人教新课标初二下知识点总结

1、第十六章 二次根式16.1 二次根式一、二次根式的定义一般地,我们把形如 (0)的式子叫做二次根式。其中“”叫做二次根号。二次根号下的叫做被开方数【注】正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： = 1 * GB3 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。如是二次根式，虽然=2，但2不是二次根式。 = 2 * GB3 二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，即0.如由于被开方数小于0，所以它不是二次根式。 = 3 * GB3 “”的根指数为2，即“”，这里的2可以省略不写，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。 = 4 * GB3

2、形如（）的式子也是二次根式，它表示与的乘积，与单项式书写类似，当是假分数时，要写成带分数的形式。【方法总结】：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是不是同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数大于等于0（非负数）。不满足其中任何一个条件，它就不是二次根式。二、二次根式有意义的条件1、从总体上描述：在二次根式中，当0时，有意义；当时，无意义。2、从具体的情况总结，如下： A0（1）单个二次根式如有意义的条件是； B0（2）多个二次根式相加如有意义的条件： N0（3）二次根式作为分式的分母如有意义的条件是：；（4）二次根式与分式的和如有意义的条件是： A

3、0B0【方法总结】判断含完全平方的被开方数是否是非负数的一般方法：（1）如果被开方数是一个完全平方数与一个非负数的和的形式，显然这个被开方数是非负数，因此它必然是二次根式，如式子；（2）如果被开方数是一个完全平方数的相反数，那么只有当底数是0时，被开方数等于0，式子才是二次根式，如，只有当时，这个式子才是二次根式；（3）如果被开方数是一个完全平方数的相反数与一个负数的和的形式，显然这个被开方数是一个负数，如，这样的式子不是二次根式；（4）对于被开方数是多项式的情况，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成完全平方式的形式，并进行分析讨论，如需先化成三、二次根式的性质1、性质1：式子（）具有双重非负

4、性：它既表示非负数，又表示非负数的算术平方根。具体描述为：（1）是一个非负数；（2）的最小值为0；（3）的被开方数是一个非负数。注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0.2、性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。注意：不要忽略这一限制条件，导致类似的错误。3、性质3：= ，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，可记为；当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它本身的相反数，可记为。【重点剖析】：与的区别与联系表 达 式区别意义不同表示实数的算术平方根表示非负实数的算术平方根的平方取值范围不同为任意实数运算结果不同= ，运算顺序不同表示对实数先平方再作

5、开平方运算表示对非负数先开方再作平方运算联系与均为非负数，且当时，=知识拓展：逆用公式，即可以把一个非负数写成一个数的平方的形式，从而把因式分解推广到实数范围内，例如四、代数式1、定义：用基本的运算符号（基本的运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。代数式可以简明的表示出数量和数量之间的关系，也能真实客观地展现出实际问题中的数量关系。【重点剖析】：代数式是数与字母之间的运算关系，代数式中只能含有加、减、乘、除、乘方、开方运算符号，不能含有“”“”“”“”“”或“=”等关系符号。2、根据实际问题列代数式的一般步骤：（1）要认真审题，对语言叙述中的关键词

6、语（如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等）所代表的意义进行仔细辨析；（2）要分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分等关系；（3）根据各数量之间的运算关系及运算顺序写出代数式。3、列代数式常用的方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式（2）公式法：根据公式列出代数式（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来16.2 二次根式的乘除一、二次根式的乘法一般地，对二次根式的乘法法则是：=(0,0)，语言叙述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变【注意】：乘法法则中被开方数、都必须是非负数【重点剖析】（1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或者

7、是一个有理式 （2）如果没有特别说明，本章中所有的字母都表示正数【知识拓展】二次根式乘法法则的推广（1）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算，如；（2）当二次根式根号外有因数（式）时，可以类比单项式乘单项式法则计算，即根号外的因数（式）的积作为根号外的因数（式），被开方数的积作为被开方数，即。二、积的算术平方根积的算术平方根的性质：=（0，0）语言叙述：两个非负数的积的算术平方根等于两数算术平方根的积。【注意】：（1）在这个公式中，、可以是数，也可以是代数式，但无论是数，还是代数式，都必须满足0，0，才能用此公式进行化简或计算。（2）在进行化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后

