2022年东城区高三毕业班一模理数试题及答案 2

1、北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、本大题共8 小题，每小题第卷 （选择题共 40 分）5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若 a ， bR ， i 是虚数单位，且2a( b2)i1i，则 ab 的值为,2” 的，则“（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4（2）若集合A0,m2，B1,m1” 是“AB0,1（A）充

2、分不必要条件（ B）必要不充分条件（C）充分必要条件yx1,（3）若实数 x ， y 满足不等式组1yx2,则zx2y的最小值为（A ）7（B）2y0,（C）1（D）5212（4）右图给出的是计算11.1的一个程序框图，2468100其中判断框内应填入的条件是（A）i 50（B）i 50（C）i 25（ D）i 25（5）某小区有排成一排的 7 个车位， 现有 3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（A）16 （B）18 （C） 24 （D）32 （6）已知 x ， y ， z R ，若 1， x ， y ， z ，3 成等比数列，则 xyz的

3、值为（A）3（B）3（C）3 3（D）3 3（7）在直角梯形 ABCD 中，已知 BCAD ， AB AD ，AB 4，BC 2，AD 4，若 P 为 CD 的uuur uuur 中点，则 PA PB的值为x0,（C） 4x（D） 5（B）4（ A）5（8）已知函数f x ( )2x1,若方程f( )a 有且只有两个不相等的实数f x1),x0.根，则实数 a 的取值范围是（A）,1（B）,1（C） 0,1（D） 0,第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。2 的距离为乙（9）命题“x0(0,2), tanx0sinx ” 的否定是 . （10）在极坐标

4、系中，圆2 的圆心到直线cossin（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；甲若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数5 4 5 5 10 7 9后，两组数据的平均数中较大的一组是组84 4 6 4 7m 9 3（12）如图， AB 是 O 的直径，直线DE 切 O 于点 D ，且与 AB 延长线交于点 C ，若CD3 ，CB1，则ADE = ED（13）抛物线y2x 的准线方程为；经过此抛物线的焦点是和点M(1,1)，且AOBC与准线相切的圆共有个（14）如图，在边长为 3的正方形 ABCD 中，点 M 在 AD 上，正方形 ABCD 以 AD 为轴逆时针旋转 角 (0

5、) 到 ABC D 的位置，同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动3到点 D ，uuuurMN 1 uuuurDC 1，点 Q 在 MN 上，在运动过程中点 Q 始终满足 uuuurQM 1，cosuuuur uuuur记点 Q 在面 ABCD 上的射影为 Q ，则在运动过程中向量 BQ 0 与 BM 夹角 的 N1C 1正切的最大值为. B 1QAMDQ 0BC三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1（15）（本小题共13 分）已知函数f x ( )(sin2xcos2 )22 2sin 2 x .（）求f x 的最小正周期；（）若函数yg x

6、的图象是由yf x 的图象向右平移8个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，当x 0 ,4时，求yg x 的最大值和最小值.（16）（本小题共13 分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%. 生产 1件甲产品，若是一等品，则获利 4万元，若是二等品，则亏损 1万元；生产 1件乙产品，若是一等品，则获利 损 2 万元 . 两种产品生产的质量相互独立 . 6 万元，若是二等品，则亏（）设生产 1件甲产品和 1件乙产品可获得的总利润为 X （单位：万元） ，求 X 的分布列；（）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于

7、 10万元的概率 . （17）（本小题共 13 分）如图 1，在边长为 3的正三角形 ABC 中， E ， F ， P 分别为 AB ， AC ， BC 上的点，且满足 AE FC CP 1 . 将AEF 沿 EF 折起到A EF 的位置，使二面角1A EF B 成直二面角，连结 A B ，1A P . （如图 2）（）求证：A1 E平面 BEP ；（）求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小 .AEFA1EFBPCB(x0PCx22e x2 3e lnxb 在图 2 图 1 (18) （本小题共14 分）已知函数f x ( )1,0)处的切线斜率为零2（）求x 和 b的值；f( )

8、 x 0恒成立；m2e，求实数 a 的取值范围 . （）求证：在定义域内( )a有最小值 m ，且( ) 若函数F x ( )fx（19）（本小题共 13分）已知椭圆 C ：x2y21ab0的离心率是1，其左、右顶点分别为A ，A ，a2b22B 为短轴的端点，A BA 的面积为 2 3 （）求椭圆 C 的方程；（）F 为椭圆 C 的右焦点， 若点 P 是椭圆 C 上异于 A ，A 的任意一点， 直线 A P ，A P与直线 x 4 分别交于 M ，N 两点，证明：以 MN 为直径的圆与直线 PF 相切于点 F （20）（本小题共 14 分）S n若对于正整数gk ,g k ( )表示 k 的

9、最大奇数因数，例如g(3)3，g(10)5. 设g(1)g(2)(3)g(4)Lgn (2 )（）求 g (6) , g (20) 的值；（）求 S ，S ，S 的值；（）求数列 S n 的通项公式北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准（理科）乙一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分）（4）B （1）D（2）A（3）A （5）C（6） C（7）D（8）A二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）（11）84 （9）x(0,2), tanxsinx（ 10）2（12） 60o（ 13）x12（14）64123 分

