几何直观和空间观念的差异及教学侧重点 2

1、几何直观和空间观念的差异及教学侧重点东北师范高校孔凡哲东北师范高校其次附属学校王延萍几何直观作为核心名词，2022年底首次消失在学校阶段（尽管2003年公布的一般高中数学 课程标准（试验）早就明确提出了针对“几何直观”的要求“培育和进展同学的几何直 观力量，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”）;同时，义务教育数学课程标准（2022 年版）（标准（2022年版）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理力量并列，成为 “图形与几何”领域的核心目标的三大组成要素。几何直观与推理力量差异是显而易见的。但是，几何直观与空间观念毕竟是什么关系？在教 学中，如何有针对性地培育同学的几何直观与空间观念？这些

2、问题都是学校数学领域亟待理 清的问题。本文就此阐述。一、几何直观与空间观念的含义差异分析正如标准（2022年版）指出的，“直观与推理是图形与几何领域的核心目标”，其中， “空间观念”是指“依据物体特征抽象出几何图形，依据几何图形想象出所描述的实际物 体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出 图形等”，“几何直观”是指“采用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把简单的 数学问题变得简明、形象，有助于探究解决问题的思路，猜想结果。特殊地，空间观念的培 育要贯穿整个数学学习过程中”。我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几

3、何直观 的含义的诠释”，即不是针对“几何直观”的明确定义。对此，我们可以这样定义几何直观：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的争论对象（即 空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的力量。几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，查找数学对象的直观模型是有效 发挥几何直观的重要环节之一。作为“图形与几何”的核心名词，几何直观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的 重要目标，二者有局部的差异，但是，各有侧重。（一）二者的侧重点特别明显 几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需耍经 过规律推理的验证。而空间观念侧重

4、于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，“描 述图形的运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必需凭借看得见、 摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象物等等。不仅如此，儿何直观侧重采用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的 感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形的力量，后者侧重于几何学习对 学习者带来的变化和进展。（二）二者触及的领域各有侧重几何直观侧重于采用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领 域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域一一虽然有时触及几何与数学的其他分支学 科的交叉领域。（三）二者在假设干局部领

5、域具有交叉性、重叠性即，对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠局部，几何直观侧重于整体把握问 题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到 事物，能够进行图形与其相关事物之间的转换等。（四）对于同学的形象思维的进展，二者共同发挥作用在日常教学中，我们应当关心同学建立空间观念，注意培育同学的几何直观与推理力量。关 心同学逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。特殊地，就整个义务教育阶段而言，推理力量的培育必需以同学已有的几何活动阅历、几何 直观为先导，但必需强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。而学习的内容是 由非形式化的推理渐渐提升到形

6、式化的推理，透过直观几何与试验几何的充分学习，对几何 对象的熟识及非形式化的推理，到达知觉性的了解、操作性的了解，进而逐步形成几何推理。 当然，在学校阶段，推理力量属于渗透，而不是重点培育，但是，这是整个九年进展推理力 量的必不行少的阶段，属于奠基性工作。二、几何直观与空间观念的作用、价值的差异分析几何直观属于直观感知基础之上所形成的理性思索所致，是学习者对于数学对象的儿何属性 （或与几何属性亲密相关的一些属性）的整体把握和直接推断的力量；同时，几何直观是学习者、争论者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接推 断建立在针对几何图形长期有效的观看和思索的基础之上，既有相对丰富的阅历积淀

7、，更有 阅历基础之上的理性的概括和升华。（一）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的结果，具有连续性.几何直观需要长期的积淀，即采用图形、实行整体思维的方式把握问题的本质，渐 渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观。例如，看到a2+b2,完全下意识地（自觉地）想到直角三角形的两条直角边的平方和， 它等于斜边的平方。.长期从事图形与几何的操作活动，并擅长分析几何活动要素之间的关系，可以逐步形成空间观念。同时，空间观念的进展具有（儿童进展的）季节性，已有的争论说明，义务 教育阶段是进展儿童空间观念的最正确期，一旦错过，几乎无法修复或者重新进展。其实，几何的启蒙活动应当借助探究、争论、分析

8、、争论生活中的真实形体，充分使用 同学原有的、处在生活阅历状态的几何认知，娴熟地描述与表征四周的环境。这些试验、观 看、探究的活动需要不断地支配在不同的学习层次中，探究形体的要素、觉察性质、找出形 体间的关系，让同学透过好玩的操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维的进 展。（二）二者都具有肯定的规律性几何直观属于从整体的视角直接把握问题的本质，其间需要摒弃大量无关的次要信息， 而把握核心要素之间的内在关联，其规律的成分显而易见；与此相对，空间观念的各个成分几乎都涉及规律成分，无论是实物与其相应的图形之间 的规律关系，还是图形之中的各个要素之间的关系，无论是二维、三维图形之间的转换，还

9、 是将简单的图形与其基本图形之间的关系，无论是依据物体特征抽象出几何图形，还是想象 出物体的方位及其相互的位置关系，无论是描述图形的运动和变化，还是依据语言的描述画 出图形，都或多或少地涉及规律因素。（三）二者具有亲密的关联性作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入同学的几何学 习活动之中，而这些学习与同学亲身参加的几何活动交织在一起，在很多状况下几乎无法严 格区分。虽然空间观念、儿何直观都有先天的成分，但是，其实质性的进展都是在后天完成 的，同时，二者的进展相互制约、相互促进。.空间观念的进展对于几何直观的进展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的重要基础（虽然不是

