2022年中北大学概率统计练习册答案

1、9、0.25 第一章随机事件与概率10、（1） 0.2 ；（2） 0.4 ；（3） 0.8 ；（4） 0.7 。11、（1）0.85（2） 0.941 12、17 801、（1）3,4,18 ，A4,6,18；（2）= （正，反），（正，正），（反，正），（反，反） ， B = （正，反），（正，正） 。2、（1）表示三门炮中至少有一门炮击中目标（2）表示三门炮中至少有两门炮击中目标（3）表示三门炮都击不中目标（4）表示三门炮中至少有一门击不中目标 或表示三门炮中至多有两门炮击中目标13、2 C m2 C m或2 C M2 C mm1 1C C Mm2 C M14、（1）p2p2；（2）2 p

2、p；（3）3pp2122（5） ABCABCABC15、(1) 5（ 2）8 25（6） ABCABCABC12（7） ABC16、0.042 ；0.023 （8） ABC17、设 A“ 甲机床需要看管”； B“ 乙机3、（1）1 8（2）1 6（3）7 24床需要看管”；C“ 丙机床需要看管”；A、 、C相互独立，（1）0.003 ；（2）0.388 18、独立 19、0.994（4）3 44、m n5、（1） 0.00539 （2） 0.037956、P1 2 2 1 1C C C C C 6 2 5 2 24 C 12163320、 (1) D； (2) D； (3) C； (4) B

3、21、( 提示：先求出击不沉的概率 )1283/1296 150022、1 0.998 0.95第二章 随机变量及其概率分布（2）17 335n4n1、C0 1 2 3 Xp1/3 2/9 4/27 8/27 7、1n 8n 99n9n2、（1）1；（2）6 7。8、17 2570,x18、(1)808161；1 )21/ 3,1x40.20.30.10.43、（1）F x ( )1/ 2,4x6(2)1255 / 6,6x100.30.30.41,x10(2) P 2X61；9、（1）f Y( )1,1y2y 22P X41；0,其他3P 1X51。（2）Yf( )21y,0y124、（1）

4、P Xk k 1q p(1k p )1p ,k1,2,3,0,其他10、（1）在放回抽样的情况下，（2）P Xk Cr1r p qkr,kr r1,k1(X Y)的联合分布列为：(a（3）k1P X2 k10.45(0.55)2k111XY0 315、 （ 1）k4；ab0 (aa2)2bb（2）P X0.80.1296。1 (aab)2b26、(1)A1b(a)2b(2) 1 3随机变量 X 的边缘分布律为：0 x1X0 1 paababb(3)F x ( )1(arcsinx2)1x1随机变量 Y 的边缘分布律为：1x1X0 1 7、（1）f x ( )11xe（2）ln 52ln 2pa

5、ababbx0elseX 与 Y 是相互独立的（2）在不放回抽样的情况下，(X Y 的联合分布列为：1)（3）27 32；6；x0,y0XY0 1 （4）2 3。13、 （1）A0 (aa a1)1)(ababbb)(ab)(a(1e2x)(1e2y),（2）F x y ( , )1 (ababb1)(ab b1)0,其它)(ab)(ab1)（3）fX( )。2e2x,x0随机变量 X 的边缘分布律为：0,x0X0 1 fY( )3 e2y,y0paababb0,y00;（4）17 e60.983。随机变量 Y 的边缘分布律为：，2 ,0 x114、fX( )X0 1 0,其它paababb1

6、y,1yfY( )1y,0y1因为P X0,Y0P X0 P Y00,其它b3 815、(1)ab所以 X 与 Y 是不独立的。11,(2) a1,241211、1ez,0z116、fZ( )XY1 2 3 4 (e1)ez,z11 1/ 40000,其它2 1/ 81/ 800*17 、0 0.25103 1/121/121/1200.754 1/161/161/161/16* 18、P0P X24 Y12、（1）k1；8（2）3 8； =14l,l4（4）D X)2。)93l49、（1）E(5X212；l12（2）D( 2X5)20。第三章 随机变量的数字特征10、（1）E Y ( )0；