8、再将能开的尽方的因式或因数开方后开到根号外。【知识拓展】积的算术平方根的推广积的算术平方根公式是二次根式的乘法的法则的逆用，公式可以推广到多个非负数的情况，即。三、二次根式的除法1、一般地，二次根式的除法法则是：=（0，0）语言叙述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变【注意】必须是非负数，必须是正数，式子才有意义，如果、都是负数，虽然式子，有意义，但是，在实数范围内无意义，如，而；若=0，则无意义。【重点剖析】（1）当二次根式根号外有因数（式）时，可以类比单项式除以单项式法则计算，即根号外的因数（式）的商作为根号外的因数（式），被开方数的商作为被开方数，即。（2）在二次根式的计算中，

9、最后的结果不含能开的尽方的因数或因式，同时分母中不能含二次根式。2、分母有理化二次根式的结果要求分母不含根号，如果分母中含有无理式，则必须进行分母有理化。具体如下：（1）如果分母是形如的二次根式，利用分式的基本性质将分子、分母同时乘以，即；（2）如果分母是形如的二次根式，利用平方差公式，将分子、分母同时乘以，即；（3）如果分母是形如的二次根式，利用平方差公式，将分子、分母同时乘以，即.四、商的算术平方根商的算术平方根的性质=（0, 0），语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。【注意】当被开方数是带分数时，先将带分数化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误。【学

10、法指南】利用商的算术平方根化简二次根式的方法1、如果被开方数的分母是一个完全平方数（式），则可以直接利用商的算术平方根公式，将分子、分母分别开平方，然后求商；2、如果被开方数的分母不是一个完全平方数（式），可根据分式的基本性质，将分式的分子分母同时乘以一个不等于零的数或整式，使分母变成一个完全平方数（式），然后利用商的算术平方根的性质进行化简。五、最简二次根式1、定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。2、判断一个根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要满足的两个条件（1）被开方数不含分母；（2）被开

11、方数中不含能开得尽方的因数或因式来判断，二者同时满足即为最简二次根式，否则不是最简二次根式。3、将一个二次根式化简成最简二次根式的方法：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，如果分母可以完全可得尽方，就把它开出来；如果分母开不尽方，就利用分母有理化来化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。六、本节的方法总结1、计算多个二次根式相乘的方法：先计算根号外的因数（式）的积作为根号外的因数（式），再计算被开方数的积作为被开方数，最后将二次根式化为最简二

12、次根式。2、运用积的算术平方根化简的方法：先将被开方数因式（数）分解，化成幂的乘积的形式，再应用积的算术平方根的性质将二次根式化成最简二次根式。3、计算两个二次根式相除的方法：把根号外的因数（式）对应相除，被开方数对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘以这个数的方法进行约分化简。4、进行二次根式的除法运算的方法：要先把除法转化成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行运算。5、进行二次根式乘除混合运算的方法：它与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘、除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先化成假分数。6、被开方数是数字的二

13、次根式的化简技巧：（1）当被开方数是整数时，先将它分解因数；（2）当被开方数是小数或带分数时先将小数化成分数或将带分数化成假分数的形式；（3）当被开方数是整数或分数的和差时，先将这个和差的结果求出。7、被开方数是整式或分式的二次根式的化简技巧：（1）当被开方数是单项式时，应先将被开方数中指数大于或等于2的因式化成或的形式；（2）当被开方数是多项式时，应先将多项式分解因式；（3）当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式；（4）当被开方数是分式的和或差时，应先将它通分。16.3 二次根式的加减一、在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式1、将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同

14、，则这样的二次根式可以合并。【注意】判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化成最简二次根式再判断。【重点剖析】（1）把二次根式化成最简二次根式后，只需要被开方数相同就可以合并，与根号前的因数（式）无关；（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数（式）不变，如2、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不叫做同类二次根式，至少两个二次根式才有可能是同类二次根式。二、二次根式的加减运算1、二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

15、进行合并。2、二次根式加减运算的步骤：（1）“化”将每一个二次根式化简；（2）“找”找出被开方数相同的二次根式；（3）“并”把被开方数相同的二次根式进行合并。三、二次根式的混合运算1、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。2、二次根式的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，要先算括号里的。3、在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。4、结果必须化成最简二次根式。【注意】在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化。【知识拓展】二次根式运算中常见的模型及运算方法

