综合实验数值计算

1、-. z.数学与统计学院数学综合实验报告班 级：2013级数学三班姓 名：康萍-. z.数 值 计 算实验目的本实验通过介绍Mathmatca的数值计算功能，它的特点是准确计算与数值计算相结合，能够通过可选参数提高计算精度，学习包括数据的拟合及插值、数值积分与方程的近似解、极值问题、最优化与数理统计方面的内容。二、实验环境 基于Windows环境下的Mathematica7.0软件与Mathematica9.0软件。实验的根本理论和方法Mathmatica提供了进展数据拟合的函数：Fitdata,funs,vars 对数据data 用最小二乘法求函数表funs中各函数的一个线性组合作为所求的近

2、似解析式，其中vars是自变量或自变量的表。Fitdata, 求形如的近似函数式。Fitdata, 求形如的近似函数式。Fitdata, 求形如的近似函数式。函数InterpolatingPolynomial求一个多项式，使给定的数据是准确的函数值，其调用格式如下： InterpolatingPolynomial,* 当自变量为1，2，时的函数值为。InterpolatingPolynomial,* 当自变量为时的函数值为InterpolatingPolynomial,* 规定点处的函数值。求定积分的数值解有两种方法：使用NIntegratef,*,a,b,n或使用NIntegratef,*,

3、a,b前者首先试图求符号然后再求近似解，后者使用数值积分的直接求近似解。终究选用哪一个，这需要首先了解两者各自的特点。前者首先试图求符号解，当然花费更多的时间，但平安可靠。后者使用数值积分的直接求近似解，节约运行时间，但可靠性就差了。NIntegratef,是标准形式而且允许积分区间端点是奇异点。如果积分区间内部有奇异点，积分区间内部的奇异点不能被识别，需要明确指出：NIntegratef,其中是奇异点。NIntegrate有控制计算精度的可选参数：WorkingPrecision 内部近似计算使用的数字位数默认值为16，等于系统变量SMachinePrecision的值。AccuracyGo

4、al 计算结果的绝对误差默认值为Infinity。PrecisionGoal计算结果的相对误差默认值为Automatic一般比WorkingPrecision的值小10。这3个参数都可以缺省或重新设置，后两个值之一可以为Infinity，表示使用该参数，只使用另一个，一般第一个应该大于后两个。Ma*Points 计算时选取的被积函数的最大样本数默认值为Automatic。Ma*Recursion 积分区域递归子划分的最大个数默认值为6。MinRecursion 积分区域递归子划分的最小个数默认值为0。SingularityDepth 积分区间端点处变量变化前使用的递归子划分个数默认值为4。求数

5、值的和、积的函数NSumf,i,imin,ima*,di 求通项为f的和的近似值。NProductf, i,imin,ima*,di 求通项为f的积的近似值。函数Nsolve用于求代数方程组的全部近似解，其调用格式如下：Nsolveeqns,vars,n 其中可选参数n表示结果有n位的精度。能解类型广泛的方程组的是FindRoot，大多数情况下它使用牛顿迭代法，无法求出符号导数时用正割法，其调用格式如下：FindRooteqn,*, 从出发求未知量*的方程eqn的一个解。FindRooteqn,*, ,*,min,*ma* 如果超出区间*min,*ma*则停顿寻找。FindRooteqn,*,

6、， 当方程无法求出符号导数时必须给出两个初值，。FindRooteqn1，eqn2,*, 求方程组的一个解。如果在参数中出现复数，则求复数解。方程的标准形式为方程的右边为0，这时可以输入方程左边的表达式，等号与0都可以省略。函数FindMinimum寻找一个函数的极小值点，其调用格式如下：FindMinimum 从出发求未知量*的函数f的一个极小值点和极小值。FindMinimum 当函数无法自动求出符号函数时，必须给出两个初值。FindMinimum 求多元函数的一个极小值点和一个极小值。 ConstrainedMinf,ineqns,*,y, 在不等式约束的区域上求多元线性函数的最小值。C

7、onstrainedMa*f,ineqns,*,y, 求最大值。其中约定的所有自变量都非负，不等式可以使用各种不等号和等号。如果系数都是整数或分数，则答案也是整数或分数。8、SampleRangedata 求表data中数据的极差最大值减最小值。 Mediandata 求中值。 Meandata 求平均值。Variancedata 求方差无偏估计。 StandardDeviationdata 求标准差无偏估计。 VarianceMLEdata 求方差。StandardDeviationMLEdata 求标准差无偏估计。 CentralMomentdata,k 求k阶中心矩。 BinomialD

8、istributionp Bernoulli分布。BinomialDistributionn,p 二项分布。GeometricDistributionp 几何分布。HypergeometricDistributionn,M,N 超几何分布。PoissonDistribution Poisson分布。NormalDistribution 正态分布。ChiSquareDistributionn 分布。UniformDistributionmin,ma* 均匀分布。E*ponentialDistribution 指数分布。StudentTDDistributionn t分布。FRatioDistri