7、（2）D Y)1。1、 易知 X 的分布列为11、8 9X4 8 10 p0.1 0.2 0.7 12、 （1）9.6 （2）14.1 。所以E X)9；D X)3.413、YX22、n 1(11N ) 。14、 （1）E X)2，E Y ( )1；33n（2）3、P X2p p 2(1p 1)(1p2)D X)1，D Y ( )1；P X3(1p p 1(1p p p 21818（3）cov(X Y)1，XY1；P X4(1p p ) (1p 2)362（4）E XY)1，E X2Y2)2则E X)(2p 1)1p 1(2p2)。4315、 设进货量为a, 利润为 Y 4、1,1pp则Y50

8、0 a300(Xa ),30Xap2500X100( aX)10Xa5、E X)0D X)2。E Y)1a500 x100(ax)dx20106、130500a300(Xa)dx92807、k4，a3。8、（1）c1；20a2302a26,a 最少为 21 （2）P 1x11；3416、（1）2 , 13 18，（2）d2 1,3 18（3）D X（3）E X)4；3*17 、P X11，2P X21 1，11（2）P0X100.32 3P X31 2 1，（3）P X0 =0.2 2 3 4P Xk1 2 3kk1k1117、 （ 1）E Z)22 3 4k kD Z)97X Z27E X)

9、k1k111k1k11，97k k（2）Cov X Y)2.4故 X 的数学期望不存在。第四章 几类重要的概率分布E Z)2D Z ( )82.68、最多装 39 袋水泥1、设 X 表示提出正确意见的顾问人数，0.8969、 （ 1）1 3 e0.2231；0.4 ；y3则XB(3,0.8)P X2P X2P X3（2）1 9 e0.0111。2、设 X 表示同时开动机床数的台数，则XB(5,2)10、 （1）P X0.23（1）P X480；（2）E X)0。0 x1,02431（2）P X2178111、（1）fx y3（3）E X)np5210；其他0（2）P X1 33Y =5 6（4

10、）D X)1010。93（3）V 0 3、 0.959574、（1）4U 则E X)4；0 5/6 0 （2）P X280.1465。1 1/12 1/12 4 e5、a166、 （ 1）P X100.5U+V 0 1 2 （2）p 5/6 1/12 1/12 P inXik k C pk(1p)1k,k0,1,n第五章基本极限定理1（3）E X)p ，D X)p (1p)，n1 1、 122、2 3、,222 E S)p(1p 。2、样本均值：x13.42(mm )4、设 X 表示晚间同时去图书馆上自习的人数，P 650X7500.916 。样本方差：s 20.01221( mm 2)5、设

11、n表示掷 n 次铜币正面出现的次数，则B 20.01215( mm 2)。P 0.4n0.60.9n2503、 (1)n40；（ 2）n1537；（3）n255；n4、 证：略 5、 0.9544 6、 0.6826 7、（1） 0.5436 。（2） 0.98169 。8、（1） 0.18026、 (1)E X)p D X)p(1p)n(2)2 E S)p (1p)（2）最多只能有443 个9、 0.7062 10、（1） 0.0003 。（2）0.5 7、提示：UXn11XN(0,1)n2n11、因X 服从参数为的指数分布 ,故 : nnn2(n1) S22(n1)lim nPi1Xii1

12、E X i)i1D Xi)x 2n8、（1）2(2 n ，（2）2( )1，（ 3）Fn ,n，lim nP(i1Xin)nx( ) x . 第六章样本及抽样分布（4）t(n)，（5）(t2)9、C,A ,D1、 （ 1）10、110.932,262.082P X1x X2x 1,Xnx n11、2.706n2nnpi1x i(1p )ni1x i。12、a1,b1;2（4）258.1,3985.6 。9、(1) -0.3545, 2.5545 (2) 0.1767, 1.6136 20100*13 、 （1）fZ( )2 2 nzn1,0z10,其它10、（1）的极大似然估计量为（2）P m