16、1、2、3、4、5、6、四、比较两个二次根式大小的方法：1、用作差法比较两个二次根式的大小：先求出两个二次根式的差，然后把差与0比较，当时，；当时，；当时，.2、用商差法比较两个二次根式的大小：当两个二次根式均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较他们的大小，先计算两个二次根式的商，然后比较其商与1的大小关系。已知，若则；若则；若则。3、用平方法比较两个二次根式的大小：先求出两个二次根式的平方，再比较二次根式的平方的大小。一般地，（1），若则；若则；若则。（2），若则；若则；若则。4、转化成比较两个被开方数的大小：即可以将括号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小

17、，被开方数大的，其算术平方根也大。若两个正的二次根式比较大小，则被开方数数大的二次根式大；若两个负的二次根式比较大小，则被开方数小的二次根式大。第十七章 勾股定理17.1 勾股定理一、勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么。即直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。【注意】（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。（2）运用勾股定理时，一定要先弄清楚哪条边是斜边，不要把斜边和直角边混淆。在分不清哪条边是斜边时，要分类讨论，写出所有可能，避免漏解或错解。【重点剖析】勾股定理能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量

18、关系，它把形与数密切联系起来。【学法指南】在RtABC中，C=90，A, B,C的对边分别为，则，。【知识拓展】如果锐角三角形的三边分别是，且，那么；如果钝角三角形的三边分别是，且，那么。二、勾股定理的证明【证法一】赵爽弦图以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一个边长为

19、ba的正方形，它的面积等于. . .【证法二】1876年美国总统茄菲尔德证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. . .三、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的重要性

20、质之一，其主要作用有：1、已知直角三角形的两边求其第三边：方法是直接将两条已知线段的长度代入（为斜边）中，即可求得第三边的长。2、已知直角三角形的一边确定另两边的关系3、证明含有平方关系的几何问题：方法是首先考虑使用勾股定理，从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形，结合等量代换和代数式中的恒等变换进行论证，一般等腰三角形构造直角三角形的方法是作等腰三角形底边上的高。4、作长度为（为正整数）的线段，其题型有：（1）在数轴上作出表示无理数的点的步骤：第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴的原点为直角三角形斜边的顶

21、点，构造直角三角形；第三步：以数轴的原点为圆心，斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。（2）在网格中作长为的线段的步骤：第一步，设法将表示成两个数的平方和；第二步，构造直角三角形，使的两条直角边等于第一步得出的两个整数的值。5、运用勾股定理解决生产、生活中的实际问题，首先将实际问题转化成数学问题，然后利用勾股定理构造方程或方程组为解决问题提供思路和方法。17.2 勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。【注意】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能称之为斜边或直角边。【重点剖析】（1）

22、此逆定理不是判定直角三角形的唯一方法；（2）只是一种表现形式，不能因为就说这个三角形不是直角三角形。比如：三角形的三边，这里，但此三角形是以B为直角的直角三角形。所以这种判别方法确切的应说为：如果一个三角形最长边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。对于无法判断出三边长短的情况，要把每条边都作为最长边来考虑，只有三种情况下均不满足“两边的平方和等于第三边的平方”时才确定其不是直角三角形。（3）勾股定理的逆定理利用三角形三边的数量关系判定三角形是直角三角形，为证明两线垂直提供了一个新思路。【知识拓展】1、勾股定理与勾股定理逆定理的比较勾股定理勾股定理的逆定理条件在RtABC中，C

23、=90在ABC中，结论C=90区别勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“数量关系”，即由“形”得到“数”勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“形”到“数”联系两者都与三角形的三边有关2、勾股定理逆定理的延伸：如果三角形的三边长（为最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形，如果，那么这个三角形是钝角三角形，如果，那么这个三角形是锐角三角形。二、互逆命题与互逆定理1、互逆命题：在两个命题中，一个命题与另一个命题的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。【

24、注意】（1）题设、结论正好相反是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，不是指它们的意义相反。（2）“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，两者可以确定其中一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了。“互逆定理”也同样。2、互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。【注意】虽然每个定理都有逆定理，但要注意，因为一个真命题的逆命题不一定也是真命题，所以并不是所有的定理都有逆定理。只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称其是这个

