动态规划与回溯法解决

1、动态规划与回溯法解决0-1背包问题0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。三、动态规划的原理及过程：number=4,capacity=7i34w（重量）3521v（价值）91074原理:动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问

2、题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。过程：a）把背包问题抽象化（Xi,X2,，Xn,其中Xi取0或1,表示第i个物品选或不选），Vi表示第i个物品的价值，Wi表示第i个物品的体积（重量）；b）建立模型，即求max(V1X1+V2X2+VnXn);c)约束条件，WiXi+W2X2+WnXn(V2X2+V3X3+VnXn)+V1X1

3、；而(V2X2+V3X3+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+VnXn),则有(V2Y2+V3丫3+VnYn)+V1X1(V1X1+V2X2+VnXn)；该式子说明(X1,丫2,丫3,，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(Xi,X2,，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max

4、 TOC o 1-5 h z V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i)+v(i)其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i)+v(i)表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i);由此可以得出递推关系式：j=w(i)V(i,j)=maxV(i-1,j)，V(i-1,j-w(i)+v(i)number=4,capacity=7i1234w（重量）3521v（价值）91074四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。从i=1,j=c即m1c开始。1、对于mij,如果mij=mi+1j,则物品i没有装入背包，否则物品i装入背包；为了

5、确定后继即物品i+1,应该寻找新的j值作为参照。如果物品i已放入背包，则j=j-wi;如果物品i未放入背包，则j=jo重复上述两步判断后续物品i到物品n-1是否放入背包。对于物品n,直接通过mnj是否为0来判断物品n是否放入背包。只要能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。序号WeightValue123456713947111316202025104711111114173274711111111114144444444从表格中可以看出背包的最大价值value=20即当X仁1,X2=0,X3=1,X4=1。五、算法测试代码

6、#include#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;constintc=8;/背包的/物品/物品的重量，其中0号位置不使用容量constintw=0,3,5,2,1；constintv=0,9,10,7,4;对应的待加，0号位置置为空constintn=sizeof(w)/sizeof(w0)-1;n为物品的个数intxn+1;voidpackage0_1(intm11,constintw,constintv,constintn)n代表物品的个数/采用从底到顶的顺序来设置mij的值/首先放wnfor(intj=0;

7、j=c;j+)if(j=1;i-)for(intj=0;j=c;j+)if(jwi)mij=mi+1j;如果jmi+1j-wi+vi?mi+1j:mi+1j-wi+vi;voidanswer(intm11,constintn)intj=c;inti;for(i=1;i=n-1;i+)if(mij=mi+1j)xi=0;elsexi=1;j=j-wi;xn=mij?1:0;intmain()intm611=0;packageO_1(m,w,v,n);for(inti=0;i=5;i+)for(intj=0;j=10;j+)printf(%2d,mij);coutendl;answer(m,n);

8、coutThebestansweris:n;for(inti=1;i=5;i+)coutxi;system(pause);return0;0-1背包回溯法解决问题问题描述:有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？总体思路：01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去。上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值=当前最优价值bestp。为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重

9、量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。三、回溯法实现的过程：number=4,capacity=7i1234w（重量）3521v（价值）91074根据问题的解空间，对于n=4时的0-1背包问题，可用一棵完全二叉树表示其解空间，如下图所示。B!0D)E)1/0K：1/ OO 1 o1 00(P：Q） （R；：s(T)SIX) *YZ)回溯过程：从根节点A开始回溯，节点A是当前的唯一的活节点,在这个纵深方向先进入A的左子树B或者右子树Co假设先选择节点B,此时，节点B成为当前的活节点，节点B成为当前扩展节点。节点A到B选择w仁3,节点B背包剩余容量r=4,价值v=9,节点B到节点D,由于

10、选择w2=5,此时背包容量r=4,背包容量不够，因而不可行，利用剪枝函数，减去以D为根节点的子树；然后回溯到B的右节点E,此时，E节点的剩余容量r=4,v=9,选择w3=2,符合要求，节点E成为当前的扩展节点，进入节点J,此时，节点J的剩余容量r=2,v=16,选择w4=1,符合要求，到叶子节点T,此时，节点T的剩余容量r=1,v=20;因此得到一个可行解，即x=(1,0,1,1),此时节点T成为一个死结点，回溯到节点U,得到一个可行解v=16，即x=(1,0,1,0),节点U成为死结点，回溯到节点E,进入右子树，节点K的剩余容量r=4,v=9,选择w4=1,符合要求，到达节点V,v=13,得

11、到一个可行解x=(1,0,0,1)，节点V成为死结点，回溯到节点K,到达叶子结点W,v=9得到一个可行解x=(1,0,0,0)。按此方式继续搜索整个解的空间。搜索结束后找到的最好解是0-1背包问题的最优解。五、算法测试代码：#include1#ineludevconio.hintn;物品数量doublec;背包容量doublev100;各个物品的价值doublew100;各个物品的重量doublecw=0.0;/当前背包重量doublecp=0.0;/当前背包中物品价值doublebestp=0.0;/当前最优价值doubleperp100;单位物品价值排序后intorder100;/物品编号

12、intput100;/设置是否装入1按单位价值排序voidknapsack()1inti,j;inttemporder=0;doubletemp=0.0;for(i=1;i=n;i+)perpi=vi/wi;for(i=1;i=n-1;i+)for(j=i+1;j=n;j+)一.if(perpin)bestp=cp;return;if(cw+wibestp)子数backtrack(i+1);/计算上界函数doublebound(inti)doubleleftw=c-cw;doubleb=cp;while(i=n&wiv=leftw)leftw-=wi;b+=vi;i+;if(i=n)b+=vi/wi*leftw;returnb;intmain()(inti;printff请输入物品的数量和容量：);scanf(%d%lf,&n,&c);printf(请输入物品的重量和价值：)；for(i=1;i=n;i+)