点的应变状态是不可能的。2cy=2cy2cx-二0第三章：弹性变形及其本构方程V的上下限为03-5.试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V0,E0,G0。12112一口。u0uoruod11,J2=三keGejej18k2G2我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由u的正定性可推知：k0,G0。而又知：E=9kG所以：E0O3kG我们将（1）式变化为：_2c2c2GV2G1-2V6G

12、V2G1V21VEEk=G=-G=331-2V31-2V31-2V31-2V21V31-2V2)2G(1+V)31-2V由（2）式及k0,G0,E0知：1+V0,1-2V0O一1斛佝：-1wVwo2，,1但是由于到目前为止，还没有发现有VV0的材料，而只发现有V值接近于其极限值-2的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为1和0,所以得：0VVV1或-0WVW1；2223-10.直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为2=2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70Gpa.V1=0.35,钢的弹性常数E=

13、210GPa。试求筒内的周向应力。解：设铝块受压；二1 =；=2 - _q而；:3 =3-40 101,24一二 4 104100兀则周向应变1 一(齿吕=-l-q -r -qE铝一0,1+v0.得：v-1o由于到目前为止还没有v03-16.给定单向拉伸曲线如图所示，es、E、E均为已知，当知道B点的应变为时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的d曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：b=e+p故：p=-e=；三二.；：-：1%E.；e）=E|E；sE.；sEi3-19.已知藻壁圆筒承受拉应力=z=屡及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈

14、服时扭2转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）s仃日=,。=,仃z=2；和日=0,7伊P及扭矩M (遂渐增大,于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力(固定不变)直到材料产生屈服)的作用下，产生屈服时，有：1212s 6.2二s=$卜r-三.一ZIf+1I72LI2Jl2J解出。得：T=掾；T就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量bm为：Cm应力偏量为：s1-；1-；m二 s_ ； sr Cr -m6crc cr c a cc- 一 = s -

15、-s = -s -Z m _，263s0=srz=Tg-rz-0；szQ-zQ由增量理论知：d=sijd,于是得：dwp=dus9=2sd九；d&rp=d，usr=2sd九；dw；=d九sz=2sd九；663d=d，S9=0；dTZ=d?usrz=0；d吟=九胡二d九所以此时的塑性应变增量的比值为:d玷：d针：d引：d略:d露Z： d喝CTCT于 0 0 21一一；2也即：d略:drP：da-zp：d/：d，Z：d喝=(-1)：(-1)：2：0：0：6；3-20.一藻壁圆筒平均半径为r,壁厚为t,承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，v讨论下列三种情况：(1):管的两端是自由的；(2):管的两

16、端是固定的；(3):管的两端是封闭的；分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验br值。解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时,(Tr-0,据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态:/八pr八c(1) ,仃8 = t- =仃1 ；仃 r =0=Oz =仃2 =仃3 = 0（2）：仃学=仃1,=0=。3； 3=v 口牛=仃2；pr _ 八 _二仃1 ； 仃=0 =仃3pr -； 仃z =仃2 ；2t显然知，若采用 Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即:T maxcr k = s =二3pr二s=:2 2t2解

17、出得：p=N；r若采用mises屈服条件讨论时，则（2） （3）两种情况所得结论一样。于是得:22二2 .二2 一二3 .二3 一二1t解出得：P=上； r22、（3）： 2仃2=但一匹）+但一0）+|0t 2t 2tPr 12 t解出得：p = 21支;、3r3-22 .给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（1）:受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压 q,平均半径为r,壁厚为t,材料为理想弹塑 性。（2）：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积bxh,材料为理想弹塑性。解（1）:由于是藻壁圆管且 -1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状r态，即br=0,且应力均匀分布。那

18、么任意一点的三个主应力为：_ qr _ qr“ = =%； %=0=。3；t2t若采用Tresca屈服条件，则有：max s二 s _二1 -二 322故得：J=qr；或：Ts若采用mises屈服条件，则有:-2-222；=s=6.s-二22-2_二32r3-01222z.二z-二rfr-。日）故得：c飞3qr2t，qr2I2tjIt)2，2t2或：sqrM（受力如图示）解（2）:该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态,PMy二x二一-=-1FJz且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知P6M=rbhbh2若采用Tresca屈服条件，则有:二s 二1 一二3P6M1=II十Ibhb