25、定理的逆定理。【重点剖析】每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题正确与否，与逆命题是否为真命题没有丝毫关系。三、勾股数1、勾股数又称勾股弦数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数2、常见的勾股数有：3，4，5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9，12，15；9，40，41等，勾股数有无数组，一组勾股数中各数的相同正整数倍也是一组勾股数。【注意】（1）3,4,5是一组勾股数，又是三个连续的整数，但不是所有的三个连续的正整数都是勾股数。（2）以一组勾股数的为边的三角形都是直角三角形，但这些数不一定是

26、勾股数。如3,4,5是勾股数，而0.3,0.4,0.5不是勾股数。【重点剖析】（1）当数满足时，它们不一定是勾股数，只有当它们都是正整数时，才是勾股数。（2）如果是一组勾股数，那么（是正整数）也是一组勾股数。3、判断一组数是否为勾股数的一般步骤（1）确定是否为三个正整数；（2）计算最大数的平方；（3）计算两个较小数的平方和是否等于最大数的平方。第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1平行四边形的性质一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“ ”表示。如图平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。【注意】（1） 作为表示平行四边

27、形的符号，只能表示平行四边形时使用，使用时后面要紧跟平行四边形的四个顶点字母，不可单独使用来代替“平行四边形”。（2）平行四边形定义的理解：首先是平行四边形的共性：平行四边形是一个四边形，因此平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360，外角和为360等；其次是平行四边形的特性，也就是平行四边形区别于其他四边形的一些特殊的性质，平行四边形的两组对边分别平行。【重点剖析】（1）表示平行四边形可按顺时针顺序，如 ABCD，或按逆时针顺序，如 ADCB,但注意必须要按一定的顺序，若写成“ ABDC”或“ DACB”，则是错误的。（2）平行四边形的性质既是它的一

28、个性质，又是它的一种判定方法： = 1 * GB3 由定义知平行四边形两组对边分别平行； = 2 * GB3 由定义可以得出只要四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形形就是平行四边形。二、平行四边形的性质1、边的性质：平行四边形的对边平行且相等。【注意】平行四边形的对边平行是指对边所在直线平行。2、角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。3、对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。【注意】对角线是把四边形转化为三角形的桥梁，即可将平行四边形问题转化为三角形问题来解决，也是证明两条线段之间互相平分的一条重要依据。ADBC【知识拓展】有平行四边形的性质可以得到以下三个重要结论（1）两条平行线

29、之间的任何平行线断相等。例如：如图：AD/BC,AB/CD,AD=BC,AB=CD.（2）平行四边形相邻两边长度之和等于周长的一半。（3）平行四边形被对角线分成四个小三角形，它们的面积相等，且相邻两个三角形的周长之差等于平形四边形相邻两边长度之差，相对两个三角形的周长只差等于零。4.（对称性）中心对称对称中心为对角线交点三、两条平行线之间的距离abAB1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。如图：a/b,A是直线a上的任意一点，过点A作ABb于点B，则线段AB的长度就是平行线a、b之间的距离。【注意】点到直线的距离是指这点到这条直线垂线段的长度

30、，而平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度，不能混淆这两个概念。2、性质：如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等。【注意】平行线的位置确定后，它们之间的距离是定值，不随垂线段位置的改变而改变。【重点剖析】（1）距离是线段的长度，是一个正值。（2）平行线间的距离处处相等，因此，在作平行四边形的高时，要根据需要灵活选择位置，另外，常用平行线这一性质来解决三角形同底等高的面积问题。四、平行四边形的面积1、如图（1）S ABCD=BCAE=CDBF.也就是平行四边形的面积=底高=（其中是平行四边形的任意一条边长，必须是边长为的边与其对边的距离）。

31、【注意】平行四边形的高是指从平行四边形一边上的一点到对边的垂线段，而计算面积时，用的是垂线段的长度。2、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。如图（2） ABCD与 EBCF有公共边BC，则S ABCD = S EBCFABCEDF【重点剖析】这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定了，高也就随之确定了。ADBCFE（1） （2）18.1.2 平行四边形的判定一、平行四边形的判定1、判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义符号语言：ABDC，ADBC 四边形ABCD是平行四边形2、判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形符号语

