马尔柯夫链预测

1、第三节 马尔柯夫链预测马尔柯夫(Markov)是俄国数学家。马尔可夫法和博克斯一詹金斯法都是随机时间序列分析法。1马尔柯夫链预测马尔柯夫链预测是利用某一系统的现状及其发展动向去预测该系统未来状况的一种分析方法和技术。对于一个系统，在由一种状态转换至另一种状态的转换过程中，存在着转移概率，这种转移概率可以依据其紧接的前一种状态推算出来，而与该系统的原始状态和此次转移以前的有限次或无限次转移无关。系统的这种由一种状态至另一种状态的转移过程为马尔柯夫过程，其整体转移过程称为马尔柯夫链。2马尔柯夫链预测对于某一预测对象的马尔柯夫过程或马尔柯夫链的运动、变化进行研究分析，进而推测预测对象的未来状况和变化

2、趋势的工作过程，称为马尔柯夫分析。 马尔柯夫分析做为一种基本的随机分析方法，不论在社会科学还是在自然科学中近年来都得到了广泛的应用。 3第一节 马尔柯夫过程分析基本原理一、概率向量二、概率矩阵三、系统的稳定状态四、状态转移矩阵此部分内容在吉林科学技术出版社经济预测及数量分析 吴风山4马尔柯夫链作为一种基本的预测模型，以预测客观经济事件的未来状态。当探讨由一种状态转为另一种状态的时候，可以使用这种模型，尽管这种方法只限于具有特殊性质的问题，但可从这种方法中获得有益的信息。第二节 马尔柯夫过程分析在预测中的应用5第二节 马尔柯夫过程分析在预测中的应用应用马尔柯夫链进行预测工作，首先必须把研究的问题

3、归纳成独立的状态，例如对于商品的销售情况可以归纳为畅销，滞销等状态。其次是需要确定经过一个时期后，事件由一种状态转为另一种状态的概率，且这种概率必须满足下列条件： 1 只与目前的状态有关， 2 与具体的时间周期无关， 3 预测期间状态的个数必须保持不变。如果现实问题符合上述假定，则构成一阶马尔柯夫链。并可据此建立预测模型6具体步骤是： 1. 确定系统的状态。首先把预测所需要研究的目标归纳成一组“状态”。各状态之间应互不相容，且所有的状态共同构成一完备事件组。 2确定转移概率矩阵。依据历史统计数字计算比例数或统计事件发生的频率，依此确定转移概率和状态发生的概率；利用抽样调查方法确定转移概率或用主

4、观概率法估计转移概率。 3. 进行预测计算。多种方案分析，确定预测结果。7马尔柯夫预测流程图用马尔柯夫过程分析进行预测的工作流程图8第三节 马尔柯夫过程分析预测应用实例 设有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：0.52，0.30，0.18 根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B，C三家企业产品的变化情况如表19 分析动态变化情况:上月份购买A企业产品的顾客为520人，本月份有156人转为B企业，有52人转为C企业，A企业只保住老顾客312人；上月份购买B企业产品的顾客为300人，本月份有105人转为购买A企业产品，有90人转为购买C企业产品，B企业保住老

5、顾客105人；上月份购买C企业产品的顾客为180人，本月份有18人转为购A买企业产品、有36人转为购买B企业产品，C企业现有老顾客268人。10下面用马尔柯夫分析方法预测：如按目前趋势发展下去，三家企业产品的市场占有率，客户转移对A企业的影响程度如何？11 1将上述情况表达成初始状态和转移概率矩阵形式。以上月份为第一周期，如以S（0）表示第一周期A、B、C三个企业产品市场占有率的概率向量，则 S（0）=(0.52 0.30 0.18)即在初始状态，1000户顾客中，A企业有520户，占产品总销售额的52，B企业有300户，占产品总销售额的30，C企业有180户，占产品销售额的18。12利用相邻

6、两个周期产品销售额(市场占有率)的数据来推测未来销售周期内的顾客分配情况，主要取决于：1) 现在市场占有率的分配情况，即每一家购货顾客人数的百分比；2) 某企业现有顾客在下一销售周期仍购买该企业产品的顾客人数百分比和在下一销售周期转向购买其它企业产品顾客人数的百分比，即保留率和转出率；3) 某企业原有顾客在下一周期转向本企业购货的百分，即转入率。 13为分析研究未来若干周期的顾客流向，把表1的顾客人数转移的数据，化为转移概率。见表2。表中数据是每个企业在一个周期的顾客数与前一个周期顾客数相除所得到的比例。表中每一行表示某企业从一个周期到下一个周期将能保住的顾客数的百分比，以及将要丧失给竞争对手

