八年级数学各章知识点

1、八年级（上）知识点整合 勾股定理重点知识：1、勾股定理，常用勾股数 2、勾股定理逆定理 3、勾股定理的运用：最短距离一、勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是、，斜边为，那么即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。二勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 三勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即。四勾股数：满足的三个正整数，称为

2、勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17实数重点知识：1、无理数的概念，与有理数的区别 2、实数比较大小 3、实数的运算、平方根、算术平方根、立方根 4、二次根式的非负性一、实数的概念及分类1实数的概念实数：有理数和无理数的统称2实数的分类注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n为整数)表示；奇数一般用2n 或2n （n 为整数）表示（3）正数和零常称为非负数（4）带根号的数不一定是无理数，如二、实数的大小比较 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的

3、点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数. 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 利用作差法比较大小设a、b是任意两实数，若,则;若,则;若,则. 利用作商法比较大小设a、b是任意两同号实数，当a，b都为负数时，若,则；若,则.三、实数的运算1.运算律加法交换律 a+b=b+a加法结合律 乘法交换律 ab=ba乘法结合律 分配律 a（b+c）=ab+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.四、平方根、算术平方根、立方根

4、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作，正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0.算术平方根：正数a的正平方根，记作;0的算术平方根为0.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作,正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.注意：（1）当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若，则；不管为何值，总有（3）若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围五、二次根式的

5、概念二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式二次根式的基本性质：（）双重非负性；（）；六、二次根式的乘除最简二次根式：二次根式（）中的称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式二次根式的乘法法则：（，）二次根式的除法法则：（，）利用这两个法则时注意、的取值范围，对于，、都非负，否则不成立，如七、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式分母有理化：把分母中的根号化去叫

6、做分母有理化互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式与互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0位置的确定平面直角坐标系有序实数对有顺序的两个数与组成的实数对，叫做有序实数对，记作注意：当时，和是不同的两个有序实数对平面直角坐标系楷体在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面象限楷体轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为

7、四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限注意：两条坐标轴不属于任何一个象限如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位楷体五号点的坐标楷体对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来楷体五号坐标平面内特殊点的坐标特征各象限内点的坐标特征楷体点在第一象限；点在第二象限；点在第三象限；点在第四象限坐标轴上点的坐标特征楷体点在轴上，为任意实数；点在轴上，为任意

8、实数；点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征楷体点在第一、三象限夹角的角平分线上；点在第二、四象限夹角的角平分线上平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征楷体平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数坐标平面内对称点的坐标特征楷体点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数点关于点的对称点是楷体五号用坐标表示地理位置直角坐标系法楷体先确定原点，然后画出轴和轴，建立平面直角坐标

9、系，再确定它的横坐标及纵坐标点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定楷体五号方位角法楷体从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角点的位置有距离和方位角唯一地确定楷体五号用坐标表示距离楷体点到轴的距离是；点到直线的距离是；点到轴的距离是；点到直线的距离是；点到原点的距离是；点到点的距离，特别地，当平行于轴时，；当平行于轴时，楷体五号用坐标表示平移点的平移楷体将点向右（或向左）平移个单位可得对应点或；将点向上（或向下）平移个单位，可得对应点或楷体五号图形的平移：楷体把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个

10、单位如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位楷体五号一次函数重点知识：1、一次函数的图像 2、一次函数的解析式 3、一次函数的应用一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数二、一次函数的图象一次函数（，为常数）的图象是一条直线由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个

11、点，再连成直线即可如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，即直线与两坐标轴的交点由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线|k|的几何意义：|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越远离y轴。三、一次函数的性质一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小1一次函数图象的位置在一次函数中：当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二

12、象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号2一次函数图象的增减性 在一次函数中：当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小 四、含绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号我们知道，函数，当时，取最小值函数，若，则；若，则；当时，取最小值在数学竞赛中，有这样一类问题非常普遍：设，当为何值时

