模型18 双A字形相似模型

1、专题18 双A字形相似模型一、单选题 1如图，ABO的顶点A在函数y（x0）的图象上，ABO90，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若ANQ的面积为1，则k的值为（）A9B12C15D18【答案】D【分析】易证ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出ANQ的面积，进而可求出AOB的面积，则k的值也可求出【详解】解：NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N是OA的三等分点，四边形MNQP的面积为3，SANQ=1，SAOB=9，k=2SAOB=18，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出SANQ=1

2、是解题的关键2如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形若DE=2cm，则AC的长为 ( )AcmB4cmCcmDcm【答案】D【解析】点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=BC，DE=2cm，BC=4cm，AB=AC，四边形DEFG是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC=，AC=2cm故选D3如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE/BD，且交AB于点E，GF/AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选

3、项，即可得到答案【详解】AEGABDDFGDCAA错误，B错误，DFGDCA， AEGABD，C错误，D正确，故选D【点睛】本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键4如图在ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（）A2对B3对C4对D5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4对，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线

4、与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似5如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可【详解】解：ADEABC，AD：AB1：3，ABC的面积为9，SADE1，故选：A【点睛】二、解答题6如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP（1）直接写出OA、AB的长度；（2）试说明；（3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运

5、动时间t的值 【答案】（1）；（2）见解析；（3），2【分析】（1）根据点A、B的坐标即可得；（2）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得；（3）先根据矩形的性质、线段的和差可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此可得的AM边上的高为，然后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，最后解一元二次方程可得的值【详解】（1），；（2），；（3）由题意得：，且，则，四边形OABC是矩形，即，解得，的AM边上的高为，即，当时，解得，故的值为2【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键7如图

6、，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，顶点在轴的正半轴上，（1）求的长度（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标【答案】（1）10；（2）时，；t10时， ；（3）当时，；当t10时，【分析】（1）由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长；（2）分两种情况讨论：当时或当t10时，根据三角形面积公式解题即可；（3）分两种情况讨论，当时，作作，交DG于N，交BC于M，由等腰三角形三线合一的性质，解得，进而证明，根据相似三角

7、形对应边成比例的性质，设DN=m，解得AD=，OD=，当时根据勾股定理解得BH、DH的长，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当t10时，方法同上【详解】（1）在中（2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6当时，CD=AC-AD=10-t，；当t10时，CD=AD-AC=t-10, ；（3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M，又设DN=m，则AD=OD=，当时BH=，同理在中，即解得(舍去)或当t10时，如图：作，交DG于N，交BC于M，又设DN=m，则AD=OD=，当时BH=，同理在中，即

8、解得或(舍去)综上所述，当时，；当t10时，【点睛】本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键8如图已知正方形DEFG的顶点D、E在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上如果BC=4，ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_【答案】【分析】过点A作AMBC于M，由ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长【详解】如图，过点A作AMBC于M，ABC的BC边上的高是3，AM=3，四边形DEFG是正方形，GD=FG,G

9、FBC,GDAM，AGFABC，BGDBAM，GF=故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键9（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容（定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程（定理应用）如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BFO为AC的中点，连结EF、OE、OF（1）EF与AC的数量关系为_（2）与的面积比为_【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为【分析】定理证明：先根据相

10、似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案【详解】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，在和中，且；定理应用：（1），在和中，即；（2）如图，过点O作于点M，作于点N，四边形ABCD是矩形，即，点O是AC的中点，、是的两条中位线，设，则，即与的面积比【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键1

11、0如图，在中，点分别在上，且（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EFBC，于是可得AEGABD，AGFADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论【详解】解：（1）在AEF和ABC中，AEFABC；（2）AEFABC，AEF=ABC，EFBC，AEGABD，AGFADC，,，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键11陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太

12、宗李世民亲手裁种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF1.7米，测得FG3米，测倾器的高度CD0.8米，已知ABBG，CDBG，EFBG请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度（参考数据：sin390.6，cos390.8，tan390.8）【答案】40.8米【分析】由题意过C作CHAB于N，则四边形BDCN是矩形，根据矩形的性质得到CNBD，BNCD08，设

13、BDCNx，则BG22+x，根据三角函数的定义得到ANCNtan3908x，求得AB08x+08，根据相似三角形的性质求出x，即可得到结果【详解】解：过C作CHAB于N，如图所示：则四边形BDCN是矩形，CNBD，BNCD08，设BDCNx，则BGBD+DF+FGx+19+322+x，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39，ACN39，在RtACN中，ANCNtan3908x，ABAN+BN08x+08，ABBG，EFBG，EFAB，EFGABG，即，解得：x50，AB40.8（米）【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会

14、添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题12如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.（1）求抛物线的表达式；（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.当为何值时，得面积最小？是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2） ；【分析】（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；（

15、2）过点Q、P作QFAB、PGAC，垂足分别为F、G，推出QFACBA，CGPCBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可【详解】解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)， 抛物线经过A、B两点，解得，抛物线的表达式为：(2) 四边形ABCD是矩形，B=90O， AC2=AB2+BC2=5；由，可得，D（2,3）过点Q、P作QFAB、PGAC，垂足分别为F、G，FAQ=BAC， QFA=CBA，QFACBA，同理：CGPCBA，当时，D

