微波工程导论：第三章 微波波导传输线

1、广义地讲，在微波波段使用的传输线，如双导线、同轴线、空心的金属波导(矩形、圆形、椭圆形和其它形状的波导管等)，以及带状线、微带线和介质波导(包括光波导)等，都可以统称为波导。因为它们的作用都是导引电磁波沿着一定的方向传播，被导引的电磁波称为导行波，而把这些传输线称为导波系统，简称波导。对于空心的金属波导而言，其中传输的电磁波是TE或TM模，不可能是TEM模，因此也不可能有确切的和严格的电压及电流的定义，即“路”的分析方法，就一般情况而言，已不适用于金属波导，而应采用“场”的分析方法。为了得到电磁波的场在导波系统横截面上的分布规律(场结构)，以及电磁波沿传播方向的传播特性，就需要在一定的边界和初

2、始条件下，对电磁场的波动方程求解。第三章 微波波导传输线3.1 波动方程与导行波首先通过麦克斯韦方程组建立起电磁场的波动方程，然后对波动方程求解。 一、波动方程由经过变换可得出波动方程： 及如图，可以设则可以求出 的解为：其中 为常数，称为传播常数。传播常数通常为复数，即由 的表达式可以进一步得出其中 ，为电磁波的波数。 其中 称为截止波数，它是与波导横截面的形状、尺寸及所传输的电磁波的波型（模）有关的一个参量。3.2 规则波导中的导行波本节主要讨论一般规则波导中导行波的波型(模式，模)和传输特性。所谓传输特性是指：传输条件、传播常数、传播速度、波导波长、波型阻抗、传输功率，以及损耗和衰减等。

3、一、波型所谓波型，是指每一种能够单独地在规则波导中存在的电磁场的一种分布状态(场结构)。 通常是 根据场量中只有横向分量而无纵向分量，有横向分量，但纵向分量只有Hz而无Ez或只有Ez而无Hz等三种情况，将波型划分为三类。（1）TEM波型这种波型的Ez和Hz都为零，电场和磁场只有横向分量。TEM波型的场满足下面的方程其中Kc=0,所以2=K2，即相移常数为 截止波长 为无穷大。（2）TE波型TE波型(H波型)是横电波型，电场只有横向分量，其纵向分量Ez为零，磁场的纵向分量Hz不为零。 可见，在波导横截面内，各点的Et与Ht是互相正交的，而且Et、Ht和单位矢量z构成了一个右手螺旋系。（3）TM波

4、型TM波型(E波型)是横磁波型，磁场只有横向分量，其纵向分量Hz为零，电场的纵向分量Ez不为零。 Et与Ht是互相正交的，它们与Z构成了一个右手螺旋系。 以上是根据在波导中传输的电磁波是否有电场或磁场的纵向分量而将其划分为三类波型。其中，TE和TM还可细分为很多种不同的波型(理论上讲有无穷多个)，它们都是在一定边界条件下波动方程的解，这将在本节后面讲到具体的波导时再详述。除上述三类波型外，在有的导波系统中，也有Ez和Hz都不为零的波型，一般称之为混合波型(混合模)。二、传输特性讨论电磁波在规则波导中沿轴向传播时的一些特性。 （1）传输条件在单导体的空心金属波导内(以下简称波导)，虽然能够存在T

5、E和TM波型，但是，若使这两类波型能够在波导中传输，尚需满足一定的条件。下面就讨论这些条件。对于无耗的规则波导而言，导行波沿波导z轴正方向的传播规律为：为波沿z轴的相移常数，对于已给定了横截面的具体形状、尺寸和一定波型的波导来说，Kc也就确定了。若波导中填充的介质也已给定，那么，K的值(K= )就取决于频率的高低，实际上也就是相移常数的值也取决于频率的高低，或者说，某一波型的电磁波能否在波导中传输，也取决于频率的高低。当频率变化时可能出现下述的三种情况。 (a) 当K大于Kc时，为正和负的实数，根据 式可知，它们分别表示波向z轴的正和负方向传播时的相移常数。这是波导的传输状态。 或 称为工作波

6、长(TEM波在无界介质中的波长)，当介质给定时，它与工作频率 是相对应的。 (b) 当K小于Kc时，为正和负的虚数，根据 式可知，它们分别表示波的幅值沿z轴的负和正方向按指数规律衰减，沿z轴没有相位的变化。这是波导的截止状态。显然有： 或 (c) 当K等于Kc时，这是传输与截止的分界点，称为临界状态。显然，此时应有下列关系，即 , （2）传播常数 与波导横截面的形状、尺寸、波导管壁内表面的材料、波导内填充的介质、传输的波型，以及工作频率(或工作波长)等因素有关。的公式可以根据相应的条件得出。 （3）波的速度和波导波长（a）相速 波的相速是指波的等相位面沿波导的轴向(z)传播的速度，用p表示。已