9、bution F分布。GammaDistibution 分布。9、MeanCIdata,KnowVarianceVar 方差Var,由数据表data求总体数学期望的置信区间基于正态分布。MeanCIdata 由数据表data求总体数学期望的置信区间方差未知，基于t分布。10、MeanTestdata,KnownVarianceVar 方差Var，由数据表data检验总体数学期望，求出P值。 MeanTestdata, 方差未知，由数据表检验总体数学期望，求出P值。四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析实验一 数据拟合与插值实验1 数据拟合1.1、实验内容：一组数据19.1，76.3、25，

10、77.8、30.1，79.25、36，80.8、40，82.35、45.1，83.9、50，85.1，求其函数解析式,并绘制出图形。1.2实验步骤在Mathematica中输入语句如下1.3实验结果1.4结果分析这组数据的近似函数解析式为y=70.5723 +0.291456 *，通过使用一次函数得到了很理想的拟合。2.1 实验内容：0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4,5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627，求其函数解析式,并绘制出图形。2.2实验步骤在Mathemati

11、ca中输入语句如下：2.3实验结果2.4结果分析这组数据的近似函数解析式为y= 5.30661 -1.83196 *+8.17149 *2，通过使用二次函数得到了很理想的拟合。3.1实验内容：数据表*0.000.150.310.500.600.75y1.001.0041.0311.1171.2231.422求4次拟合多项式，并绘图进展比拟。3.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下3.3、实验结果：3.4、结果分析 拟合多项式为1.02587 -7.53296 *+65.6478 *2-162.547 *3+119.015 *44.1实验内容：二元拟合4.2 实验步骤：在Math

12、ematica中输入语句如下：4.3实验结果：4.4 结果分析 首先生成二元函数,的一个数据表，然好由这些数据反过来求二元函数。说明Fit函数可以求解多元问题。使用函数Chop去掉系数很小的项，以此消除误差。5.1 实验内容：使用初等函数的组合进展拟合5.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下：5.3 实验结果：5.4 结果分析：在进展数据拟合时，第二个参数使用了几个初等函数，说明可以任意选用函数组成函数表。实验2 插值法构造近似函数1.1 实验内容：由条件求多项式1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3 实验结果：1.4 结果分析： 输出结果说明，所得答案

13、是准确结果，而不是近似函数，ln30是给出当*=1时的函数值和一、二阶导数值，由3个条件得到一个二次多项式。2.1 实验内容：生成插值函数及其多项式2.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下2.3 实验结果：2.4 结果分析：其中插值函数f的定义域是19.1，50，由图形可以看出，给定的数据点在函数曲线上。3.1实验内容：*=0,2,3,5,6时的函数值为y=1,3,2,5,6.求插值多项式并绘图。3.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下：3.3 实验结果3.4 结果分析 插值多项式为1+(1+(-(2/3)+(3/10-11/120 (-5+*) (-3+*)

14、(-2+*) *。4.1 实验内容：生成插值函数及其多项式。4.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下：4.3 实验结果4.4 结果分析：以上生成插值函数时，因为数据太少，因此设置插值多项式的次数为2，其中f1与f2的区别是，后者的自变量取默认值。通过实验说明了给定数据与对应关系，同时说明点处的近似函数值等于给定的值。5.1 实验内容：生成插值函数及其多项式。5.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下5.3 实验结果：5.4 结果分析先生成一个二元近似函数，再使用FunctionInterpolation由复合函数生成一个新的近似函数，用以简化复合函数的计算过程，同

15、时绘制出复合函数与它的近似函数图形，图象显示两者相差不大。实验二 数值积分与方程的近似解实验1 数值积分1.1 实验内容：有奇异点的积分1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3实验结果：1.4结果分析：被积函数在*=0时分母为0，*=0是奇异点。如果给出的点不是奇异点，也不影响计算结果。2.1实验内容：可选参数比拟2.2实验步骤：在Mathematica中输入语句如下2.3实验结果：2.4结果分析：虽然ln6说明可以设置很高的精度参数，但显然不如使用ln5简便。3.1实验内容：可选参数比拟3.2实验步骤：在Mathematica中输入语句如下3.3 实验结果：3.4 结果

16、分析：被积函数在*=0附近变化剧烈，使用Ma*Recursion的默认值6不行，在ln1中设置它的值为10后解决。第二种解决问题的方法是插入分点，将积分区间分成三段，如ln2所示。4.1 实验内容：求数值的和与积4.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下4.3 实验结果：4.4 结果分析：如果能求准确值，应当首先求准确值再用N求近似值，这样得到的结果精度比直接用NSum的高。实验2 方程组的近似值1.1 实验内容：有奇异点的积分1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3 实验结果：1.5 结果分析：52+1=0的解为*=1.00.方程组2+2=1,3=0的解为