16、PQ的面积最小.最小值为 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：当时，根据勾股定理可得出：，整理，解方程即可得解；当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；当时,同理用勾股定理得出：；整理求解可得t的值由此可得出t的值为：,【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键13（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证：；（2） 如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接A

17、G，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析【分析】（1）易证明ADPABQ，ACQADP，从而得出；（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据ADEABC，求出正方形DEFG的边长从而，由AMNAGF和AMN的MN边上高，AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN；可得出BGDEFC，则DGEF=CFBG；又DG=GF=EF，得GF2=CFBG，再根据（1），从而得出结论【详解】解：（1）在ABQ和ADP中，DPBQ，ADPABQ，同理在ACQ和

18、APE中，；（2）作AQBC于点QBC边上的高AQ=，DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBCAD：AB=1：3，AD=，DE=，DE边上的高为，MN：GF=：，MN：=：，MN=故答案为：证明：B+C=90CEF+C=90，B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC，DGEF=CFBG，又DG=GF=EF，GF2=CFBG，由（1）得，GF2=CFBG，MN2=DMEN【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大14矩形ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE（1）如图，若点P恰好在边BC上，连接AP，求

19、的值；（2）如图，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长【答案】（1）；（2）BF3【分析】（1）如图中，取DE的中点M，连接PM证明POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H设EG=x，则BG=4-x证明EGPPHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在RtPHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）如图中，取DE的中点M，连接PM四边形ABCD是矩形，BADC90，由翻折可知，AOOP，APDE，23，D

20、AEDPE90，在RtEPD中，EMMD，PMEMDM，3MPD，13+MPD23，ADP23，1ADP，ADBC，ADPDPC，1DPC，MOPC90，POMDCP，（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H则四边形AGHD是矩形，设EGx，则BG4xAEPD90，EGPDHP90，EPG+DPH90，DPH+PDH90，EPGPDH，EGPPHD，PG2EG3x，DHAG4+x，在RtPHD中，PH2+DH2PD2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（负值已经舍弃），BG4，在RtEGP中，GP，GHBC，EGPEBF，BF3【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质

21、，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题15如图，在中，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可【详解】解：（1）平分，在中，在中，（2）点是线段的中点，【点睛】本题考查了含30角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题16如图，在中，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连

22、接（1）求证：直线与相切；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）9【分析】（1）连接，利用，证得，易证，故为的切线；（2）证得，求得，利用求得答案即可【详解】证明： 连接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，点D在O上，直线DF与O相切；（2）解：四边形ACDE是O的内接四边形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，ODAB，AO=CO，又AE=7，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，

23、连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可17如图，在ABC中，AB=，B=45，C=60（1）求BC边上的高线长（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将AEF折叠得到PEF如图2，当点P落在BC上时，求AEP的度数如图3，连结AP，当PFAC时，求AP的长【答案】（1）4;（2）90；【分析】（1）如图1中，过点A作ADBC于D解直角三角形求出AD即可（2）证明BE=EP，可得EPB=B=45解决问题如图3中，由（1）可知：AC=，证明AEFACB，推出，由此求出AF即可解决问题【详解】解：（1）如图1，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，=4. （2）如图2，AEF

24、PEF，AEEP. 又AEBE ，BEEP，EPBB45，AEP90. 如图3，由（1）可知：在RtADC中，. PFAC，PFA90.AEFPEF，AFEPFE45，则AFEB.又EAFCAB， EAFCAB，即，AF,在RtAFP中，AFPF，则AP. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型三、填空题18如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则_【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出

25、最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，DE/BC，IG/AB，FH/AC，四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，FDPIPEPGHABC，FP：IE：PH=1：2：3，AI：IE：EC=1：2：3，AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，SABC：SFDP=36：1，SABC=363=108故答案为:108【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方19已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上

26、截取，连接，交于，则_【答案】； 【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，AB/CD，EAFHDF,HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，AB/CD，CHGAEG，AG：CG=AE：CH，AB=CD=2AE，CH=CD+DH=2AE+AE=AE，AG：CG=2：5，AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，AB/

27、CD，EAFHDF，HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，AB/CD，AG：CG=AE：CHAB=CD=2AE，CH=CD-DH=2AE-AE=AE，AG：CG=2：3，AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5故答案为：或【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序20在平面直角坐标系中，已知，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为_【答案】【分析】根据AC为直角边可分CAB=90和ACB=90两种情况进行讨论【详解】为直角三角形，为直角边，当时，又，、四点共圆，且为直径，为中点，则为圆心，连接，则为圆的一条弦，圆心一定在的垂直平分线上，取中点，过做直线，则的运动轨迹为直线，当时，取得最小值，的解析式为，又为中点，的解析式可设为，代入，得：，的解析式为，令，得，又，当时，点交于轴原点处不符合题意，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键21如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5