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1、第二节 留 数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考2一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线30(高阶导数公式)0 (柯西-古萨基本定理)4定义 记作的一个孤立奇点, 则沿内包含的任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除后所得的数称为以如果5二、利用留数求积分说明:2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理在区域 D内除有限个孤外处处解析, C 是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 那末立奇点函数6证证毕两边同时除以 且.如图72.留数的计算方法(1)

2、如果为的可去奇点, 如果 为 的一级极点, 那末规则1成洛朗级数求(2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则展开则需将8如果 为 的 级极点, 规则2证那末9+(含有 正幂的项)两边求阶导数, 证毕得10规则3 如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点, 且有11解析且在因此其中 在 解析且为 的一级极点,12三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作1.定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，13.证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在 2.定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立

3、奇点, 那末在所有各奇点 (包括 点)的留数的总和必等于零.证毕14说明: 由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)153.在无穷远点处留数的计算规则4说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.16现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周 :于是有证17内除在外无其他奇点 .证毕18四、典型例题例1 求在的留数.解19例2 求在的留数.分析是的三级零点由规则3得计算较麻烦.20如果利用洛朗展开式求较方便:解21说明: 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时

4、, 可直接展开洛朗级数求来计算留数 .2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取22例3 求在的留数.解 是的四级极点.在内将展成洛朗级数:23例4 计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,2425例5 计算积分C为正向圆周:函数在的外部, 除点外没有其他奇点. 解 根据定理 2与规则4: 26与以下解法作比较 :被积函数有四个一级极点都在圆周的内部 , 所以由规则3 27可见, 利用无穷远点的留数更简单.例6 计算积分C为正向圆周 :解 除被积函数点外, 其他奇点为28由于与1在C的内部, 则所以29五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理. 应重点

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