19、h2222二s =6 s =二 1 -二2-二2 一二3 二3 一二 12“口1故得：；-sPsbh6M或：sP6M2bhh)2=2蜻=2但十*21 bh bh2若采用mises屈服条件，则有:1故得：C-=一Psbh.6M成T=|p+，八.s-P,3bh.6M般以bs为准（拉伸讨验）得：V2V2华=0满足。a ;.:x；y*3Fxy4c k3c22解：首先将函数 邛式代入V2邛=0式知，满足。故该函数可做为应力函数求得应力分量为:F2 : 3F 2xfy2 - 4c.23Fq =q -Txy ；仃y2cF2DTT = 0 ；.xT =xy一二二一正；一卫8勾 4c、 c212F h222h3

20、、4 yh227-y第五章平面问题直角坐标解答5-2：给出中=axy；（1）：捡查平是否可作为应力函数。（2）：如以邛为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示）解：将a=axy代入V4中=0式故知中=axy可作为应力函数。求出相应的应力分量为：J_/2=；仃丫-2二；三xy.ytx上述应力分量bx=by=0；Txy=出在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。5-4:试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。-6F 3 h2 上 6Fh2看7y%不ho 2h一 22F h3h3 4 h3 6F

21、h2、88 J 4h3h * h F * 3Fr -= r ，12 2 J 22显然上述应力分量在ad边界及bc边界上对应的面力分量均为零，而在ad边界上则切向面力分量呈对称于原点。的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷q。显然法向均布载荷q在该面上可合成为一轴向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在该面上则可合成为一切向集中力：F=Fdy=；-%dy=+6F传（dyy2dy122h-242而cd边界则为位移边界条件要求，u=0,v=0,w=0以及转角条件。由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图示），可解决在自由端受轴向拉伸（拉力为p=2cq）和横向集中力F作用下

22、的弯曲问题。（如图示）5-6:已求得三角形坝体的应力为：工=ax+by0y=cx+dy%=fyx=-dx-ay-/xJxz=7xz=7zy=Wyz=仃z=0其中丫为坝体的材料容重,丫i为水的容重，试据边界条件求出常数a、b、c、d的值。解：据图示列出水坝OA边界和OB边界面上的应力边界条件：OB边：x=0,l=cos(180)=-1,m=0,Tx=ry,Ty=0 x=Tx=iyIHIHIHHHHaxy=Ty=0IHiniHHHHHIbOA边：x=ytg3,l=cos3,m=cos(90+3)=-sin3,Tx=Ty=0工acos:-xysin-0IHHHHIHHHHcMW:-yxcos一二ys

23、in：=0IHHHHIHHHHd将。*x=o=ax+by=by代入（a）式得：b二一匕；将：*于=ay代入（6式得：ay）=o得a=o；将dx、7xy代入（c）式得：d=ctg2P不；将dy、Eyx代入（d）式得：c=ctgp2%ctg3p；q的作用下，放置在绝对刚性和光滑和基础上，不计5-7:很长的直角六面体，在均匀压力体力。试确定其应力分量和位移分量。解：由题意知，该问题为一平面应变问题。由于不计体力所以平面应力与平面应变的变形协调方程是一样的，故可取一单位长度的直角六面体来研究其应力状态。当求知应力分量函数后，再由平面应变的本构关系求得应变分量，进一步积分再利用有关位移边界条件确定积分常

24、数后求得位移分量。这里我们采用逆解法，首先据题目设应力函数=ay2显然式满足双调和方程式，*=0。相应应力分量为：仃x=2a,仃y=0,-xy-0显然直角六面体左右两面的应力边界条件自动满足。对于项边：y=h,l=1,m=0,Tx=-q,Ty=0则可定出：a=q;2对于底边：y=0,l=-1,m=0,Tx=q,Ty=0同样定出：a=-q；2因此满足该问题所有应力边界条件的解为：0rx =q ,仃y =0,xyyx应这分量为:1 -v2v2 -1xyv2-1u二vqy fi x BE1vv=Ew=0利用位移边界条件确定积分常数:(1)当x=0,y=0时，u=0则：A=0当x=0,y=0时，v=0

25、则：B=0(3)当x=0时，u=0则：f(y)=0(4)当y=0时，v=0则：fi(x)=0因此知该问题的位移分量为:v2-11vvcu-qx；v-qy；w-05-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p,试用纯三次式：a=ax3+bx2y+cxy2+dy3的应力函数求解应力分量？解:显然邛式满足172cp=0式，可做为应力函数，相应的应力分量为：x=2cx+6by=_py=6ax+2by-py,(a)ex片中%=一丁T=-2bx-2cyexey边界条件:ox边：y=0,l=0,m=-1,Fx=Fy=0则：2bx=0得：b=0;m = cos： ; Fx = Fy = 0-6ax