10、唯一基础，几何直观进展的另一个重要基础，就是整体思维方式的形成, 这需要适度的抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害。.几何直观的进展对于空间观念具有重要的强化作用。中学校数学中的几何直观详细表现为四种基本形式“实物直观、简约符号直观、图形直 观、替代物直观”。这些不同层面的几何直观其实与空间观念的进展亲密联系在一起：在实物直观（即实物层面的几何直观）阶段，同学借助与争论对象有着肯定关联的现实 世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与争论对象之间的关联，进行简捷、形象的 思索，获得针对争论对象的深刻推断（的一种力量），与其同时，同学也在慢慢地经受图形 抽象的过程，空间观念的“依据物体

11、特征抽象出几何图形”“依据几何图形想象出所描述的 实际物体”“依据语言的描述画出图形等”等成分不断进展。在简约符号直观（即简约符号层面的几何直观）阶段，同学在实物直观的基础上，进行 肯定程度的抽象而形成半符号化的直观，诸如行程问题中的线路图等等,运用这种直观形式, 同学可以很好地“描述物体的方位及其相互之间的位置关系”“描述物体的运动和变化”。在运用图形直观的阶段，同学可以采以明确的几何图形为载体分析处理相关的问题，既 可以涉及代数问题，也可以触及几何问题。其中，分析图形的基本要素之间的相关关系，是 精确运用图形直观的关键，这恰恰是空间观念的重要成分之一。作为实物直观、简约符号直观、图形直观的

12、复合物，替代物直观是一种复合的几何直观, 既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或数学学科表征物所代表的直观形式，对于 “依据物体特征抽象出几何图形”“依据几何图形想象出所描述的实际物体”等等成分的 培育具有显著作用。（四）二者彼此具有不行替代性作为“图形与几何”领域学习的重要目标，几何直观和空间观念彼此无法替代，几何直 观侧重于应用，而空间观念侧重于学习者对于几何对象的把握程度。从而，具有良好的几何 直观（力量）就构成检验空间观念的重要指标之一（虽然不是唯一指标）。三、几何直观与空间观念的培育侧重点及其典型案例分析.空间观念需要渗透在“图形与几何”学习的方方面面，而几何直观需要渗透在数学

13、学习的各个领域，特殊是，在“数与代数” “统计与概率”“实践与综合”领域。例如，通过观看、操作等活动，进一步熟识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方 体等几何形体，采用同学四周常见的事物，引导同学感受和探究图形的特征，丰富图形与几 何的活动阅历，建立初步的空间观念和几何直观。因而，积累几何活动阅历就成为几何教育 的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动阅历并且擅长反思的人，他的几何直观 更有可能到达更高的水平。与此相对应，借助于恰当的图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，关心同学理解和 接受抽象的内容和方法，而抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为同学制造了 一个主动思索的机会

14、和揭示阅历的策略，使同学从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探 究、觉察和再制造，经受反思性循环，体验和感受数学觉察的过程。.几何直观更多地表达在问题解决之中、新知建构的过程之中，而空间观念需要全方位 地表达在同学亲身参加几何活动之中。例如，借鉴俄罗斯L.V沙雷金和L.N叶尔冈日耶娃合著的直观几何中的做法，通过 折纸、摆火柴、走迷宫、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑阅历、“七桥问题”、单 向曲面、六面体的绽开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题，让学校生用直观的方 法接触大量的、生动的几何世界，既可以在问题解决之中体会几何直观带来的奇妙，又可以 在活动之中进展空间观念，开阔同学的数学视

15、野，体验了数学的魅力和情趣。.随着班级的上升，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观，逐步过渡到符号直观、图形直观。而空间观念的进展需要从涵盖“依据物体特征抽象出几何图 形”“依据几何图形想象出所描述的实际物体” “想象出物体的方位和相互之间的位置关 系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等各个方面，而不行局限在某些 方面，比方，从实物到图形的转换。（编者注：限于篇幅，例子从略）.几何直观需要更较高的思维水平，从而，更需要老师在日常教学中不断主动地运用几何直观关心同学建构自己的数学理解，有意识地培育同学的整体思维方式和数形结合的意 识，并关心同学把握往往起核心的那些基本

16、图形（诸如三角形、正方形等等）。比方，在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据1,由此可以很好地理解“移多 补少”，进而把握平均数的概念。这里的“圆片”就是样本数据1的替代物，直观而形象。而如下的代数案例也可以很好地表达几何直观的作用：【案例】新世纪版3班级上册 第3031页“去游乐场两位数乘一位数进 位乘法”生1:生2:我是竖式计算。（老师在黑板用小棒卡片协作生2讲解竖式计算的方法。）用小棒直观图让孩子理解，4X6=24中的2,要加在十位上，这个2在图里就代 表24中的那两捆小棒，由于这两捆小棒要先跟上面那四捆小棒相加，整捆加整捆， 所以算十位4X1=4还要加上个位进来的2。结合小棒图，给孩子一个直观的感受， 孩子更简