中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业相似模型【相似模型一：A字型】特征模型结论DEBCAD:AB=AE:AC=DE:BC顺着比B=AEDAD:AC=AE:AB=DE:BC反着比ADAB=AEAC顺着乘B=ACDAD:AC=AC:AB=CD:BCAC=ADAB当 BAC=90 = 1 * GB3 ABDCBA AB=BDBC = 2 * GB3 ACDBCA AC=CDBC = 3 * GB3 ADBCDAAD=BDCD【相似模型二：X型】特征模型结论ACBDBD0ACODO:0C=BO:0A=BD:AC交

2、叉比AOD与C0B不相似 B=C（也叫蝴蝶型相似）AOCDOBAO:OD=0C:0B=AC:BDAOOB=OC0D顺着比，交叉乘BOCDOA【相似模型三：旋转相似】特征模型结论成比例线段共端点ABCADEABDACE【相似模型四：三平行模型】特征模型结论ABEFCD有两对A字型相似BEFBCDDEFDAB有一对X型相似AEBDEC = 3 * GB3 【相似模型五：半角模型】特征模型结论90度，45度；120度，60度 = 1 * GB3 ABNMANMCA = 2 * GB3 ABDCAECBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】特征模型结论矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形【相似模型七

3、：十字模型】特征模型结论正方形 = 1 * GB3 若AF=BE,则AFBE = 2 * GB3 若AFBE，则AF=BE,长方形矩形ABCD中，CEBD，则CDEBCD，平行四边形GMEHNFMEDBFA三角形在ABC中，ABAC，ABAC，D为中点，AEBD，BE：EC2：1，ADBCDE，AEBCED，BMC135，这七个结论中，“知二得五”【A型，X型，三平行模型】1.如图，在ABC中，EFDC，AFE=B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=_，_ 2如图，ABCD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足BEF=C，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_3.如图

4、，在RtABD中，过点D作CDBD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EFBD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:FD=_ 4.如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则BM:DN=_5.如图所示，ABCD，AD，BC相交于点E，过E作EFAB交BD于点F则下列结论：EFDABD；其中正确的有_6.在ABC中，AB=9，AC=6，点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上.当AN= 时，AMN与原三角形相似.7.如图，在ABC中，C=90，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得ADP与ABC相似，则线段AP的长为 .8.如

5、图，已知O是坐标原点，点A.B分别在轴上，OA=1，OB=2，若点D在轴下方，且使得AOB与OAD相似，则这样的点D有 个.9.如图，在RtACB中，C=90，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s，Q点的运动速度均为2cm/s，那么运动几秒时，ABC与PCQ相似.10.将ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B.F.C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 .11.如图,在ABC中, AB=AC, A=36, BD

6、是角平分线.求证:(1)ABCBCD (2)BC2=ACCD12.如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，AC2=ABAD，ADC=90，E为AB的中点（1）求证：ADCACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD=4，AB=6，求ACAF的值13.如图，在ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，连接AE（1）求证：DE=DA；（2）找出图中一对相似三角形，并证明14.如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AED=ABC，BAC的平分线AF交DE于点G，交 BC于点F（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若

7、AGGF=32，求DEBC的值15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点OM为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1（1）求BD的长；（2）若DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积 16.如图,在ABC中, CEAB于点E, BDAC于点D,连接ED,求证: ABCADE .17.如图,在ABC中,DEFGBC,ADDFFB=123,若EG=3,则AC=_. 图1 图218.如图,平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等.则= _.19.如图所示，AD=DF=FB, DEFGBC,则=_. 20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OEBC于点E，

8、连接DE交OC于点F，作FGBC于点G，则线段BG与GC的数量关系是_.21. 如图，已知点C为线段AB的中点，CDAB且CD=AB=4，连接AD，BEAB，AE是DAB的平分线，与DC相交于点F，EHDC于点G，交AD于点H，则HG的长为.22.如图1，在ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P（1）求证： ；（2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG、AF，分别交DE于M、N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DM【母子型】1、已知：如图，ABC中，ACB=90，CDAB于D，

9、SABC=20，AB=10。求AD、BD的长.2. 如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于点D，点E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F求证： ABMCN3.如图所示，在ABC中，ACB=90，AM是BC边的中线，CNAM于N点，连接BN，求证：BM2=MNAM。4.已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，DFAC于E，且与AB的延长线相交于F，与BC相交于G。求证：AD2=ABAFAECFBD5.已知中，垂足为D，DE、DF分别是的高，这时是否相似？6.已知：如图，AD是ABC的高，BEAB，AE交BC于点F，ABAC=ADAE。求证：BEFACF7.已

10、知，如图，是直角三角形斜边上的高，在的延长线上任取一点，连结，垂足为，交于，求证：.ABCDEF8.如图，在四边形ABCD中，由点D作AC的垂线交AB于E，交AC于F。求证：。9.已知中，是高，若，且，则 ， ， ， .10.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为和，则两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 .11.如图，于，则 .CEAFDB12.如图，在ABC中，ACB=90，ACBC，CDAB，DEAC，EFAB，CD=4，AC=，则EF:AF=（ ） A1:2 B:2 C:5 D:5 13.如图所示，在RtABC中，C=90，CDAB，垂足为点D，若AD：BD=9：4则AC