7、知 ，Kc= ，Kc =则， （b）TEM波型的相速 可见，相速p也就是电磁波(TEM波)在无界介质中的传播速度，而且与频率无关(假定 和 与频率无关，实际上它们与频率有关。这里是近似的说法)。我们把具有这种特性的波型称为无色散波型；而有的波型(例如TE和TM)，当波导的形状、尺寸和所填充的介质给定时，对于传输某一波型的电磁波而言，其相速p(以及后面将要讨论的群速g)则是随着频率而变化的。我们把具有这种特性的波型称为色散波型。 （c）TE和TM波型的相速当波导横截面的形状、尺寸、波导中填充的介质给定时，相速p是频率的函数。由此可见，TE和TM是色散波型。（d）波导波长 波导波长，是指在波导内沿

8、其轴向传播的电磁波，它的相邻的两个同相位点之间的距离，用g表示。（e）群速所谓群速，实际上是指一群具有非常相近的角频率和非常相近的相移常数的波，在传播过程中所表现出的“共同”速度，这个速度代表能量的传播速度。群速vg小于光速vo显然，在传输条件下，g小于v，而且有 。对于无色散的TEM波型，则有（4）波型阻抗对于TE和TM波型而言，在行波状态下，电场的横向分量和磁场的横向分量不仅构成了沿波导轴正z方向传播的波，而且对于同一种波型而言，它的比值在波导横截面内处处相等。 （5）传输功率因为波型阻抗的定义是与的比值，所以传输的平均功率P可以写为当波导横截面的形状、尺寸，波导中填充的介质和传输波型场的

9、表示式给定之后，即可按上述公式求出波导的传输功率。一般地讲，并非在所有情况下能量的传播速度都等于群速，有时两者并不相等，但是，在通常使用的波导中两者是相等的。（6）损耗和衰减损耗是指波在传播过程中，其幅值(或功率)不断地减小的现象。有两种情况：一种情况是，如前面已讲过的，对于无耗波导，当c时，波导已不能传输能量，也不消耗能量，只能储存能量，称为截止(电抗性)衰减；另一种情况是，对于实际应用的波导，波导壁的内表面并非是无耗的导体，高频电流在其上流过时会产生热损耗，另外，波导中填充的也并非是理想介质，也会产生热损耗，所有这些都会引起波的衰减。传播常数是一个复数，即 =+j式中的为 c是由波导壁所引

10、起的导体的衰减常数；d是由波导中填充介质所引起的介质的衰减常数。在波导内由填充介质造成热损耗的原因有两种情况：一是由于实际的介质并非理想介质(0)，因而存在着由传导电流引起的损耗；二是由于介质中的带电粒子具有一定的质量和惯性，在微波段电磁场的作用下，很难随之同步振荡，在时间上有滞后现象，对于简谐场而言，表现为相位上的滞后。 Np/m d = Np/m 3.3 矩形波导管中电磁波的传输特性本节将在前面讲过的一般性理论和表示式的基础上，具体地讨论矩形波导中电磁波的波型、传输特性，以及矩形波导在实际应用中的一些问题。与圆形波导管相比，矩形波导管的微小变形对场结构的影响不大，频带宽，损耗也不大，因此是

11、应用较为广泛的一种波导管，而且，还可以利用它构成各种微波元、器件，例如谐振腔、滤波器、移相器、衰减器、天线辐射器，等等。矩形波导中的电场E 和磁场H应满足下面 的方程为了求出它们的场结构(场分布)，应首先求出场的纵向分量Ez和Hz，然后利用横、纵向分量之间的关系式求出各个横向分量，则整个的场结构也就求出来了。求Ez和Hz的表示式：设Ez可以写为两个因子乘积的形式：可得：有下列关系：Kx和Ky称为横向截止波数。 这样，就得到了两个常微分方程：方程通解为：可进一步得到：至此，根据波动方程，已经求出了场的纵向分量Ez和Hz的一般表示式，至于具体的表示式，以及场的横向分量的表示式，则需要结合TM和TE

