【配套课件】2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学北师大版（理）第二篇第3讲函数的奇偶性

1、第3讲函数的奇偶性【2014年高考会这样考】1判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用4对三种性质的综合考查；借助函数图像解决问题考点梳理(1)定义图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数(2)判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：考查定义域是否关于原点对称1奇、偶函数考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)_，则f(x)为奇函数；若f(x)_，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不

2、是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数(3)性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”)f(x)f(x)相同相反(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期2周期性f(xT)f(x)存在一个最小一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有

3、定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇【助学微博】三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图像关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.A1 B1 C2 D2解析由于f(x)的周期为5，f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为R上的奇函数，f(

4、2)f(1)f(2)f(1)211，即f(3)f(4)1.答案A考点自测1(2013上饶模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4) ()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析由题知f(x)f(x)，g(x)g(x)，显然f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|.答案A2(2011广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ()A335 B338 C1 678 D2 012解析由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以

5、f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338，故选B.答案B3(2012山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x0的x的取值范围：(1,0)(1，)答案(1,0)(1，)5(2013铜川模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_【例1】(2013广州模拟)判断下列函数的奇偶性：考向一函

6、数奇偶性的判断审题视点 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(3)当x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，x0或x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)，当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围审题视点 利用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.考向二函数奇偶性的应用【例2】函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(3)依题设有f(44)f(4)f(