车道被占对城市道路通行能力影响的建模研究

1、车道被占对城市道路通行能力影响的建模研究 摘 要 随着我国经济的开展，城市私家车数目急剧增加，城市道路交通压力越来越大，车道被占，将导致通行能力的降低，因而研究车道被占对城市道路通行能力的影响具有十分重要的意义。 本文应用数据拟合、一元线性回归、多元线性回归、趋势面回归等多种建模方法建立了车道被占对城市道路通行能力影响的数学模型。 针对问题一：以每50秒作为一个时间单位，统计了通过事故横断面的车流量，利用实际通行能力计算公式计算出各个时段事故横断面的实际通行能力；用Excel软件绘出了视频一中实际通行能力随事故持续时间变化的趋势图，得出变化过程为：呈现出阻塞畅通阻塞的周期性变化；用Mathem

2、atica软件进展数据拟合得出实际通行能力随事故持续时间变化的拟合函数及图像。 针对问题二：绘出了视频二中实际通行能力随事故持续时间变化的趋势图，得出变化过程为：呈现出畅通阻塞畅通的周期性变化；结合两个视频的变化趋势图得出：同一横断面交通事故所占车道不同，对该横断面的实际通行能力的影响都为周期性变化，但占左边两个车道的变化周期为：阻塞畅通阻塞；占右边两个车道的变化周期为：畅通阻塞畅通。 针对问题三：根据视频一中的视频停断点的时刻，统计出这些时刻的路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的11组数据。进展多元线性回归分析，检验得出路段的上游车流量与路段车辆排队长

3、度近似呈线性关系，用SPSS软件给出了其线性回归模型；再对路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故的持续时间进展趋势面回归，用DPS软件给出了趋势面回归模型；最后把线性回归模型与趋势面回归模型综合得出路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的回归模型。 针对问题四：用一元线性回归对事故横断面实际通行能力、路段的上游车流量之间的关系进展分析，用SPSS软件得出了事故横断面实际通行能力、路段的上游车流量之间的回归模型，利用此回归模型给出了事故横断面实际通行能力；最后利用路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量之间的回归模型估

4、算出车辆排队长度到达上游路口的时间为379秒。 关键词：车道，事故，实际通行能力，数据拟合，线性回归，趋势面回归 1 一、问题重述 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供

5、理论依据。 视频1附件1和视频2附件2中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： 1.根据视频1附件1，描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 2.根据问题1所得结论，结合视频2附件2，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3.构建数学模型，分析视频1附件1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4.假设视频1附件1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时

6、车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开场，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 二、问题分析 此题是根据视频来提取有用的信息包括数据，我们尽可能的保证所统计的信息的误差在可承受的范围内。理解实际通行能力、横断面、标准车当量等专业概念。 针对问题一：对视频一我们以50秒为一个单位统计时间，统计该时段的车流量；然后转化为实际通行能力，画出实际通行能力随事故持续时间的变化趋势图，通过图形来反映变化过程。再做数据拟合得出变化过程的函数关系式。 针对问题二,画出视频二中实际通行能力随事故持续时间的变化趋势图，与视频一的变化趋势图作比照，分析影响的差异。 针对问题三，通过视频一

7、中画框和画面停断的时刻，统计出这些时刻的路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的数据组。通过线性和非线性回归来得出其中的函数关系。 针对问题四，先通过回归分析得出事故横断面实际通行能力与路段的上游车流量之间的关系，计算出该条件下的事故横断面实际通行能力。把数据代入模型三中估算出时间。 三、模型假设 1、我们从视频中所统计的数据真实合理，且误差在可承受范围内。 2、视频一中的缺失画面对此题的影响较小，根本可以忽略。 3、本文所有的检验置信度都为0.05。 2 四、符号说明 五、模型的建立与求解 一、数据的提取与统计 此题所给的视频一中发生交通事故的时间为16时