26、=0得：a=0oa边：y=xtga,l=cos(90+a)=_sina则-2cx6dxtg二sin二-2cxtg：cos：=0|川I川Ha2cxtg:sin:-pxtg:cos:=0川b由（c）式得：c=pctg；代入（b）式得：d=-pctg2o（；所以（a）式变为：2；x=pxctg:-2pyctg-xy=-pyctga第六章平面问题的极坐标解6-3：在极坐标中取平=Alnr+Cr2,式中A与C都是常数。（i）：检查中是否可作应力函数？（ii）:写出应力分量表达式？（iii）：在r=a和r=b的边界上对应着怎样的边界条件?解：首先将中式代入V45=0式，其中:更.:r1二 A 2Cr;r1

27、二 r fr工2C;r2C;c9=0,”2=0.A故:今2C0=0;r故：邛式可作为应力函数。应力分量为:1 ”T =r r Frf2：仃日=：:r21厂工二32c；222 2C ；r r心2C;r1 ?2:bA2+2CA+2C对于右图所示圆环，上述应力分量对应着如下边界条件:当r=a时(内环)：(l=-1,m=0.)2c ;一 aFe = -3g =0;r =a当r=b时(外环)：(l=1,m=0.)Fr =C;=0；rzzb26-5：试确te应力函数中=cr(cos29-cos2a)中的常数c值。使?m足题6-5图中的条件:(1)在日=口面上，仃8=048=6在日=t面上，o日=0Trg=

28、s；并证明楔顶不有集中力与力偶作用。解：首先将中式代入V4中=0式，知其满足，故可做为应力函数。相应的应力分量为: TOC o 1-5 h z 一秒一2.产丁一-.2=2crcos2i-cos2.二；一=-2crsin2：i;-2-=2ccos2?-cos2:;2=Ycrcos2m丁二r：?:2:.=Ycrsin26；则得：1厂1；：2?一一一；-r=二一r=-2ccos2-cos2-r；:rr2汨2：:2;二日=-2=2ccos2-cos2-：-Fr1 U 1 ；：2;:. r -1 =2- -.r r=2csin 2-边界条件：当日=时，仃日=0.08=s；则：一2dcos2cos9)=0

29、得0=0.自动满足2csin2s=s.得：c=s;日=-时.仃日=0,却日=-s；当一2ccos2口Acos2口】=。.2sin2：s.一因cos(ot)=cosct,则0=0,2csin(2豆)=2csin2a=s得c=；故得:2sin2二2sr=cos21-cos2二2sin2:一s_._s_s_cos2ucos2：;：=cos2-cos2：;=sin2fsin2.：iJsin2jsin2：由（e）式可知，该应力函数在r=0处并不适用，所以（f）式也不反映o点处的应力状态。如果我们以a为半径截取一部分物体为研究对象（见右图示），并假设在o点处存在集中力Rx、Ry、及集中力偶Mo,那么这部分

30、物体在Rx、Ry、M。、以及s、CTr和Mg这一力系的作用下应保持平衡状态。但事实上，由于s及仃r力的作用线都通过。点，却日及仃r、s的分布又都对称为X轴,所以当考虑Mo（F）=0，及zFy=0两平衡条件时，要求Mo=Ry=0否则该物体将不平衡。Ry=_!：rsiniricosird?-0;Mo-krsinir-icosr2d-0Otot如果存在Rx,则由楔形尖项处承受集中载荷的应力的讨论知（8-25）式，在楔形体内就一定存在有随r和8而变化的应力分量0r。然而我们在上述讨论中所得结果（f）中第式中，并不存在随r而变化的这部分0r应力，所以要求Rx=0。因此知，在楔顶（就题8-5图所示问题）不存在集中力与集中力偶的作用。Rx=1；*rcos6-却日sin日Id日=-2srcos（与边界力s平衡）cc（F*0）和大小等于一2的负的切向面力分重F3=-2.（。以逆时针转向为正）。如aac-2果将内圆环上的切向面力分量%对中心点0取矩，则得：珀24&=方a2=M.故:ac=M；于是上式得：2二二ru0；：-0；则当r=a时，对于内环边界对应着面力分量:2； Fr = 0；当r=b时，对于外环边界对应着面力分量:2；Fr=。；如果：r=a(内环)，r=b一8.则为一无限大平板上挖有一半径为a的圆孔。在孔壁上作用有切向面力分量：Fr =-M如