12、波型的具体情况去求解。 二、波型及场结构（1）TM波型 （a）场分量的表示式对于TM波型，Hz=0，Ez0，Ez为为了确定待定常数，可以利用电场的切向分量(现在是Ez)在波导管四个壁的内表面上应为零的边界条件。得到下面的结果： 其中， 上式中的m和n可取任意的自然数，每一对m、n值对应着一种波型，记为TMmn(Emn)，可见，有无穷多个波型。但是，由场分量的表示式可知，TMon、TMm0和TM00的波型是不存在的，因此最低次的波型(截止波长最长或截止频率最低)是TM11。（2）TE波型对于TE波型，Ez=0；Hz0，Hz为：根据边界条件得： 三、矩形波导管中电磁波的传输特性（1）截止波长和截止

13、频率简并现象：对于这种Kc和c相同，但波型(场结构)不相同的情况，称为波型的。单模传输：当把矩形波导作为传输系统时，通常都采用主模TE10，并抑制高次模的传输，也就是说，在一定频率范围内，波导的工作模式是TE10。这样，就能较好地保证传输信息的质量。若采用多模传输，由于不同模式的相速、群速、波导波长、波型阻抗和场结构等均不相同，从而使信息在传输过程中会产生畸变和失真。而且，在模式的激励和信息的接收等方面都比单模传输时要复杂。（2）波导波长和相移常数（3）相速和群速（4）波型阻抗 （5）传输功率 四、激励与耦合（1）探针(棒)激励 （2）环激励 （3）孔(缝)激励3.4 圆形波导管中电磁波的传输

14、特性圆形波导管虽然不及矩形波导管用得广泛，但也是常用波导管之一，可以构成微波谐振腔、它可以用于天线馈线、多路通信和卫星电视中，还可以构成微波谐振腔、旋转关节、天线辐射器，还可以构成微波管的输出腔，以及其它方面的应用。圆形波导管的缺点是，结构或尺寸的微小变化，就会产生模式的转换，从而使信号失真、衰减增大。我们采取和分析矩形波导传输特性时一样的方法，来分析圆形波导的传输特性，即根据场量是否有纵向(z方向)分量来划分波型，则在圆波导中也有TE(H)和TM(E)两类波型。利用分离变量法求解，设由此可得下面的两个常微分方程：其通解分别为： 圆形波导管中的电场E和磁场H应满足下面的方程： (1.4-96)

15、 一、波动方程在圆柱坐标系中的解从场量沿方向的变化看，cos m和sin m代表圆波导中能够独立存在的两波型，这两种波型具有相同的截止波长和传输特性，只是在波导的横截面上场的极化方向不同，这种情况(当m0时)称为波型的极化简并。通过前面的推导，可以得到：二、波型及场结构（1）TM波型对于TM波型，Hz=0，Ez0，Ez为：根据横向场与纵向场的关系，得：其中，经运算，得：设R为圆波导的内半径，根据边界条件可知，当r=R时，Ez=0， =0，因此应有Jm(KcR)=0根据贝塞尔函数的性质可知，能使该式成立的只能是特定的KcR的值，也就是贝塞尔函数的根值。设mn为m阶贝塞尔函数第n个根的值，则应有K

16、cR=mn (m=0,1,2；n=1,2,3)或由此可得截止波长为 （2）TE波型（a）场分量的表示式 对于TE波型，Ez=0，Hz0，Hz为横向场为：经运算，得 根据边界条件可知，当r=R时，E=0，则应有能使该式成立的只能是某些特定的KcR的值，也就是贝塞尔函数导函数的根值，设为m阶贝塞尔函数导函数的第n个根值，则应有 其中，(m=0,1,2；n=1,2,3)由此可得截止波长为 TE11波型不仅是TE波型中截止波长最长(=3.412R)的波型，而且与TM波长的截止波长相比，它的截止波长也是最长的，因此，TE11是圆波导中的主波型(主模)。 TE01波型的场结构的特点是：具有轴对称性，电场只

17、有E分量，它分布在在圆波导的横截面内成为闭合曲线；磁场有Hr和Hz分量；在波导壁的内表面上只有沿圆周方向的表面电流，而没有纵向电流，因此导体损耗较小。在圆波导中，TM1n与TE0n这两种波型，虽然它们的场结构不同，但截止波长相同因此具有相同的传输特性，这也是一种波型简并，称为E-H简并。内半径为25mm的圆波导的衰减系数同轴线是一种由内、外导体构成的双导体传输线，也称为同轴波导。同轴线按结构型式可分为两种：一种是硬同轴线；另一种是软同轴线；同轴线都工作于主模(TEM)，无色散，无频率下限， 频带宽，场结构稳定。3.5同轴线及其中的高次波型一、同轴线中的TEM波型对于TEM波型，Ez=0，Hz=