8、42 分32秒，事故撤离时间为17时9秒，交通事故发生至撤离的总时间为17分37秒，其中有一局部视频没有显示。没显示的视频我们理解为设备本身的故障或其它原因，不会影响我们统计视频中的数据。视频二中交通事故发生的时间为17时34分17秒，撤离时间为18时3分27秒，事故发生至撤离的总时间为29分10秒，整段视频都完整的显示。 根据视频一，我们统计出交通事故发生至撤离期间，横断面每隔50秒所通过的车辆数，再用各种车型的折算系数表一把车辆数转化为标准车当量数以小客车为标准车型，具体数据如下视频二的数据见附件： 3 表二：视频一车辆数转化表 把每50秒内通过事故横断面的标准车当量化为当量小时流率l，此

9、题所 给的车道宽度为3.25米，根据?公路通行能力手册?规定：我国的标准车道宽度为3.75米，当车道宽度小于3.75米时，车道宽度对流率的修正系数计算公式为： fw?1?0.1?W?3.75? ，其中 fw车道宽度修正系数； W1条行车道宽度，m。 ， 得到实际交通能力c的计算公式为：c?l?fw 计算得出，各时段的实际通行能力见附件。 二、模型的建立与求解 问题一： 在Excel中绘出视频一中事故所处横断面的实际通行能力与事故持续时间的散点趋势图如下： 4 图一：视频一事故持续时间与实际通行能力关系图 由图中可以分析出视频一中事故所处横断面的实际通行能力在事故发生至撤离期间的变化具有一定的周

10、期性，一个周期的变化为阻塞畅通阻塞。 对横断面的实际通行能力随事故持续的时间的变化做数据拟合，用Mathematica计算得出了拟合图像如下： 图二：横断面实际通行能力随事故持续的时间的变化关系图 拟合的函数关系式为： 问题二： 在Excel中画出视频二中事故所处横断面的实际通行能力与事故持续时间的散点趋势图如下： 5 图三：视频二事故持续时间与实际通行能力关系图 通过该图可以看出视频二中事故所处横断面的实际通行能力在事故发生至撤离期间的变化具有一定的周期性，得出变化过程为：呈现出畅通阻塞畅通的周期性变化 把视频(一)和视频(二)的事故所处横断面的实际通行能力在事故发生至撤离期间的变化趋势图合

11、一幅图中，具体图示如下： 图四：视频(一)与视频(二)事故持续时间与通行能力比照图 通过该图我们可以分析出同一横断面交通事故所占车道不同对改横断面实际通行能力的影响为：两个视频的实际通行能力随事故持续时间的变化过程都为周期性变化，但占左边两个车道的变化周期为：阻塞畅通阻塞；占右边两 6 个车道的变化周期为：畅通阻塞畅通。 问题三： 我们通过视频(一)中画框和画面停顿的时刻，统计出这些时刻的路段车辆排 队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的11 表三: 我们先假设视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实 际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间存在线

12、性关系。 把车辆排队长度记为s，把事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量等变量分别记为c,t,u。应用多元线性回归模型进展分析。 多元线性回归模型原理：设影响因变量Y的自变量个数为p，并分别记为 5 x1,x2,?xp，所谓多元线性模型是指这些自变量对Y的影响是线性的，即有 Y?0?1x1?2x2?pxp?成立，其中?N(0,?2)，?0,?1,?2,?p,?2是与 x1,x2,?xp无关的未知数，称上式为因变量x1,x2,?xp的多元线性回归方程。 记n组样本分别是(xi1,xi2,?,xip,yi),(i?1,2,?,n)， ?1x11?y1? ?1x21y 令 Y?2?,X

13、? ? ?1xyn1?n? x12x22?xn2 ?x1p?0?1? ?x2p?21 ,?,?， ? ?xp?n?p? 那么多元线性回归方程的矩阵形式为Y?X?，其中?1,?2,?,?n仍然服从正态性、无偏性、同方差性、独立性四个假设。 7 多元线性回归，可以采用最小二乘法估计参数?0,?1,?2,?p，先引入偏差平 方和Q(?0,?1,?p)?(yi?0?1xi1?2xi2?pxip)。最小二乘估计就是求使 i?1n2 ?T得Q到达最小的?(?0,?1,?,?p)，由于Q(?0,?1,?,?p)是?0,?1,?,?p的非负二? 次型，故其最小值一定存在。根据多元微积分的极值原理，对Q求偏导数