13、，函数取最小值？下面我们给出这类问题的一般性结论对于函数，当时，取得最小值同理，当时，函数取得最小值；当时，取得最小值；于是我们得到： 若为奇数，当时，取最小值，此时，都取得最小值，则取得最小值 若为偶数，当时，取得最小值，此时，都取得最小值，故取得最小值这一点从图象上也不难看出当或时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各段在区间上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值五、用待定系数法求一次函数解析式先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有

14、待定系数的解析式；将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程（组），得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式 二元一次方程组重点知识：1、二元一次方程组的解法 2、含字母系数的二元一次方程组 3、二元一次方程组的实际应用一、二元一次方程1二元一次方程的概念楷体含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：方程两边的代数式都是整式整式方程；含有两个未知数“二元”；含有未知数的项的次数为1“一次”楷体五号2二元一次方程的一般形式楷体 二元一

15、次方程的一般形式为：（，）楷体五号3二元一次方程的解楷体五使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解一般情况下，一个二元一次方程有无数个解黑体小四二、二元一次方程组楷体1二元一次方程组的概念楷体由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）如也是二元一次方程组楷体五号2二元一次方程组的解楷体五二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数楷体五号3二元一次方程组的解法

16、楷体（1）代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出的值；回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解把这个方

17、程组的解写成的形式（2）加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的一般步骤：变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；把这个方程组的解写成的形式加减消元方法的选择：一般选择系数绝对值最小的未知数消元；当某一未知数的系数互为相反数时，

18、用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解三、二元一次方程及二元一次方程的解楷1二元一次方程的概念楷体含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：方程两边的代数式都是整式整式方程；含有两个未知数“二元”；含有未知数的项的次数为1“一次”楷体五号2二元一次方程的一般形式楷体 二元一次方程的一般形式为：

19、（，）楷体五号3二元一次方程的解楷体使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解一般情况下，一个二元一次方程有无数个解黑体小四四、二元一次方程组及二元一次方程组的解楷1二元一次方程组的概念楷体由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组注意：（1）二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，其中有的方程可以只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）如也是二元一次方程组（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数楷体五号2二元一次方程组解

20、的情况楷体五（1）在、的方程组 中，、均为已知数，（与、与都至少有一个不等于），则有：由得：由得：当时，方程组有唯一一组解；当，且，时，方程组无解；当，且，时，方程组有无穷多组解；（2）二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数多解（两个方程等效）当时，方程组无解（两个方程是矛盾的）当（即a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论五

21、、列方程组解应用题的一般步骤楷体五号1审：审题2找：找出题目中蕴含的等量关系楷 3设：设未知数四中设未知数的方法：直接设元、间接设元、辅助设元、整体设元楷 4列：列方程组楷 5解：解方程组楷 6验：检验方程组的解是不是原方程组的解，是否符合实际意义楷 7答：作答楷体五号注意：（1）审题是很重要的，应反复阅读题目，用笔画出关键的语句，再找出数量之间的关系；（2）一般求解的几个未知量可直接设几个未知数，也可多设或少设除直接设未知数外，也可以间接设未知数；（3）所设未知数的单位可以与题目中要求的不同，但所列各方程的同一未知数的单位要一致，每个方程两边单位要一致，答与问的单位要一致；（4）检验包含两方

22、面的含义：首先要检验未知数的值是不是原方程（组）的解；其二是检验未知数的值是否符合实际意义六、列方程组解应用题的一般步骤二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：1、和差倍分问题点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后

23、列多元方程组解之【例1】一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数2、利润问题注：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价利润率（盈利百分数）特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念【例2】一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？3、配套问题注：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是

24、利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即（2）“三合一”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：【例3】某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？4、行程问题（1）基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）.注：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两

25、种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离2.航行问题的数量关系：A、顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程B、顺水（风）速度=_逆水（风）速度=_【例4】在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【例5】甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？【例6】甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？5、货运问题注：由实