§16.6测不准原理

1、yw16.6测不准原理在本教程即将结束时，再次强调微观粒子与宏观质点的不同特点（一）宏观质点的位置坐标与动量的关系在经典力学中，一个宏观质点的运动状态，可用位置坐标、动量，以及运动轨道等概念来描述.已知一质点在某时刻的坐标和动量，以及它所在力场的性质，则可按牛顿运动定律求得它在任一时刻的坐标和动量，以及任一段时间内的运动轨道.I,看一个简单的例子，如（图16.6a）,设有一高压丿K水枪，射出一束水注，沿着y轴方向，垂直投射在一一个宽为b的单缝中.这束水珠穿过单缝后，冲击在垂0p=Pv（图16.6a）束水珠穿过单缝直于y轴的屏上Q0点附近.（假设不计水珠所受重力，以及被缝的边缘阻挡的水珠）.当缝

2、的宽度b缩小一些时，通过缝的水珠的位置总的来说都是互相接近一些的.增大一些时，穿过缝的水珠的位置却是互相离开一些的.但是，不论缝中水珠的位置互相接近或离开，对它们的动量的大小和方向不会有影响.这是我们的常识可以得出的结论，也与经典力学一致.（二）光子的位置坐标与动量的关系如（图16.6b）,设有一束光子穿过宽度为a的单狭缝.在屏上相当宽的范围，将出现衍射条纹.这就是第三篇12.5所说的光的单缝衍射条纹，这是光的波粒二象性应有的结果.如（图16.6b），设Q与Q_1为此单缝衍射条纹的第一级极小位置，则Q1至Q_1范围内便是中央亮纹的位置.光波的大部分能量投射在中央亮纹，也就是说，穿过狭缝的光子，

3、大多数到达中央亮纹设Q1所对应的偏角为1，此束光子的波长为入，则按单缝衍射公式可得如下关系：单缝衍射第一级极小位置的偏角1asin1=入（16.6.1）当缝的宽度b此式表明：a值较小，则值较大.也就是说,（图狭缝当光子通过狭缝时，彼此的位置比较靠近，则它们射到屏上的分散范围就比较从光子的动量变化，也可看出它们的衍射情况.在进入：夹缝时，光子大.Q的动量都等于p，方向都与y轴一致，即、px.穿过狭缝射寸向中央亮纹的光子，它们的方向分散在偏角一耳到-范围内.也就是说，从狭缝穿出的光子,它们的动量的轴分量px，其数值的分布范围为0WPxWPsin.光子的Px值之间的最大差值Px=Psin-0=Psi

4、n1.此Px称为Px的测不准量.如果考虑到还有光子会射到中央亮纹以外，则Px的测不准量厶Px的关系式应写成：Px三Psin1.光子在狭缝中的位置坐标x之间的最大差值Ax,显然等于缝宽a.也就是说，x的测不准量x=a.测不准量a,pxBpsi（16.6.2）x与昨BBpapsiBp（16.6.3）xx1最后一式用到（16.6.1）式：asin=入.按德布罗意公式（16.1.5）,p=h/入，可将（16.6.3）式写成：x与厶px的测不准关系Axpx三p入=h（16.6.4）现在强调一下这个测不准关系式的重要意义.此式表明，x很小时，px很大，Ax与厶px的乘积必定大于常量h.这就是说，如果缩小狭

5、缝的宽度a,使得穿过狭缝光子的位置测不准量x缩小，则必定使得这些光子的动量分量测不准量厶px增大.简单地说，光子的坐标x测得越准确.它的动量分量px就测得越不准确.反过来，如果增大狭缝的宽度a,按（16.6.1）式可知，a增大，则-、sin-、玖和厶px都会缩小.a增大，Ax=a也增大.这表明，光子的动量分量px测得准确，它的坐标x就测得不准确.（三）海森伯的测不准关系（或称不确定关系）如果用电子束代替上述的光子束，令电子束通过相应的单狭缝，也可测到电子波的单狭缝衍射条纹，也可从电子的波粒二象性关系式，导出测不准关系式（16.6.4）.由于微观粒子都具有波粒二象性，因此，测不准关系式（16.6

6、.4）对所有微观粒子都适用.比较（图16.6a）与（图16.6b）可知，测不准关系式（16.6.4）不适用于宏观质点.对宏观质点，可同时准确测定它的位置坐标与动量，可应用轨道的概念描述它的运动.宏观质点不具有波粒二象性，它的运动可用经典力学描述.测不准关系式（16.6.4）乃是只讲数量级的估算式子，式子中的普朗克常量可用h，也可用=h/2n表示.这个关系式不限于单狭缝衍射的简单例子，它可推广于微观粒子的一般运动情况：微观粒子的jxpxh或xpx=h/2n,不准关系p；2，z.pZ（16.6.5）这就是1927年初，德国年青物理学家海森堡提出的测不准原理.有的课本称上式为不确定度关系（四）微观粒