7、的顾客数的的百分比。表中每一列表示各个企业在下一个周期将能保住的顾客数的百分比，以及该企业将要从其它竞争对手那里获得顾客的百分比。即行表示保留与丧失顾客数的百分比；列表示保留与获得顾客的百分比。14上表用矩阵形式表示，则为此矩阵称为顾客流动的状态转移概率矩阵，式中的各行与各列构成各自的行向量。状态转移概率矩阵还表示一个随机挑选的顾客，从一个周期到下一个周期仍购买某一企业产品的可能概率。152 计算本期市场占有率假设近期内转移概率基本不变(即顾客的爱好变化)，根据马尔柯夫过程分析的原理和预测模型，利用市场占有率概率向量S(0)与转移概率矩阵P，计算得到本月三家产品的市场占有率S(1)为：S(1)

8、= S(0) P即162 计算本期市场占有率这样我们得到本期A、B、C三个企业产品市场占有率的行向量S(1)为： 173 后续周期趋势预测 预测下个月三个企业产品的市场占有率S(2)，可将本月三个企业产品市场占有率概率行向量S(1)乘以转移概率矩阵P，即可得到每一企业下月份的市场占有率S(2) ，即183 后续周期趋势预测这样得第二周期(下月)A，B、C三个企业产品的市场占有率为：这说明在转移概率基本不变的情况下，如果能够估计出总的市场容量，即可求得各企业产品的市场需求量。19 如果需要进行长期趋势预测，则可继续计算下去，由第二周期的市场占有率行向量与转移概率矩阵的乘积求得S(3)，其余类推。

9、即20下面根据上式对上例A，B，C三个企业产品第一至十二周期的市场占有情况进行预测，将其数据列表3中，并绘制A，B，C三个企业产品销售随周期的变化趋势曲线，如图2。 212223 分析A，B，C三家产品的变化趋势表3和图2可以看到，A企业产品和B企业产品逐期下降，且A企业产品下降幅度较大，C企业产品却以较大的幅度逐期上升。这说明A企业要想保住产品在市场上的优势，必须分析产品下降的原因，采取相应的销售策略和措施。244 平衡状态分析平衡状态是各企业产品销售份额不发生逐期变化的状态。即在顾客基本不流动时，这一系统所达到的平衡条件或稳定条件。从上例看到，当转移概率基本不变时，随着时间的推移，A、B企

10、业产品市场占有率逐期下降，C产品市场占有率逐期上升，但变化的速率随后续周期而逐渐变小。到第十周期后A，B、C三家企业的产品市场占有率就基本保持不变了。所谓平衡条件就是各企业销售份额不再随周期发生变化的条件。25因此，我们可以根据定理将某一周期销售份额的概率向量乘以转移概率之后，得出与该周期销售份额完全相同的概率向量的方法，来确定平衡条件。仍以上题为例。我们从表中看到进行到第十周期时S(0)(0.388，0.275，0.387)，再进行下去转移后的状态已不再变化，那么这一点是否就是平衡点呢?我们根据平衡条件的定义进行计算并比较其计算结果。26根据平衡条件，如果上例出现平衡状态。则上一期状态经过转

11、移后其状态应当不变，即相邻两个周期各企业的产品市场占有率相同，如用转移矩阵表示则应为：并且满足各产品市场占有率之和等于1条件，即 27如以分别代表平衡状态A，B，C企业产品的市场占有率，则达到平衡状态时，应有下列关系式成立：式中销售概率向量：为该系统的平衡条件。28于是上例在平衡状态有29 以上方程组有4个方程，而只有3个未知量，故知有一个方程不独立，可以去掉一个方程，解出三个平衡状态值去掉任意方程后，解上述联立方程组得： 30即平衡系统的平衡条件这个结果与上面逐期进行计算所得结果完全相同，这表明，三种产品的市场占有率分别达到38.8，27.5，38.7 时，且转移概率不变，该系统达到平衡状态

12、，此时三种产品市场占有率不再随周期的后 延而变化。 31在计算上述平衡状态时，我们仅使用了状态转移概率矩阵，而没有涉及到现在周期或初始的系统状态，可见系统的平衡状态仅与转移概率有关，而与系统的初始状态无关 (各状态分量不为零时)，就是说，只有转移概率才能决定最终的平衡状态。马尔柯夫过程分析，可以用于预测和对策分析，即可以预测出事物状态经过一段时间转入其它状态时所占的比例，也可根据某些转移矩阵确定出事物在远期(平衡状态时)所占的比例，并由此选择经营策略，制定分阶段的最优对策。32 本章所讨论的问题仅限于一阶马尔柯夫过程分析，没有涉及二阶或高阶马尔柯夫过程，即假定系统转移至一次状态的概率仅取决于该系统前一状态的结果，但是在