11、：BC的值为（ ）A9：4 B3：2 C4：9 D2：314.如图所示，CD是RtABC斜边AB边上的高，则（ ） A B2:3 C3:2 D15.如图所示，ABC中，ACB=90，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DEBC于E，求DE的长。16.如图，在中，于，以和为边在形外作等边三角形和，求证：.17.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，BD=2，AD=8，则CD=_，AC=_，BC=_ 18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD若BFA=90，给出以下三对三角形：BEA与ACD；FED与DEB；CFD与A

12、BO其中相似的有_（填写序号）19.如图，在ABC中，ACB=90，CEAB于点E，D在AB的延长线上，且DCB=A，BD:CD=1:2，则BCD的面积是（ ）BCD20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若BFA=90，给出以下三对三角形：BEA与ACD；FED与DEB；CFD与ABO其中相似的有_21.如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3点D是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为_22.如图，在

13、ABC中，AB=AC，ADBC，DEAC，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F求证：（1）；（2）BCEADM；（3）猜想AM与BE的位置关系，并说明理由23.如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F求证：24.如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E求证：（1）AEDCBM；（2）25.如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PH

14、PC其中正确的是（）ABCD26.如图，在ABC中，AB=AC=25，BC=4，点E为BC边上一动点，连接AE，作AEF=B ，EF与ABC的外角ACD的平分线交于点，当EFAC时，EF的长为（ ）27.如图，RtABC中，CDAB，垂足为D，DEAC，垂足为E，求证：. 【三角形内接矩形模型】1.如图，在ABC中，CDAB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在ABC的边上求证：【半角模型】1.如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不

15、与点B重合，点E不与点C重合）请写出图中所有的相似三角形_；若BD，则CE=_.2.如图1，将两个全等的等腰直角三角形如图摆放（顶点A重合），所有的点都在同一平面内请找出图1中的相似三角形（不包括全等）；（2）如图2，已知A是等边PQR的边RQ延长线上的点，B是QR延长线上的点若APB=120，请找出图2中的相似三角形3.如图，在ABC中，AB=AC, D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DBCE.求证：ADBEAC. 4.如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点E，F在AB上，ECF=45（1）求证：ACFBEC；设ABC的面积为S，求证：AFBE=2S5.如图，

16、点C，D在线段AB上，PCD是等边三角形，且APB=120，CD=3，设AC=x，BD=y，求y与x之间的函数关系式【旋转模型】1.如图，D是RtABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且ADE=BCD，CFCD交DE的延长线于点F，连接AF求证：AFAB2.问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC上、CD上，连接DE、BG，点M是BG中点,连接CM，试猜测CM与DE的数量关系与位置关系，学习小组经过分析，得到结论：CM与DE的数量关系为,位置关系为.解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形

17、CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变.此时，“问题背景”中的两个结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由. 类比探究：这时，小颖提出了一个问题：如图3所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为菱形，且,其他条件不变.此时，CM与DE有怎样的数量关系？直接写出结论.拓展延伸 这时，小刚提出了一个更加一般化的问题：如图4所示，,且，其他条件不变，此时，CM与DE又有怎样的数量关系？直接写出结论. 3.如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为. （1）问题发现 当时，； 当时

18、， （2）拓展探究 试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决 当EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.ECDBA（图1）EDBAC（图2）（备用图）CBA4.请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.(1)如图1,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:EF=EG; 图1 图2 图3(2)如图2,移动角尺,使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:EF_EG(用“=”或“”填空)

19、; (3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G、A重合),其余条件不变,若AB=4,AD=3,求的值.5.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AGBE于点G,交BD于点F. (1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;明明发现,AF与BE分别在AOF和BOE中,可以通过证明AOF和BOE全等,得到AF与BE的数量关系;请回答:AF与BE的数量关系是_.(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,ABC=120,请参考明明思考问题的方法,求

20、的值.6.将一副三角尺如图摆放(在RtABC中,ACB=90,B=60.在RtDEF中,EDF=90,E=45).点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,且BC=2.(11分)(1)求证:ADCAPD;(2)求APD的面积;(3)如图,将DEF绕点D顺时针方向旋转角(01.将ABD以B为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到FBE（点D的对应点为点E，点A的对应点为点F），直线EF交直线AD于点G.数学思考：在图1中连接AF，DE，可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与ABF相似，这个三角形是_,它与ABF的相似比为_（用含k的式子表示）；如图2，当点E落在DC边的延长线上时，点F恰好落

21、在矩形ABCD的对角线BD上，此时k的值为_；实践探究：如图3，当点E恰好落在BC边的延长线上时，求证：CE=FG；当k=时，在ABD绕点B旋转的过程中，利用图4探究下面的问题.请从A，B两题中任选一题作答，我选择_题.A：当AB的对应边FB与AB垂直时，直接写出值.B：当AB的对应边FB在直线BD上时，直接写出的值.12.如图，ABCD是正方形，G是BC上（出端点外）的任一点，DEAC于点E，BFDE，交AG于点F，给出以下结论：AEDBFA；DE-BF=EF；BGFDAE；DE-BG=FG.其中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.如图，正方形ABCD中，BE=EF=