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1、第 PAGE4 页 共 NUMPAGES4 页大学复变函数课件第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式 双边幂级数 设级数 （）它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；考虑函数项级数 （）作代换 则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数， 从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域， 此时，称为双边幂级数。关于双边幂级数的性质，见p185 定理 定理1 （洛朗定理）设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内 其中， 是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式 ，其中 现考虑 而沿，（在上

2、一致收敛）由于函数沿有界，所以 故当：，其中 展式的唯一性：设 任意取某正整数，在上有界， ，故，展式唯一。注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。例1、 求函数分别在圆环10或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此 （1）如果当时n=1,2,3,，那么是f(z)的可去奇点。（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，而当nm时，那么我们称是f(z)的m阶极点。（3）如果有无限个整数n0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇

3、点。注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。推论 设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。第四节 整函数与亚纯函数 1整函数的分类 如果f(z)在有限复平面C上解析， 则 那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：定理1 设为整函数 为的可去奇点（常数）；为的阶极点 即次多项式；为的本性奇点无穷多个不等于（此时称为超越整函数）例如：；2亚纯函数的定义与性质 如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如是一个亚纯函数，它有极点。有理函数 也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当nm时）

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