13、inX1,X2,X 101 2?minX1,X2,Xn。P X11,X21,X101 2?minX1,X2,Xn的概率密度函数为22fZ( )nen z) ,z第七章 参数估计0,z1、?x1147? 2s27578.9 。E( ) ?1E (1?)n2、 (1) ?32X?5（2）的矩估计量为2?X1。8E(2?)E X1)E X) 1，(2) L( )25(1)3?58（3）3、（1) ? 1/ XD(? 2)D X1)D X)1D X)1nn(2) ?n/nXi1/XD(? 1)1n2i1当n1时，D(? 1)D(? 2)，故1?比2? 有效。4、? 21inX2,无偏估计1i11、 证

14、略，3?u 是 u 的最有效估计量. n12、 证略，an 1n 1n2,bn 1n2n25、 443.5,448.5 。6、 68.2,71.8 。7、 12.49,118.34 。第八章 假设检验8、（1?x1(221191245)2201、按题意，要检验的假设是H0:32.0，H1:32.0。6（2）? 2s2662.4 。因为21.21 已知，所以选取统计量（3） 193.0,247.0 。UX/0N(0,1)落入拒绝域，故拒绝原假设。即可以认为这批新摩托车的平均寿命有显著提高。n3、2 未知时，对的假设检验拒绝域为：Wuu 12所选用的统计量为TX/0t n1)当0.05时，Snu

15、12u 0.9751.96，拒绝域为：Wtt 12( n1)故拒绝域为Wu1.96当0.05 时，计算样本均值t 12(n1)t 0.975(19)2.093，x1 (32.6 630.031.6)31.6故拒绝域为Wt2.093统计量的观测值为ux/031.6 32.060.89样本均值x0.6605，样本均方差s0.0925于是统计量的观测值为n1.1tx/00.6605 0.618202.055没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为 32.0 。2、 按题意，要检验的假设是sn0.0925没有落入拒绝域， 故在显著性水平0.05 下接受原假设0.618 。H0:10，H1:10。4、（

16、1）按题意，要检验的假设是因为22 0.1 已知，所以选取统计量H0:30，H1:30。UX/0N(0,1)这是2 未知时，对的假设检验n所选用的统计量为TX/0t n1)拒绝域为：Wuu 1Sn当0.05时，拒绝域为：Wtt 12( n1)u 1u 0.951.645，当0.05 时，故拒绝域为Wu1.645t 12(n1)t 0.975(6)2.447，统计量的观测值为故拒绝域为Wt2.447ux/010.1 1052.24n0.1样本均值x29，样本方差2 s3于是统计量的观测值为给数据分别计算两批电子元件电阻的样本均2 2，tx029 3071.528值与样本方差的观测值，得s /n3

17、x0.1405()，s 1 27.5 106(2)；没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为y0.1385()，2 s 26 7.1 10 (2)。30 。（1）按题意，要检验的假设是（2）按题意，要检验的假设是H0:22，H1:22。H0:24，H1:24。1212这是未知时，对2 的假设检验因为1，2均未知，所以选取统计量所选用的统计量FS 1 2F n 11, n 21)2 S 22( n1) S 22( n1)拒绝域为：WFF( n 11, n 21)or202拒绝域为：W22( n1)orFF 12(n 11,n 21) 2222(n1)当0.05 时，1F 12(n 11, n 2

18、1)F 0.975(5,5)7.15当0.05时，212(n1)20.975(6)14.449F2(n 11, n 21)F 0.025 (5,5)12( n1)2 0.025 (6) 1.237F 0.975 (5,5)2故拒绝域为1 7.150.140W214.449or21.237故拒绝域为WF7.15or F0.14统计量的观测值为2(n2 1) S6 34.5统计量的观测值为F2 s 17.5 1061.06240没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为2 s 27.1 10624 。没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为两批电子元件电阻的方差无显著差异。5、 设第一批电子元件的电