17、*=0.826031,y=0.563624。2.1 实验内容：解方程组2.2实验步骤：在Mathematica中输入语句如下2.3 实验结果：2.4 结果分析：ln9和ln10说明，取不同的初值可能得到不同的解。Ln11是解方程组，已经不是代数方程了。Ln12求指定区间内的解失败，仍输出一个结果，但不是解。Ln13是给出两个初值的例子，此例如果仅给一个初值则失败。实验三 极值问题实验1 极值问题1.1 实验内容：求函数的极小值。1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3 实验结果：1.4 结果分析：ln20是求函数的极大值点，因为没有求极大值的函数，改求-f的极小值。Ln2

18、1是求多元函数的极小值。实验2 线性规化1.1 实验内容：多元线性规划。1.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3 实验结果：1.4 结果分析：ln27说明即使不等式使用严格不等式号，答案仍取在边界上。在ln28中系数使用小数，则答案也是小数形式的。Ln29说明可以使用等号，但必须键入= =。2.1 实验内容：非正常的多元线性规划。2.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下2.3 实验结果：2.4 结果分析Ln1实质上有无穷多个解，但没有警告信息。Ln2无解，返回结果是原来的输入式。Ln3区域无界，没有最大值，如果在无界区域上有最大最小值，还是能求出来的。3.

19、1 实验内容：自变量和约束不等式较多时的多元线性规划。2.2 实验步骤：在Mathematica中输入语句如下3.3 实验结果：3.4 结果分析Ln2有无穷多解，仍没有警告出现。Ln3无解。Ln1为正常情况，复杂的系数矩阵可以由数据文件读入。实验四 数理统计实验1 样本的数字特征1.1、实验内容：一元数理统计的根本计算。1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3、实验结果：1.4、结果分析：所给样本的样本容量为7，其中样本的最小值为3.8，最大值为6.6，中值为6，平均值为6.，方差无偏估计为0.962857，标准差无偏估计为0.981253.2.1、实验内容：求多元数理统

20、计的根本计算。2.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下2.3、实验结果2.4、结果分析：样本容量为4，中值为1.185，2.125，3.245，平均值为1.1925，2.14，3.125，方差为0.00755833，0.0200667，0.0137667，2阶中心矩为0.00566875，0.01505，0.010325，z的协方差为0.0093，y与z的相关系数为0.0521435，*的自相关系数为1.。实验2 常用分布的计算1.1、实验内容：二项分布的各种计算。1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3实验结果1.4、结果分析二项分布的均值为nb，方差为

21、 n(1-p)p,特征函数为。当二项分布中n=10,p=0.3时，点4处分布b的密度值为0.200121，点3.9处分布函数值为0.649611，点4处的分布函数值为0.849732，方差为2.1.2.1、实验内容：离散分布的例子。2.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下2.3、实验结果2.4、结果分析超几何分布n,M,N的均值为，方差为。参数为5的泊松分布在点2处的密度值为，点20处的密度值为。3.1、实验内容：1，求 。2，求3.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下3.3、实验结果3.4、结果分析1，24.1实验内容：绘制分布在n分别为1，5，15时的分布密

22、度函数图。4.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下4.3、实验结果4.4、结果分析：当参数为1时，函数图为蓝色分支；当参数为5时，函数图为红色分支；当参数为15时，函数图为黄色分支。可见，参数越大，图像越矮胖，参数越小，图像越高瘦。实验3 区间估计1.1、实验内容：*钢铁厂的铁水含炭量%服从正态分布，现测得5炉铁水的含炭量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37.如果标准差，求铁水平均含炭量的置信区间。1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3、实验结果根据所做程序，实验没有给出一个的正确的置信区间。1.4、结果分析本机所装Mathematic

23、a程序中没有相应的外部函数。实验4 回归分析1.1、实验内容：*食品厂使用自动裝罐机生产罐头，每罐标准质量是500g，标准差为10g，现抽取10罐，测的质量单位：g分别为495,510,505,498,503,492,502,512,497，506，假定罐头的质量服从正态分布，显著性水平为0.05，问装罐机工作是否正常？1.2、实验步骤：在Mathematica中输入语句如下1.3、实验结果根据所做程序，实验没有得出一个的正确的假设检验。1.4、结果分析 本机所装Mathematica程序中没有相应的外部函数。五、心得体会之前在数值分析、常微分方程、以及运筹学等课程中学习了很多关于数值计算方面的问题，但是之前一直都是笔算进展的。有时候问题特别复杂，或是题设特别多的时候，总给人一种无从下手的感觉，我们必须花费大