二次函数与圆知识点

1、二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数问当m为何值时是二次函数二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数用配方法可化成：的形式，其中给出过程.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；分别需要哪些信息可以求得函数表达式？.二次函数解析式的表示方法将转化为其它两式一般式：（，为常数，）；顶点式：（，为常数，）；两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐

2、标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数图象的画法画函数图像五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二次函数的性质先画出图像，探究其性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

3、向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二次函数的性质先画出的图像的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二次函数的性质先画出的图像：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二次函数的性质的图像的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时

4、，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同大的开口大还是小？.对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.顶点坐标：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线中，与函数图像的关系自己验证二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起

5、来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与

6、轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法用三种方法分别求的顶点和对称轴公式法：，顶点是，对称轴是直线.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常

7、选择顶点式.交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.直线与抛物线的交点轴与抛物线得交点为(0, ).与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的

8、数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达理解 推导关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是关于点对称 关于点对称后，

9、得到的解析式是总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移由如何平移得到？平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”根据条件确定二次函数表达式的几种

10、基本思路。二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点

11、，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；3、直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与y轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与x轴的交点(x1,0)、(x2,0) 二次函数

12、的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像G的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与G有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与G没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为

13、，由于、是方程的两个根，故圆知识点1、（要求深刻理解、熟练运用）1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： CD过圆心CDAB3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD（3）4圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一

14、条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2）（3） （4）几何表达式举例：（1） ACB=AOB （2） AB是直径 ACB=90（3） ACB=90 AB是直径（4） CD=AD=BD ABC是Rt 5圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形 CDE =ABCC+A =1806切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆

15、其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；几何表达式举例：（1） OC是半径OCABAB是切线（2） OC是半径AB是切线OCAB9相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.（1） （2）几何表达式举例：（1） PAPB=PCPD（2） AB是直径PCABPC2=PAPB11关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1） （2）几何表达式举例：（1）

16、 O1，O2是圆心O1O2垂直平分AB（2） 1 、2相切O1 、A、O2三点一线12正多边形的有关计算:（1）中心角n ，半径RN ， 边心距rn ， 边长an ，内角n ， 边数n；（2）有关计算在RtAOC中进行.公式举例：(1) n =；(2) 二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2R；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=R2.（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOBAOB的面积.（如图）2

17、.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2rh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =rR. （L=2r，R是圆锥母线长；r是底面半径）四 常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.4 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交 dr ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 dr.5 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且Rr）两

18、圆外离 dR+r； 两圆外切 d=R+r； 两圆相交 R-rdR+r；两圆内切 d=R-r； 两圆内含 dR-r.6证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.正多边形和圆 （1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法） （2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距； （3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个RtOPB，B等于正n边形内角的一半，BOP=，BP等于正多边形的边长的一半。一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化

19、繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知如：用“换元法”解方程、解方程中的 消元降次思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等）方法技巧： 1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。 2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。五、弧长、扇形的面积和圆锥侧面积 1.弧长公式：(n为圆心角的度数上为圆半径) 2.扇形的面积公式S=(n为圆心角的度数,R为圆的半径）注：后一个

20、公式可类比三角形公式，扇形的弧相当于三角形的底，扇形的半径相当于三角形的高。 3.圆锥的侧面积S=RL ,(L为母线长，R为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积2R注意圆锥的高、底面半径和母线构成RtAOC圆锥及其侧面展开图-扇形的关系圆锥展开后的扇形母线半径 底面周长弧长在弧长和扇形公式中，知道某些量就可以求出相关的未知量，所以要灵活运用公式。在求阴影部分的面积时，要善于把不规则图形转化为规则图形（或其和差关系）。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的重合 2顶点在圆心的角叫做圆心角圆心到弦的距离叫做弦心距 圆幂定理（相交弦定理、切割

21、线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的 HYPERLINK /view/36416.htm t _blank 切线和 HYPERLINK /view/568876.htm t _blank 割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 HYPERLINK /view/90132.htm t _blank 比例中项。是 HYPERLINK /view/378963.htm t _blank 圆幂定理的一种。 几何语言： PT切O于点T，PBA是O的割线 PT的平方=PAPB（切割线定理） HYPERLINK /image/263e802f514285

22、101f3089d0 o 查看图片 t _blank 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）( HYPERLINK /view/639186.htm t _blank 割线定理） 由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦说明几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PAPB=PCPD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线