19、阻XN(1,2)，（2）按题意，要检验的假设是1H0:22，H1:22。第二批电子元件的电阻YN(2,2)。由已12122因为2 1，2 2均未知，由（ 1）的结论知21所以选取统计量1)A 电池A损坏 ，B 电池B损坏 ，T(n 1XY2 1) S 2n n n 1n 2C电池 C 损坏 ；2 1) S 1(n 2n 1n 21)（1）P(D)P(ABC)1P(ABC )1P(ABC)t n 1n 22)拒绝域为：Wtt 12( n 1n 22)1P (A ) P (B )P ( C)0. 552当0.05时，(2) P(D)P(A(BC)t 12(n 1n 22)t0.975(10)2.2

20、3，P(A)P(BC)P (ABC)故拒绝域为Wt2.23P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)统计量的观测值为0. 328t(n 1xyn 22 1) s 2n n n 1n 2四、（本题满分12 分）2 1) s 1(n 1n2解：（1）1000fx dx1，1000k dx x1，0.140560.1385331.34从而k5 (7.5 106 7.1 10 )(2)当x1000时，F x ( )0，没有落入拒绝域，故接受原假设。即可以认为两批电子元件电阻的均值无显著差异。当x1000时，故接受原假设。 即可以认为两批电子元件电阻的方差无显著差异。概率统计模拟题一一、 单项选择

21、题（本题满分 15 分，每题 3 分）1、 B；2、A；3、D；4、D； 5、C 二、 填空题（本题满分 15 分，每空 3 分）1、 4/7 ；2、0.1 ；3、fY( )1 yfln(y/ 3)y0；0y0 x 1000 1000F x ( ) 1000 t 2 dt 1x(3) 设随机变量 Y 表示任取 5 只中寿命大于1500 小 时 的 电 子 管 的 只 数 。 又 设 事 件A 电子管寿命大于 1500 小时 。令 p P A ，则所求概率归结为计算服从二项 分 布 的 随 机 变 量 Y 2 的 概 率 ：5k k 5 kP ( Y 2 ) 5 C p q。k 2如能求出 p

22、，即可求得上面的概率。p P A ) P (1500 X )4、 2(2)1 ；5、 0.2542, 1.2542故1500f x dx1000dx2 31)1500 x2三、（本题满分12 分）P Y2)1P Y0)P Y解：设 D 电路不能正常工作，1C0(230 ) (13)51 C 5(231 ) (13)4e 21dx ,0ye2,5121(13)510(13)523211dx ,e2y1,、y24312五、（本题满分14 分）0,其它解：（1）区域 D 的面积S De21dxlnxe 221 ( e 221),0ye21x1D,11,e2y1y 2y20,其它y=1/x 因f x

23、y ( , )fX( )f Y( ) y ，所以X Y 不独D 立. 0 1 2 ex （3）P XY2)(X Y 的概率密度为1P XY2)1f x y dxdyf x y ( , )1 , 2( , )xy21111130.75. 22440 ,其它.六、（本题满分12 分）（2）fX( )f x y dy解：(1) 因为EXxf x dxxe(x)dx11dy ,1x2 e,x0( tt ) e dt1020,其它.令EXX，得?X1是的矩估计量。1 , 2 x1x2 e,E X1)E X)10 ,其它.(2) 作似然函数Yf(y)f(x,y d xL( )in1e(x i)x i0其它

24、n22(n1)2(3)7.815取对数得lnL( )xin10.95i12 040/4107 .815,落在拒绝域内，求导得dlnL( )dn故拒绝原假设H0，即不能认为测定值的方所以似然函数关于是单调递增函数，要使似然函数取最大值，只能在其参数空间中取最差不超过 4。大，故?minix是的极大似然估计量。八、（本题满分8 分）解：设预备组织货源y 吨，国家收入为 Y 万元，七、（本题满分12 分）解：由样本得X1267，国际市场的需求量为X 吨，则Y3X3 yX)yX, S1i41(XiX)240/33 . 65. (yyX3令Yg X)(1) 要检验的假设为H0:1260,H1:1260E