7、子的能量与时间的测不准关系设想有一束微观粒子，沿x轴自由运动，其动量为p.按测不准关系式（16.6.5）可知：xpx三,pSpx（16.6.6）设此自由微粒的速度xvc，则其能量E与动量p的关系为：vc，E=mv2/2=p2/2m,E=pp/m=vp.此式代入（16.6.6）式得：xp=AxE/v=AtAE三微观粒子的能量与时间的测不准关系ZE（16.6.7）这个结论表明，微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量比方说，氢原子在激发态的时间为10-8秒，可认为它的时间测不准量t=10-8秒.代入（16.6.7）式便可得到英汉物理学词汇367页，科学出版社1975年版.它的能量测不准量AE：

8、E三/t=1.05X10-34/108=1.05X10-26焦耳.这就是说，能量测不准量AE大于10-26焦.在（表15.3）已列出，可见光光子的能量约为10-19焦.因此，氢原子发出的光谱线必定有一定的宽度.这结论已为实验所证实.（五）量子力学发展的艰辛历程1900年，普朗克为了从理论上说明热辐射的实验结果，提出了能量子的假设.这是牛顿以后自然哲学所经受的最巨大、最深刻的变革.从此以后人们不断地、严谨地探索微观粒子的客观性质.微观粒子的波粒二象性，它的波函数可表达几率密度，它的波动方程可导出四个量子数，它的位置坐标与动量、它的能量与时间都具有测不准关系，这一些主要结论互相一致，并都能纳入系统

9、严密的量子力学中去.但是由于经典物理的辉煌成就，经典概念的深入人心，量子力学的发展过程是相当艰辛的.普朗克提出量子假设后，徘徊观望十几年，他企图把量子假设与经典理论调和起来，他首先起来反对爱因斯坦勇敢地推广量子理论.爱因斯坦是20世纪物理学两大重要发现（量子论与相对论）的元勋，是最受人们尊重的天才之一.但他与玻尔对量子力学的争论，是物理学史上持续时间最长、争论最激烈和最富有哲学意义的争论之一.玻尔是哥本哈根（丹麦首都）学派的领导人，他身边集结了一批极有才华的年青人，例如对波函数提出统计解释的玻恩，对微粒运动提出测不准关系的海森伯等.玻尔曾经提醒爱因斯坦，位置与动量、能量与时间的测不准关系，与他

10、的相对论所说的时间要随运动系统而确定一样，都是人们不熟悉的客观规律.然而，爱因斯坦仍然认为一种完备的理论应该是决定论的，不应该用几率和测不准关系来表达微粒的运动.他多次设计理想实验，想证明测不准原理有错误，可是这些实验却证明测不准原理并无错误.由于对大多数学者接受的、哥本哈根学派量子理论的解释深感不满，爱因斯坦晚年，将自己置身于物理学发展的主流之外，一个人孤独而又艰难的跋涉着.哥本哈根学派的量子理论解释，也不是完美无缺的.物理学总要不断地向前发展，人类对自然规律的认识过程，总是不平坦的.例题16.6A试比较电子和质量为10g的子弹，在确定它们的位置时的不准量Axe和厶xb.假定它们都沿x方向、

11、以v=200ms的速度运动，速度的测量误差在0.01%以内.解（1）由于vc，可知电子的质量me=9.1X10-31kg.按题意，此电子的速度不准量v=0.01%Xv=10-4X200=2X10-2m/s，此电子的动量不准量pe=meAv=18.2X10-33kgm/s.v比v小得多，pe也比pe=mv小得多.e代入测不准关系式（16.6.5）可得：x三/pe=1.05X10-34/18.2X10-33=5.77X10-3m.e已知原子的大小为10-10m数量级，上述电子的位置测不准量Ax比原子约大107倍.可e知此电子的pe较小，Ax就较大.此电子的动量测得准，位置就测不准.e（2）按题意所

12、述子弹的动量测不准量pb可计算如下：杨建邺、止戈编著杰出物理学家的失误113115,136142页，1986年版.周世勋编量子力学399405页，1961年版.pb=10X10-3X2X10-2=2.0X10-4kgm/s.按测不准关系式（16.6.5）,可求得此子弹的位置测不准量厶xb：bx三/pb1.05X10-34/2X10-4=5.25X10-31m.b可知此子弹的Axb与厶pb都很小，子弹的xb与pb可同时准确地测量.子弹是宏观物体,bb不具有波粒二象性，不受微观粒子测不准关系式（16.6.5）的限制.16.6B已知原子核线度的数量级为10-14米.假设电子被束缚在原子核内，试应用测不准关系估算此电子的动能有多大?解电子如果在原子核内，电子的位置不准量可认为是厶x=10-14米.按照测不准关系式（16.6.5）,此电子的动量不准量p三h/Ax，即ph/x=6.63X10-34/10-14=6.63X10-20千克米/秒.此电子的动量p不应小于Ap,即p三Ap三6.63X10-20千克米/秒.按狭义相对论公式（见第一编附录4F）有：总能2=c2p2+E0,动能Ek=E0.由于cp三3X108X6.63X10-20=1.99X10-11焦.此电子的静能