32、言：ABCD，ADBC 四边形ABCD是平行四边形证明过程：34ABC已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形 .1证明：连结AC在ABC 和CDA中 2AB=CD(已知)DAD=BC(已知)AC=CA(公共边)ABC CDA (SSS)1=2， 3=4ABDC，ADBC四边形ABCD是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形符号语言：ABDC, ABCD, 四边形ABCD是平行四边形ADBC已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，ABDC，求证：四边形ABCD是平行四边形 .证明：连结ACABDC BAC=DCA在ABC 和CD

33、A中，AB=CD(已知)BAC=DCA(已证)AC=CA(公共边)ABC CDA (SAS)AD=BCABCD四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)4、判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形符号语言： A=C，B=D 四边形ABCD是平行四边形证明过程：已知：四边形ABCD, A=C，B=D .求证：四边形ABCD是平行四边形证明：在四边形ABCD中 A DA+B+C+D=360且A=C， B=DA+D=180，A+B=180 ABDC，ADBC B C四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）5、判定五：对角线互相平分的四边形是平行

34、四边形符号语言：OA=OC,OB=OD 四边形ABCD是平行四边形证明过程：已知：四边形ABCD, AC、BD交于点O且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形证明：在AOB 和COD中 OA=OC(已知)BOA=COD (对顶角相等)OB=OD(公共边)AOB COD (SAS) ABD = BDCAB CD 同理AD BC四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【重点剖析】（1）几种平行四边形的判定方法，推理过程基本相同，都是由已知条件证明两个三角形全等，然后由全等三角形的对应边相等，对应角相等来证明结论。（2）平行四边形的这些判定方法既可以作为判

35、定平行四边形的依据，也可以作为画平行四边形的依据，同时也是证明几种特殊平行四边形的基础。当几种方法都能判定一个四边形是平行四边形时，应选择较简单的方法。二、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线【注意】三角形的中位线是线段2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。符号语言：DE是ABC的中位线 DE=BC，且DE/ BC三角形中位线的证明方法：已知：如图，在ABC中D，E分别是AB，AC两边中点 求证：DEBC且DE=BC【方法一】：过C作AB的 HYPERLINK /view/67614.htm t _blank 平行线交DE的延长线

36、于F点 CFAD A=ACF E是AC两边中点 AE=CE在ADE和CFE中 A=ACF（已证） AE=CE（已证） AED=CEF（对顶角相等）ADECFE （ASA）DE=EF AD=CF D为AB中点 AD=BD BD=CF 四边形BCFD是 HYPERLINK /view/124728.htm t _blank 平行四边形 DFBC DF=BC DE=BC【方法二】：延长DE至点F，使EF=DE 连接CF，DC，AFE是AC两边中点 AE=EC EF=DE四边形ADCF是平行四边形ADCF AD=CFAD=DBFCBD FC=BD四边形BCFD是平行四边形DFBC DF=BCDE=BC

37、【方法三】：过点E作MNAB，过点A作AMBCAMBC M=MNCE是AC两边中点 AE=CE在AEM和CEN中 M=MNC（已证） AEM=NEC（对顶角相等） AE=EC（已证）AEMCEN（AAS）ME=NE,AM=NCME=MNMNAB，AMBC四边形ABNM是平行四边形AM=BNAM=BC四边形ABNM是平行四边形MN/AB,MN=ABD为AB中点 AD=ABAD=ME,AD/ME四边形ADEM是平行四边形AM=DEAMBC, AM=BCDEBC ,DE=BC18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫矩形【注意】前提条件是平行四边形，不要误

38、认为是四边形【重点剖析】由矩形的定义可以看出，要保证一个四边形是矩形，我们可以先证明它是平行四边形，然后再说明有一个角等于90即可。二、矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还有以下性质：1、矩形的四个角都是直角ABCD符号语言：四边形ABCD是矩形 A=B=C=D=90【证明】已知：如图:四边形ABCD是矩形。求证：A=B=C=D=90证明：矩形ABCD是平行四边形， B+C=180 设 B=90C=90同理：D=90，A=90A=B=C=D=902、矩形的对角线相等符号语言：四边形ABCD是矩形 AC = BDABCD【证明】已知：如图:四边形ABCD是矩形，

39、求证： AC = BD 证明：矩形ABCD BC = AD，ABC = DAB = 90 在ABC和BAD中 BC = AD（已证） ABC = DAB（已证） AB=BA（公共边）ABCBAD（SAS）AC = BD3、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是过两组对边中点的直线【重点剖析】矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行、垂直的重要依据。由于矩形的四个角都是直角，所以常把有关问题转化为熟悉的直角三角形问题，同时矩形被两条对角线分成全等的两个等腰三角形，所以解决问题时也常用到等腰三角形的性质。三、矩形的判定1、定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形符号语言：四边形A

