2022年东师大《概率论与数理统计》期末作业考核答案

1、20XX年春季 期末作业考核概率论与数理统计满分 100 分一、判断正误，在括号内打或 （本题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）（ ） 1X1,X2,Xn是取自总体N(,2)的样本，则X1inXi服从N(0 )1,分布；)；n1（ ） 2设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数FX(x)是lim yF(x,y（） 3设x |x，Ax|0 x2，Bx|1x3，则A B表示x|0 x1；（ ） 4若P(AB )0，则 AB 一定是空集；（ ） 5对于任意两个事件A、B，必有ABAB；是（ ） 6设A、B、C表示 3 个事件，则ABC表示“A、B、C中不多于一个发生

2、”；（） 7A、B为两个事件，则ABABA；（） 8已知随机变量 X 与 Y 相互独立，D(X)8 ,D( Y)4，则D(XY)4；（）9设总体X N(,1 )，X ,X ,X 是来自于总体的样本， 则?1X11X23X3666的无偏估计量；（）10回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关 关系。二、填空题（本题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分）A、B、C表示为ABC；1设A、B、C是 3 个随机事件，则“ 三个事件都不发生” 用2若事件A、B、C相互独立，则；P (ABC)=3设离散型随机变量X 的概率分布为xk,X1xx2,对应取值的概p 1p2,

3、pk,率除了要求每个pk0 之外，这些p 还应满足p + p + ,p =1 ；4若随机变量 X 服从区间 0 , 2 上的均匀分布，则 E (X ) ；k5设随机变量 X 的概率分布列为 P ( X k ) e ( k 0 ,1, ,2；0 )，则 D ( X ) ；k !6 ( X , Y ) 为 二 维 随 机 向 量 ， 其 协 方 差 cov( X , Y ) 与 相 互 系 数 XY的 关 系 为cov( X , Y )XY；D ( X ) D ( Y )7已知 E ( X ) 3，D (X ) 5，则 E (X 2 2) 30 ；8设离散型随机变量 X 的概率分布为X 0 1 2

4、 p k 0.5 0.3 0.2 其分布函数为 F (x )，则 F ( 3 ) 1 ；9设 X 1 , X 2 , , X n 为总体 X N ( , 2) 的一个简单随机样本，若方差 2 未知，则 的 1( )的置信区间为。10设样本 X ，X ，, ，X 来自 N ( , 2)，且 2 1 . 69，则对检验：H ：35，采用统计量是。三、计算题 ( 每题 5 分, 共 35 分)1设XN(,342)，试求 X 的概率密度为f(x )。解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的概率密度具有如下形式：进而，将代入上述表达式可得所求的概率密度为：2随机变量的密度函数为p(x)2x ,x(,0A

5、 )，其中 A 为正的常数，试求A 。,0其他解： 依题意可得：则：因为 A0 所以 A=1 3设随机变量服从二项分布，即B(n ,p)，且E3，p1，试求 n 。7解： n 可以如下求解：E( )np =3,n3/p =21 x3，y6，试求 a?。4已知一元线性回归直线方程为y ?a ?4x，且解：由题意得b ?4D(X)3 ,D( Y)4，求D(X4 Y)。故?ybx ?65设随机变量 X 与 Y 相互独立，且解：因为随机变量 X 与 Y 相互独立，则：D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-16 4=-61 6 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 f (

6、x ; ) ( 1 ) x , 0 x ,1 式 中 1 是 未 知 参 数 ，0，其它 ,X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本， 用最大似然估计法求 的估计量。解：似然函数为似然方程为解得. 即为 最大似然估计值。7设X1,X2,Xn是取自正态总体N(0 ,2)的一个样本，其中0未知。已知估计量?2knX2是2 的无偏估计量，试求常数k。k1i解：i1ni2E? 2nX2kn2? 2kXkEini1i1四、证明题 ( 共 15 分)1若事件 A与 B 相互独立，则 A 与 B 也相互独立。 (8 分) 证明： P( A B） P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A)P(B)=P( A )P(B) 所以 A 与 B 独立2若事件 A B，则 P ( A ) P ( B )。