18、0， =0，电场和磁场应满足下列方程根据电磁场理论可知，TEM的电场只有Er分量，磁场只有H分量，所以有根据电场和磁场的表示式，还可求出同轴线的轴向电流I和内外导体之间的电压U。 二、同轴线中的高次波型当工作波长接近于同轴线的横向尺寸时，同轴线内会出现TE或TM高次波型(高次模)。一般不用高次波型传输功率，而采用主模TEM来传输功率。为了做到单模传输，就需要抑制高次模。TE11为最低次波型，它的截止波长为： c(a+b)三、同轴线尺寸的选择在一般情况下，同轴线尺寸的选择主要应考虑到在给定的工作频带内只传输TEM波型，除此而外，在某些情况下，还应满足一定的功率容量和较小的损耗。为了保证只传输TE

19、M型，在给定的工作频带内，最短的工作波长min与同轴线尺寸之间应满足关系式。 即在保证只传输TEM波型的前提下，有时还需要考虑到对同轴线的特性阻抗、功率容量和损耗方面的要求；但是，这些要求很难同时满足，因此应视具体情况满足其中的一项主要要求，或采取兼顾这些要求的折中方案，以确定同轴线的尺寸。下面分别讨论在为了传输最大功率和要求损耗最小这两种情况下，同轴线的尺寸应如何选择。即令 ，则得若填充介质为空气，则相应于该尺寸的同轴线的特性阻抗约为30。现在计算同轴线的衰减常数。因为同轴线本质上就是双导体传输线，所以其衰减常数可以计算如下，即 则得 。 若填充的介质为空气，则相应于该尺寸的同轴线的特性阻抗

20、约为77。 从以上的讨论可知，要求大的功率容量与要求小的损耗，在尺寸选择上是不一致的。为了兼顾这两方面的要求，而采取的折中尺寸是b/a 2.3，若填充介质为空气，则相应于该尺寸的同轴线的特性阻抗约为50。 3.6 面集成微波传输线 面集成微带传输线是近几十年发展起来的一种微波传输线。它具有体积小、质量小、频带宽、便于与微波集成电路相连接等优点，并能构成各种用途的微波元件，因此得到了广泛的应用。其中，尤其是微带线在微波集成电路中的应用愈来愈广泛，成为微波集成电路中的重要组成部分之一。微带传输线的基本结构形式有两种，即对称微带(又称带状线)和不对称微带(又称标准微带线或简称微带线)。带状线和微带线

21、可以看做是由同轴线和平行双导线传输线演变而成的。3.6.1 带状传输线带状线可看做是由同轴线演变而成的，因此它传输的主模是TEM模。带状线的主要参数有特性阻抗、相速度、波导波长、衰减和功率容量等。一、特性阻抗 或由此可知，只要求出电容C，则ZC即可求出。求电容C的方法有多种，例如谱域法、积分方程法、有限差分法和复变函数法等，其中较常用的是利用复变函数中的保角变换法求电容C。（1）导体带厚度不为零时的特性阻抗（a）宽导体带情况( )对于宽导体带的情况，可利用部分电容的概念把带状线的电容分成两部分来计算，即：平板电容CP，它对应于导体带与接地板之间的均匀电场；边缘电容 它对应与导体带的边缘与接地板

22、之间的不均匀电场。带状线总的分布为式中，利用保角变换法可求得边缘电容 由此可得 为按此计算的 值，其最大误差约为 。（b）窄导体带情况( )对于这种情况，由于导体带较窄，其两侧边缘电容间的影响较大，不能再作近似性的忽略，而必须考虑这种互相影响的作用。实际带状线的特性阻抗，可用与它等效的中心导体为圆柱形的带状线的特性阻抗来确定。设d为等效的中心导体的直径。 当 时有 当 时有 利用上述公式，其误差约为 当 时，也可以做如下修正矩形中心导体截面与圆形中心导体截面的等效关系二、相速度和波导波长带状线传输的主模为TEM模带状线的特性阻抗曲线三、带状线的损耗和衰减在一般情况下，带状线的接地板宽度要比中心

23、导体带的宽度大很多，而上下接地板的间距b也远比工作波长小很多。这样，带状线的辐射损耗可忽略不计。因此带状线的损耗主要取决于导体(包括接地板)损耗和介质损耗。（1）导体的衰减常数 （a）宽导体带情况( )式中，f以GHz计。单位以 记。（b）窄导体带情况( ) 在 和 的条件下和 d为窄导体带的等效圆柱形导体横截面的直径。 为铜的衰减常数， 为铜导体的表面电阻率。（2）介质的衰减常数四、带状线的功率容量带状线传输的功率主要受两个因素的制约：一是介质本身的击穿强度(它与峰值功率相对应)；二是介质本身所能承受的最高温升(它与平均功率相对应)。从这两个因素看，带状线难以传输比较大的功率，尤其是在中心导