40、BCD是平行四边形，A =90，四边形ADEM是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形符号语言：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD（或OA=OC=OB=OD），四边形ABCD是矩形【证明过程】ABCD已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD ，AB/CD在ABC和 DCB中 AB=CD（已证） AC=BD（已知） BC=CB（公共边）ABC DCB（SSS）ABC=DCBAB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形符号语言： A=B=C

41、=90四边形ABCD是矩形【证明过程】已知：在四边形ABCD中，A=B=C=90。求证：四边形ABCD是矩形ABCD证明：A=B=90A+B=180ADBC同理可证：ABCD四边形ABCD是平行四边形A=90四边形ABCD是矩形【重点剖析】（1）矩形的判定定理与对应的性质定理是互逆定理。（2）判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等，所以判定矩形时，首先要分清是在四边形基础上还是在平行四边形的基础上，然后再根

42、据已知条件选择合理的方法。四、直角三角形斜边上的中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半符号语言：在RtABC中，AO是斜边AC的中线，AO=AC ABCO2、斜边上中线性质的逆命题也是真命题，即如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如图，AO=OC=OB,则A=ACO, B=BCO,又由A+ACO+BCO+B=180得ACO+BCO=90，即ABC是直角三角形。18.2.2 菱形一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。【注意】有一组邻边相等的四边形未必是菱形，不要忽略平行四边形这一前提条件。【重点剖析】（1）菱形必须满足两个条件：一是平

43、行四边形，二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，又是基本判定方法。二、菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还具有以下性质：1、菱形的四条边相等2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角ABCDO3、菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴【证明】已知:如图四边形ABCD是菱形，求证:(1)AB=BC=CD=DA，(2)ACBD ， AC平分DAB和DCB BD平分ADC和ABC证明(1)四边形ABCD是菱形DA=DC(菱形的定义)DA=BC,AB=DC AB=BC=DC=DA(2)在DAC中

44、,又AO=CO，AB=BCDBAC，DB平分ADC（三线合一）同理：DB平分ABC；AC平分DAB和DCBABCDO【注意】利用菱形的性质可证明线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可以与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系。【知识拓展】菱形面积的求法1、菱形的面积等于底乘以高2、如图，菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，因此菱形的面积可以用两条对角线之积的一半来表示，即菱形ABCD的面积=4SAOB=4AOBO=2 AOBO=ACBD三、菱形的判定1、判定定理1（定义法）：一组邻边相等的平行四边形是菱形2、判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱

45、形ABCDO【证明】已知：在中 ABCD，ACBD，求证： ABCD是菱形证明： 四边形ABCD是平行四边形OA=OC 又 ACBD; ABCDOBA=BC ABCD是菱形【注意】不要忽视平行四边形的前提条件3、判定定理3：四条边相等的四边形是菱形符号语言：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形【学法指南】菱形的判别方法菱形的判别方法分别是从边、角、对角线三方面进行探究的，要注意前提条件是平行四边形还是四边形。其中判定定理2还可以这项叙述：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。四边形、平行四边形、菱形之间的关系如下图：四边形菱形 四 条 边 相 等对 角 线 互 相 垂 直

46、 平 分 【重点剖析】判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法，如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用判定方法1或2来证菱形。平行四边形18.2.3 正方形一、正方形的定义及性质1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。【注意】不要忽略正方形是在平行四边形的基础上定义的，没有平行四边形作基础是无法确定正方形的。2、正方形的性质：（1）边四条边相等，邻边垂直，对边平行（2）角四个角都是直角（3）对角线相等；互相垂直；每条对角线平分一组对角【注意】正方形的性质较多为了避免

47、混乱；可以按照边、角、对角线依次理解和掌握【学法指南】平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱 形对边平行，四条边相等对角相等对角线互相平分、垂直，每一组对角线平分一组对角矩 形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正 方 形 对边平行，四条边相等四个角都是直角对角线互相垂直、平分且相等，每一组对角线平分一组对角平行四边形矩形菱形正方形【重点剖析】（1）矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，它们之间的关系如下图。（2）正方形的面积等于边长的平方或两条对角线的乘积的一半。（3）正方形被对角线分成四个小等腰直角三角形，因此在正方形