10、注：两个空的填空题第一个空填对得2 分，第二个空填对得三、解答题（本大题共6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）因为f x ( )(sin 2xcos2 )22sin22xsin 4 xcos4x2 sin(4x4) , 6 分2所以函数yf x 的最小正周期为x8) 8 分. （）依题意 ,g x ( )2 sin 4(4142 sin(4x4)1. 为0 10 分最小以因x4，所3. 4 x4 11 分40 .当 4x442，即x3时，g x 取最大值21；值16当4xx0时，g x ( )取4，即 13 分（16）（共 13 分）解： （）由题设知，X的可能取值为10，

11、5，2，3. P X10)0.8 0.95)0.2， 2 分0.90.180.72，P XP X2)0.80.10.08P X3)0.20.10.02. 6 分由此得 X 的分布列为：X105230.720.180.02P0.08 8 分（）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n 件. 或APFC由题设知 4 n(4n)10，解得n14，5又nN 且n4，得n3，n4. 10 分所求概率为PC30.830.20.840.8192. （或写成512 625）4答 ： 生 产 4 件 甲 产 品 所 获 得 的 利 润 不 少 于 10 万 元 的 概 率 为0.8192. 13 分E

12、DB（17）（共 13 分）（）证明：取BE中点D，连结DF.平面角. 因为AECF1，DE1，所以AFAD2，而A60o ，即ADF是正三角形 .又因为AEED1 , 所以 EFAD . 2 分所以在图2 中有A EEF ， BEEF . 3 分所以A EB为二面角A1EFB的图 1又二面角 A 1 EF B 为直二面角，所以 A E BE . 5 分又因为 BE I EF E ,所以 A E 平面 BEF ,即 A E 平面 BEP . 6分（）解：由（）可知A E 平面 BEP ， BEEF ，如图，以 E 为原点，建立空间直，PFCy角坐标系 Exyz ，则E(0 , 0 , 0)，A

13、 1(0 , 0 ,1)，B(2 , 0 , 0)，F(0,3 , 0). z在图中，连结DP.A1因为CFCP1，EFAPB2所以 PF BE ，且 PF 1BE2所以四边形 EFPD 为平行四边形 . DE .xB所以 EF DP ，且 EFDP .故点 P 的坐标为（ 1，3 ，0）. 图 2所以uuuur A B(2 , 0 ,1)，uuur BP( 1, 3,0)uuuur EA 1(0 , 0 ,1). 8 分不妨设平面A BP 的法向量n( , x y z , )，则uuuur A Buuur BPn0,n0.n(3 ,即. 2xzy0,令y3，小得x30.3 , 6) 10 分

14、|nuuuur EA 1 uuuuur | EA 1 |163. 所成 12 分以所cosn,uuur EA 1n4 32为故角的大直线A E与平面A BP3. 13 分（18）（共 14 分）（） 解：f( )x2e3e2. x2 分由 题 意 有f(x0)0即x 02e2 3e0， 解 得x 0e或x 03e（ 舍x 0去） 4 分0，解得得f(e)0即1 e 222 2e2 3e ln ebb1 e 22 5 分0)，（）证明：由（）知f( )1x22ex2 3e lnxe2(x22f( )x2e2 3e(xe)(x3e)(x0)xxf( )0值是在区间 (0,e) 上，有f( )0；在

15、区间 (e,) 上，有故f( ) x 在 (0,e) 单调递减，在(e,) 单调递增，的最小于是函数f x ( )在(0,)上f(e)0 9 分故当x0 xa时，有f x 0 x恒a成立ax 10 分2e，当且仅当3e 22 3e2e(x0)( ) 解：F x ( )f( )xx当a2 3e时，则a2 3e2e2a2 3eF x ( )x时等号成立，意；故aF x ( )的最小值m2a3e 22e2e，符合题当 13 分2e在区间 (0,) 上是增函数，不存在最小值，不2 3e时，函数F x ( )x合题意；当a2 3e时，函数F x ( )xa2 3e2e在区间 (0,) 上是增函数，不存在

16、最x小值，不合题意2 (3e ,综上，实数a的取值范围是) 14 分（19）（共 13 分）（所）求解：由已知c a1 , 2 2 分ab2 3,得，a22 bc2.a2解b3 4 分椭为故圆方程2 xy21y 0A 12,0，A 22,0 5 分43，F 21,0（）证明：由（）知设P x 0,x 02，则32 x 04y2120于是直线A P 方程为yx 0y 02x2，令x4，得yM6y 02；理圆则以x0所以M(4,6y 02)，同x0N(4,2y0) 7 分x 02所以uuuur F M( 3,6y 02) ，uuuur F N( 3,2y02) . x 0 x 0所以uuuur u

17、uuur F M F N 2 2( 3,6y02)( 3,2y0)x 0 x 0296y 022y 02x 0 x 09122 y 093 1232 x 02 x 04x2 04992 x 049902 x 04所以F MF N，点F2在以MN为直径的上 9 分设MN的中点为E，E(4,4y 0(x041) 10 分x02又uuuur F E(3,4y 0(x041) ，uuuur F Px 01,y 0,x02所以uuuur uuuur F E F P 2 2(3,4y 0(x041)x 01,y 03x 0142 y 0 x 041x 022 x 03x01123x2x013x 013x 01002 x 04所F EF P 12 分点因为F E 是以 MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，F EF P ，切于右焦故以MN为直径的圆与直线PF2相 13 分（20）（共 14 分）解：（11113）6；g(6)3315，7122g(20)5 2 分g(1)g(2)2；（）S 11S 2g(1)g(2)g(3)g(4)S 3g(1)g(2)g(3)g(4)g(5)g(6)g(7)g(8)1 13 6 分g(2( ) 由（）（）不难发现对mN ，有g(4)L