23、段的比例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PAPB（相交弦定理推论）切线长定理 HYPERLINK /image/95afee1f04226ee6e0fe0b3b o 查看图片 t _blank 从圆外一点引圆的两条 HYPERLINK /view/36416.htm t _blank 切线，它们的 HYPERLINK /view/378768.htm t _blank 切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ABO=ACO=90 BO=CO=半径 AO=AO公共边 RtABORtACO（HL） AB=AC AOB=AOC

24、 OAB=OAC 切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等 垂径定理 HYPERLINK /view/919948.htm t _blank 垂直于弦的 HYPERLINK /view/79326.htm t _blank 直径平分这条 HYPERLINK /view/457671.htm t _blank 弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过 HYPERLINK /view/297302.htm t _blank 圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦

25、,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等圆周角定理 定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 圆周角定理同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明已知在O中，BOC与圆周角BAC同对弧BC，求证：BOC=2BAC. 证明： 情况1：如图1，当圆心O在BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： HYPERLINK /image/e8112b2a23b1767a5243c115 o 查看图片 t _blank 图1OA、OB是半径 OA=OC BAC=ACO（等边对等角） BOC是OAC的外角 BOC=BAC+ACO=2BAC 情况2：如图2,，当圆心

26、O在BAC的内部时： 连接AO，并延长AO交O于D HYPERLINK /image/2cb4fefe8470db735c6008bc o 查看图片 t _blank 图2OA、OB、OC是半径 OA=OB=OC BAD=ABO，CAD=ACO（等边对等角） BOD、COD分别是AOB、AOC的外角 BOD=BAD+ABO=2BAD COD=CAD+ACO=2CAD BOC=BOD+COD=2(BAD+CAD)=2BAC 情况3：如图3，当圆心O在BAC的外部时： HYPERLINK /image/62667cd046dbf6cda1ec9c38 o 查看图片 t _blank 图3连接AO，

27、并延长AO交O于D OA、OB、OC、是半径 BAD=ABO,CAD=ACO（等边对等角） DOB、DOC分别是AOB、AOC的外角 DOB=BAD+ABO=2BAD DOC=CAD+ACO=2CAD BAC=CAD-BAD BOC=DOC-DOB=2(CAD-BAD)=2BAC 圆周角推论特殊圆周角1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90. 90圆周角所对弦是直径. 等弧所对圆周角相等圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等. 同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等. 命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半. 顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角

28、所截弧度数和的一半.弦切角定理 :1、弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另 HYPERLINK /image/cf5a8316ddc5f51df3de32a8 o 查看图片 t _blank 图示一边和圆相切的角叫做 HYPERLINK /view/476788.htm t _blank 弦切角。 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有PCA=PBC(PCA为弦切角）。 2、弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。 TCB=

29、90-OCB BOC=180-2OCB HYPERLINK /image/9864a23134b52ae25fdf0e04 o 查看图片 t _blank 此图证明的是弦切角TCB,BOC=2TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半） BOC=2CAB（圆心角等于圆周角的两倍） TCB=CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： HYPERLINK /image/99636c0e82874aea7bcbe1b2 o 查看图片 t _blank （1

30、）圆心O在BAC的一边AC上 AC为直径，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 为半圆, CAB=90=弦CA所对的圆周角 HYPERLINK /image/d1571724866d0a0bd40742b2 o 查看图片 t _blank B点应在A点左侧（2）圆心O在BAC的内部. 过A作直径AD交O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） HYPERLINK /image/9f6e19084f4d8210e92488b3 o 查看图片 t _blank （3）圆心O在BAC的外部, 过A作直径AD交

31、O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 3、弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 HYPERLINK /image/4e83cb62504078fde7113ab3 o 查看图片 t _blank 例1：如图，在中，C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，CBA=60 , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. 在中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(中30角所对边等于斜边的一半） HYPERLINK /image/faacb5644039e5d0f73654b3 o 查看图片 t _blank 例2：如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EFBC. 证明：连DF. AD是BAC的平分线BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC HYPERLINK /image/86d5bac25d684f3b0ef477b3 o 查看图片 t _blank 例3：如图，ABC内接于O，AB是O直径，CDAB于D，MN切O于C， 求证：AC平分MCD，BC平分NCD. 证明：AB是O直