48、中解决问题常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质。二、正方形的判定1、从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边是正方形2、从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形3、从菱形出发出发：有一个角是直角的菱形是正方形既是菱形又是矩形的四边形是正方形【学法指南】正方形判定方法的选择平行四边形矩形平行四边形+一个直角 矩形+一组邻边相等 正方形菱形 平行四边形+一个直角+一组邻边相等平行四边形+一组邻边相等 菱形+一个直角菱形正方形矩形四边形平行四边形第十九章 一次函数19.1 函数19.1.1 函数与变量一、变量与常量的含义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量称为变量，数值

49、始终不变的量为常量。【注意】区分常量与变量要放到变化过程中，也要考虑其实际意义。【重点剖析】（1）变量与常量是相对的，二者是可以相互转化的，判断的前提条件是“在某一变化过程中”。一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中，它可能是常量，也可能是变量。如在中，当一定时，是变量，是常量；当一定时，是变量，是常量；当一定时，是变量，是常量。（2）之处一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号。如：长方形的周长是24，一边长与邻边长之间的关系是，式子中的常量是12和-1，这里的负号不能省略。（3）判断一个量是常量还是变量的方法：看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生变化（或者说是否会取不同

50、的数值），其在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量。二、函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。【注意】判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对于给定的每一个值，是否有唯一的值与之对应。【重点剖析】（1）函数是一个变量相对与另一个变量而言的，如果对于两个变量与，是的函数，不能说成是函数。（2）函数有顺序性，如表示是的函数，而变化后的式子，则表示是的函数，变量在等式中的位置发生变化，函数与自变量所指代的变量（未知数）就发生了变化。【方法总结】判断一个关系是否是

51、函数关系的方法：一要看是否在一个变化过程中；二要看在该变化过程中是否存在两个变量；三要看对于每一个变量每取一个固确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应，三者必须同时满足。三、确定函数解析式的步骤：确定实际问题中的函数的解析式的一般步骤：1、根据题意，运用等量关系建立二元一次方程；2、用含自变量的式子表示函数。【方法总结】列函数解析式的的方法：和列二元一次方程一样，要抓住各种不同问题中存在的相等关系，把两个变量用等式表达出来，有时列出的式子并非按照用自变量表示函数的形式，可以运用等式的性质进行变形，最终得到函数的解析式。四、自变量取值范围的确定1、定义：使得函数有意义的自变量的取值的全

52、体叫做自变量的取值范围，确定自变量的取值范围从两个方面考虑：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是使实际问题有意义。2、常见的自变量的取值范围的求法所给代数式的形式自变量的取值范围整式一切实数分式使分母不为零的一切实数，注意不能随意约分，同时注意“或”和“且”的含义偶次根式被开方数应满足大于或等于00次幂或负整数指数幂底数不能为零复合形式列不等式组，使所有式子同时有意义五、函数值对于确定的函数解析式，把自变量的值代入解析式，可确定对应的函数的值，即如果当时，那么叫做当自变量为时的函数值。【注意】函数不是一个数，而是反映在一个变化中，两个变量之间的对应关系，即任意在自变量取值范围内给出一个值，

53、另一个变量（函数）总有唯一确定的值与之对应，函数值则是在自变量取某一个数值时，函数的对应值。【重点剖析】注意求函数值的运算顺序，函数值的计算与有理数的运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先计算括号里面的。19.1.2 函数的图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。【重点剖析】函数图象上的任意点中的都满足函数解析式，另一方面，满足函数解析式的任意一对有序数对所对应的点一定在函数图象上。二、描点法画函数解析式的一般步骤1、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的

54、函数值；2、描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相对应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点；3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描各点用平滑的曲线连接起来【注意】若列表取的自变量只是自变量取值范围的一部分，则所画的图象只是函数图象的一部分。【重点剖析】（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌。（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象越准确。（3）连线时要用光滑的曲线将所描的点顺次连接起来。【方法总结】画函数图象时，如果自变量与函数值可以取0时，往往找出图象与坐标轴交点的坐标，自变量

