数理方程与特殊函数：5齐次弦振动方程的分离变量法_第1页
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文档简介

1、数学物理方程第三章1 齐次波动方程分离变量法固有值和固有函数Fourier级数回顾波动方程的Fourier解引例 有界弦的振动问题u(x, t) = cos t sin x2/16解 u = f(x + t ) + g(x t )2f(x) = sin x + C2g(x) = sin x C 齐次波动方程分离变量方法其中是已知函数设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离u( x, t )=T(t)X(x)将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程3/16utt = a2 uxxT”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)常微分方程边界条件:固有值问题:X(0)

2、= 0X(L) = 0T(t)X(0)=0T(t)X(L)=04/16分三种情形: (1) ; (2) ; (3)解 的二次方程:(1)通解:A = B = 0时固有值问题只有零解X(0) = 0X(L) = 0边界条件:5/16(2)通解: X(x) = Ax + BX(0) = 0X(L) = 0B = 0A L + B = 0A = B = 0时特征值问题只有零解(3)6/16通解:X(0) = 0X(L) = 0A = 0( n=1,2, )7/16代入方程通解:弦振动方程的基本解:un(x, t) = Tn(t) Xn(x)8/169/16例1 Dn = 0Fourier级数: 设 f(x) 在区间 连续设 f(x) 在 上连续 (奇延拓)10/16设 f(x) 在 0, L上有定义(奇延拓)11/16波动方程初始条件12/16方程的Fourier解结论:13/16例3 设 a2=10000解:( n为奇数)14/1615/16习题3.1 （P.56） 2(1), 2(1,3) 思考题偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法有何不同？比较固有值问题与矩阵特征值问题偏微分方程分离变量

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