垂直于弦的直径2 (2)

1、垂直于弦的直径圆的对称性圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？O你是用什么方法解决上述问题的?圆是中心对称图形吗？如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少条对称轴？你又是用什么方法解决这个问题的?圆的对称性圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个问题.圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC). 复习连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).O经过圆心弦叫做直径(如直径AC)

2、.AB以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.AB小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).AmB大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).ABCmDAM=BM,垂径定理AB是O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CDAB,垂足为M.O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:ABCDM由 CD是直径 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.做一做垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB, 做一做OABCDM则OA=OB.在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM.点A和点B关

3、于CD对称.O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD.垂径定理三种语言定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想6OABCDMCDAB,如图 CD是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂径定理的逆定理AB是O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 做一做7过点M作直径CD.O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由 CD是直径 A

4、M=BM可推得AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 想一想8OABCDM CD是直径, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理 想一想9OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并

5、且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE5.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= ，OAB的余弦值= 。 OABP练一练(2)0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常

6、用辅助线的添法挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习10OABCD1.两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.试一试11挑战自我 画一画如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.OM试一试12挑战自我填一填1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦

7、的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）试一试15挑战自我画一画4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGH试一试12驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）练习2:在圆O中，直径CEAB于 D，OD=4 ，弦AC= ， 求圆O的半径。反思：在 O中，若 O的半径r、 圆心到弦

8、的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO例2：如图，圆O的弦AB8 ， DC2，直径CEAB于D， 求半径OC的长。垂径直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.例3：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AECD于E， BFCD于F，且圆O的半径为 10，CD=16 ，求AE-BF的长。练习3:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。图中相等的线段有 :试一试13驶向胜利的彼岸挑战自我画一画2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 : .图中相

9、等的劣弧有: .FEOMNABCD小 结直径平分弦 直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的图式垂径定理三种语言定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想1OABCDMCDAB,如图 CD是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.垂径定理的应用例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上

10、的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 想一想2解:连接OC.OCDEF老师提示:注意闪烁的三角形的特点.赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 随堂练习3你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥随堂练习4解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设在RtOAD中，由勾

11、股定理，得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2船能过拱桥吗2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答. 做一做P补5船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得 做一做P补6在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量. 想一想 P补7d + h = r已知：如图，直径CDAB，垂足为E .若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 做一做P补8ED 600垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如