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1、第3章 张量函数及其导数2022年7月17日主要内容张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量的标量函数二阶张量的标量函数二阶张量的二阶张量函数张量函数导数的定义，链规则矢量的函数之导数二阶张量的函数之导数张量函数、各向同性张量函数的定义和例要研究导数，必须引进函数。张量函数，有各种类型。例如，张量的标量函数：例如，张量的张量函数：张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数（客观性背景）可先看各向同性标量函数：在坐标系刚性旋转变换下，其表现形式和数值均保持不变。例如：张量函数、各向同性张量函数的定义和例等价表示或等价描述：上述各向同性函数的描述，虽然清晰，但很不方便，因为坐标系要旋转。

2、问题：能否找到一种等价描述，在该描述下，坐标系保持不动？经典解析几何中，解析地描述一个几何图形的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思想：坐标不动，图形移动。注意：运动学思想之重要！张量函数、各向同性张量函数的定义和例考察一个最简单的图形，一个矢量 。研究两种相对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动，矢量不动，坐标系顺时针旋转一个角度，函数不变：另一种旋转运动，坐标系不动，矢量逆时针旋转同一个角度，函数不变：进一步：张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量 的旋转量：二阶张量 的旋转量 ：进一步看：张量函数、各向同性张量函

3、数的定义和例把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函数函数满足当自变量改为其旋转量时，函数值必相应地变为其旋转量，即：通过正交变换，使从而使张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数例子请见张量分析的92 93页。矢量的标量函数Cauchy基本表示定理：矢量的标量函数为各向同性f 可表示为内积 的函数。推论：矢量的标量函数为各向同性f 可表示为张量的标量函数定理1：若为各向同性函数例：屈服函数定理2：若为各向同性函数时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。因此，一次项二次项三次项张量的标量函数例：屈服函数若材料不可压缩，马氏体相变（金属材料）+ 塑性屈服考虑因此有消失；若只研究二次项，消失

4、，因此有若材料可压缩，则与有关，因此有二阶张量的二阶张量函数二阶张量的解析函数幂级数：仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：如何确定 ？二阶张量的二阶张量函数Hamilton-Cayley等式推广：T的特征多项式：H-C等式：均可用 来表达。由于 ，也就是说，H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。二阶张量的二阶张量函数例：应力应变关系1、各向同性材料未加载时，有2、线性各向同性材料则因此，有张量函数导数的定义，链规则有限微分、导数与微分函数的导数、微分：有限微分是张量函数导数的核心！先对函数概念做扩展！ A是自变量，可以是标量，矢量，张量。 B是函数，也可以是标量，矢量，

5、张量。典型例子：非线性弹性材料：过去，这样求导，似乎天经地义。本章假定：仅研究直线坐标系下张量函数的导数。换言之，基矢量不变，是常矢量。如果： 且x是标量，则总有：然而，如果： 且v是矢量，就没有任何意义了！因此，微分的概念要拓展。从微分到有限微分，出发点，仍然是传统的微分称为函数F(x)对z的有限微分。其中：h无量纲无穷小量； z自变量x的有限增量，与x同量纲。令z=1，立即有：可以证明：这是有限微分与传统微分之间的关系：线性关系！令dx=hz，则有：即得：进一步：进一步推广：矢量的矢量函数有限微分运算具有线性性与可和性。线性性：可和性：规定gi是常矢量矢量的矢量函数 的有限微分张量的张量函数的有限微分（协变微分意义下）张量函数 ，其中，注意：至此，都只是给出定义！张量函数导数的链规则类似于经典的复合函数求导经典复合函数 的导数 张量的张量复合函数 的导数（二阶张量） 矢量的函数之导数矢量的矢量标量张量函数之导数先看矢量的标量函数之导数。已有：出发点，仍为定义：于是，关键是计算 于是有：比较（定义式和计算式）：u任意，故立即有：矢量的函数之导数推而广之，矢量的函数求导数的计算式矢量的矢量标量张量函数之导数张量的函数之导数张量的函数求导数的计算式张量的矢量标量张量函数之导数张量