25、 Y)g x f x dx4000g x ( )1dx20002000检验用的统计量y1(3xyx dx40001(3 ) y dxTX/0t(n)1，20002000y20001y27000y4 106Sn1000拒绝域为所以当y3500时, E Y 取到最大值。Tt12(n1)t0.975(3)3.1824。概率统计模拟题二T 01267/12603. 8363 .1824，落在一、填空题 （本题满分15 分，每小题3 分）3. 6541、0.3 ；2、012；3、2； 4 、1 4；拒绝域内，故拒绝原假设H0，即不能认为结0.30.50.2果符合公布的数字12600C。45、 4.775

26、,5.225 ；(2) 要检验的假设为二、单项选择题（满分 15 分，每小题3 分）H0:24 ,H1:21、 D；2、 A；3、C；4、B；5、B 检验用的统计量2(n2 1) S2，三、（本题满分12 分）解： 设 A “ 被调查的客户信用确实可靠”，拒绝域为0B “ 被调查的客户被评为信用可靠”，由题设知P A ( )0.95, ( )0.05,五、（本题满分10 分）解：（1）由于误差X 服从均匀分布 , 因此只要P B A )0.05, ( P B A )0.03,确定误差X 的取值区间, 就可以得到它的概P B A )1P B A )0.97,率密度函数f x 。P B A )1P

27、 B A )0.95.当小数点后第三位数字小于等于4 时, 要问题（ 1）要求P B ，由全概率公式，有舍去 , 这时产生的误差X0.005; 当小数点后第三位数字大于等于5 时 , 要入 , 这时产生P B)P B A P A )P B A P A )的误差X0.005. 这说明误差X 的取值区0.95 0.050.05 0.97间为 ( 0.005, 0.005, 所以误差X 的概率密0.096度函数为问题（ 2）要求 P A B ，由贝叶斯公式，有P B A P A ( )P A B )P B A P A ( ) P B A P A )0.95 0.950.95 0.95 0.05 0.

28、030.998.四、（本题满分 14 分）f x ( )100, 0,x( 0.005,0.0050其它（2）E x ( )xf x dx0.005100 xdx0.005六、（本题满分10 分）解 ： 将 两 封 信 投 到 3 个 信 箱 的 总 投 法n329，而 X 和 Y 的可能取值均为0,1,2解：由6。0.784于是1p x dx1kx (1x dxP X0,Y0)=1，09k1 0(xx2)dxk/ 6得kP X0,Y1)1 1=C 2 C 192，9因此密度函数为P X0,Y2)=P X2,Y0)1 = 9。f x ( )6 (1x )0 x1, 同理可得0其它x dxP X

29、1, Y0) =2;P X1, Y1) =2;99所以P X1, Y2) = P X2, Y1) = P X2, Y2) =0P X0.30.3f x dx16 (10.3故 (X Y 的联合分布律及边缘分布律为分布函数为0,x0 XY0 1 2 ipF x ( )3x223 x,0 x11,x10 1/9 2/9 1/9 4/9 1 2/9 2/9 0 4/9 则txSn12512460.976, 2.712 1/9 0 0 1/9 且拒绝域为Wt t1.943, pj4/9 4/9 1/9 1 则 t 的值不在拒绝域内, 所以接受原假设, 即这块土地的面积显著为2 124m 是成立的。七、

30、（本题满分12 分）概率统计模拟题三解：E X)xf x ( ;)dx1(1)x1 dx1, 一、填空题 （本题满分15 分，每小题3 分）01、0.18 ；2、0.8 ； 3 、2；4、 6；5、2 2而样本的一阶原点矩为X1in1Xi, 二、单项选择题（本题满分15 分，每小题3n分）2、 D；2、 A；3、C；4、B；5、A 由矩估计得1X, 三、（本题满分12 分）2解：设 A中靶；所以12XX1B 1取出的枪较正过；似然函数为L( )(n 1)x x 2x n, 0 x i1, B 2取出的枪未较正过0,其它取对数似然函数 n2（1）P A )i1P B P A B i)lnL()nln(1)lnx, i=0.85+0.3349则有dlnLn