55、或函数值不能为0的情况例外，所列自变量与函数的对应值组数以7组到9组为宜。三、函数的三种表示方法表示方法定义优点缺点解析式法用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的内在联系，便于分析变量间的数量关系、变化趋势由于比较抽象，所以并不是所有的函数都能列出解析式，有些实际问题不一定能用解析式表达出来列表法用表格来表示函数关系的方法叫做列表法由表中已知的自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值有局限性，自变量的值不能够一一列出，越不容易看出自变量与函数之间的对应关系图像法用图像来表示函数关系的方法叫做列表法比较形象直观，通过图像可以发现变量之间的对应关系及变化

56、发展趋势观察图像只能得到近似的数量关系【注意】解析式法应用较多，有的函数图象可以用三种方法中的任意一种表示，而有的只能用其中的一种或者两种方法表示。如某地的天气变化与时间的关系，很难用解析式法进行描述。【重点剖析】三种表示方法各有优缺点，在学习的过程中以及实际问题中，根据具体情况，选择适当的表示方法，或者把三种方法结合起来用。四、本节一些做题方法总结1、解答与函数有关的问题的方法：往往三种表方法并用，即运用函数解析式，计算得出自变量与函数的对应值的列表，再依据自变量与函数值的各组对应值，得出点的坐标，最后在坐标系内描点画图。2、图像的识别方法：一般是根据题目自述，从函数值随着自变量变化而变化的

57、情况来判断，函数随着自变量的增大而增大时，函数呈上升趋势，反之呈下降趋势，当自变量增大时，函数值不变，这部分图像与轴平行。3、从函数图象获取信息时应注意三点：其一是函数的最大值与最小值；其二是随着自变量逐渐增加时函数值是增加了还是减少了，即函数图象的变化趋势；其三是观察图象是否是几种变化情况的组合，以便分情况讨论变化规律。4、判断某点是否在函数的图象上的方法：将点的横坐标代入解析式，看求出的函数值是否等于纵坐标，若相等，则在函数的图象上；反之，则不再函数的图象上。19.2 一次函数19.2.1 正比例函数一、正比例函数的概念一般地，形如（是常数，且）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数。【

58、注意】（1）正比例函数中自变量的关系式是一个关于自变量的一次单项式，即自变量的指数只能是1.（2）判断一个函数是否是正比例函数的方法：紧扣定义，看是否满足以下两个条件：一是看所给的等式是否是形如的等式；二是看比例系数是否是常数，且。同时满足这两个条件，它就是正比例函数，不满足其中任何一个条件，就不是正比例函数。【重点剖析】在正比例函数（是常数，且）中，一定要注意这一条件，当时，无论取何值，的值都是0，因此不是正比例函数。【知识拓展】（1）已知两个正比例函数（其中是不为0的常数），（其中是不为0的常数），由于，所以，乘积是常数，所以仍是正比例函数，且可以推广到多个正比例函数的情况其多次组合的函数

59、仍是正比函数。（2）函数（是常数）不是正比例函数，称为常函数（即对于自变量所有的值，函数的对应值都是常数）。二、正比例函数的图象1、正比例函数的图象：一般地，正比例函数（是常数，且）的图象是一条经过原点的直线，称为直线。2、画正比例函数图象的方法：由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，经过两点确定一条直线，因此画的图象时，只要在确定除原点之外的另一点即可：常取点。 【注意】正比例函数图象上的每一个点的坐标都满足【重点剖析】有些函数图像根据自变量的取值范围的不同而有所变化。例如，正比例函数的图象是一条射线，有的图象是一条线段或直线上的点等。三、正比例函数的性质定义形如（是常数，且）的函数，叫

60、做正比例函数图像OO经过点和的一条直线性质图象经过一、三象限，随的增大而增大图象经过二、四象限，随的增大而减小【学法指南】利用正比例函数与的图象比较与的大小的方法【方法一】利用正比例函数与的图象比较与的大小时，有以下三种情况： = 1 * GB3 当正比例函数与的图象均在一、三象限时，如图（1），直线比较陡峭，从左到右上升得快，所以； = 2 * GB3 当正比例函数与的图象均在二、四象限时，如图（2），直线比较陡峭，从左到右下降得快，所以；OO = 3 * GB3 当正比例函数在一、三象限，图像在二、四象限时，如图（3），根据正比例函数图像及其性质的，则。O（1） （2） （3）【方法二】比