24、体带的棱角处最易发生电击穿。若把棱角改为光滑的圆角，则其功率容量会有所提高。五、带状线尺寸的选择带状线传输的主模是TEM模，但若尺寸选择不当，或由于制作不精细和其它原因而造成结构上的不均匀，都可能出现高次模。这些高次模是TE模和TM模。在选择带状线的尺寸时，应尽量避免出现高次模。在TE模中最低次型的模为TE10在TM模中最低次的模为TM01为了减少带状线在横截面方向能量的泄露，上下接地板的宽度应不小于(36)。 3.6.2 耦合带状线利用耦合带状线可以构成滤波器、定向耦合器、电桥等微波元件，以及其他用途的耦合电路。耦合带状线传输的主模也是TEM模。一、薄带侧耦合带状线的主要特性（1）奇、偶模特

25、性阻抗对于主模TEM，可采用奇模激励和偶模激励两种状态对它进行分析，其它的激励状态可看做是这两种状态的叠加。奇模激励：就是在耦合线的两个中心导体带上加的电压幅度相等，而相位相反，此时的场结构如图 (a)所示。由图可见，耦合线对称面上电场强度的切向分量为零，此时的对称面称为电壁；偶模激励：则是在两个中心导体带上加的电压幅度相等，相位相同，此时的场结构如图 (b)所示。由图可见，耦合线对称面上磁场强度的切向分量为零，此时的对称面称为磁壁。在奇模激励下，单个中心导体带与接地板所构成的传输线的阻抗，称为奇模特性阻抗ZC0；在偶模激励下，单个中心导体带与接地板所构成的传输线的阻抗，称为偶模特性阻抗ZCe

26、。同理，与这两种激励状态相对应的还有奇模分布电容C0和偶模分布电容Ce （2）相速度和波导波长在耦合带状线为均匀介质填充的情况下，相速 和 是相等的，而且都等于电磁波在无界介质中的传播速度 ，即 ， 二 、厚带侧耦合带状线的主要特性 （1）奇、偶模特性阻抗在奇模激励下，单根内导体带对地的电容分别为 在偶模激励下，单根内导体带对地的电容分别为 （2）相速度和波导波长3.6.3 微带线微带线可以看做是由双导线传输线演变而成的。一、微带线的特性阻抗实际的微带线是含有介质和空气的混合介质系统，因此不能直接套用公式 求特性阻抗。为了求出实际的微带线的特性阻抗和相速度 ，而引入了等效相对介电常数的概念。等

27、效相对介电常数 的定义为实际微带线的特性阻抗即可表示为 在同样形状和结构尺寸的情况下、填充介质全部是空气时微带线的特性阻抗 （1）导体带厚度为零时微带线特性阻抗的表达式当 ， 为当 ， 为 在 的范围内，上述公式的精确度可达 ；当 时，上式的精确度约为 若导体带宽度 时，有或精度更高的（2）导体带厚度不为零时微带线特性阻抗的表达式 当 时导体带边缘电容增加了，在这种增加效应不能忽略时，就不能直接利用前述的t=0时的公式求 。即把 时导体带的实际宽度，用相当于t=0时的等效宽度 来代替。 即当 及( )时，当 时二、相速度和波导波长；三、微带线的损耗微带线的损耗包括导体损耗、介质损耗和辐射损耗三

28、部分。若微带线的尺寸选择适当，频率不很高，则辐射损耗很小，一般可忽略不计。因此表征微带线损耗的衰减常数 可写为当 时， 当 时， 当 时， 四、微带线的色散特性与尺寸选择 （1）微带线的色散特性在较低频率时是正确的。但微带中实际存在的是由TE和TM所组成的混合模式，因此在频率较高时，色散的影响就不能忽略，即是说，在计算 、 、 和 时就要考虑到色散的影响。 的变化会直接影响其它参数的变化。在 以及 和 的条件下， 有 当 时，其中的 和 以GHz计， 以计， 和h以mm计。 （2）微带线尺寸的选择当频率升高、微带线的尺寸与波长可比拟时，就可能出现高次模：波导模和表面波模。波导模是存在于导体带与接地板之间的一种模式，包括TE和TM两种模式。TE模中的最低次模为TE10模。TE10模的截止波长为 。当导体带厚度 时，由于边缘效应的影响，相当于导体带的有效宽度增加了 ，所以 为为了防止出现TE10 模，最短的工作波长 应大于 ，即 TM01的截至波长 为由上面的分析可知，为防止