14、并令其为零，可解得?(XTX)?1XTY，这就是?的最小二乘法估计。 在SPSS中计算得出各变量的回归系数如下： 由于事先并不能确定Y和X的相关关系为何种类型，只是假设他们之间存在着线性关系，所以在建立了多元线性回归方程之后，还必须对因变量与自变量之间存在线性关系的假设进展显著性检验。 回归系数的t检验。对单个回归系数的显著性检验，建立相应的零假设与备择假设分别为，H0:?i?0,H1:?i?0,(i?1,2,?p)。 ? ?)?2(X?COV(?X)?1，以cii记矩阵( X?X)?1主对角线上的第i个元素，于 ?)?2c；另外MSE?SSE/df作为?2的估计量。是参数估计量的方差为Var

15、(?Eiii 在H0成立时，取t统计量ti?t(n?p?1)，由此进展t检验即可推断多 ?,(i?1,2,?p)的显著性。假设变量t检验的显著性概率p值小于元线性回归系数?i 0.05，那么该变量能引入模型该变量与因变量线性关系强烈，假设变量t检验的显著性概率p值大于0.05，那么该变量不能引入模型该变量与因变量线性关系弱。 对回归系数进展t检验，在SPSS中计算得出检验的p值，具体结果如下： 表五：t检验p值表一 8 根据结果可以得出事故横断面通行能力、事故持续时间的回归系数的检验p值大于0.05，故这两个变量不能进入模型与因变量之间线性关系很弱，只有路段上游车流量能进入模型。 再对车辆排队

16、长度与路段上游车流量进展回归分析及回归系数的检验，用SPSS计算得出具体结果如下： 表六：t检验p值表二 结果显示上游车流量回归系数检验的p值小于0.05，进入回归模型；常数项的回归系数大于0.05，故常数项不能进入模型。 具体回归模型为：s?0.053u(1) 回归模型假设随机误差?i具有一样的方差，这一点可以通过残差散点图来验证。以残差?i为纵坐标，以估计值为横坐标作图，如果观察点随机地散步在横轴的周围，就说明残差根本符合同方差性假设。我们用SPSS计算得出回归标准化残差的标准P-P图如下： 9 图五：回归标准化残差的标准P-P图 由图可知散点根本落在一条直线附近，说明回归效果良好。 通过

17、上面的检验，可得出事故横断面通行能力、事故持续时间与车辆排队长度之间不呈线性关系，我们用趋势面回归对事故横断面通行能力、事故持续时间与车辆排队长度之间的非线性关系进展分析。 趋势面回归模型原理1：设有观测数据为zi,xi,yi(i?1,2,?,n)，通常用回归分析方法求出z的回归方程为z?f(x,y)，使得Q?zi?f(xi?yi)2趋于最 i?1n 小，这就是在最小二乘意义下的曲线拟合问题。用于计算趋势面的数学表达式有多项式函数和博里叶级数，最常用的是多项式函数，因为任何函数在一个适当的范围内都可以用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可以使所求回归方程满足需要，我们调用二次函数：f(x,y

18、)?b0?b1x?b2y?b3x2?b4xy?b5y2;根据高斯马尔可夫定理，最小二乘法给出多项式系数的最正确线性无偏估计值，这些估计值使残差平方和到达最小。所以，回归拟合就是根据观测值zi,xi,yi(i?1,2,?,n)确定多项式的系数b0,b1,?,bp并使残差平方和最小。 ?b0?b1x1?b2x2?bpxp。令x?x1,y?x2,x2?x3,xy?x4,y2?x5,?，那么z 10 由此，多项式回归分析问题可转化为多元线性回归问题。 用DPS进展趋势面回归分析，得出事故横断面通行能力、事故持续时间与车辆排队长度之间的趋势面回归图形如下： 图六横轴：实际通行能力；纵轴：车辆排队长度；竖

19、轴：事故持续时间 2趋势面回归模型为：s?1.29?0.091c?0.072t?0.05t?0.16ct(2) 用(1)式和2式可综合得出路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的最终模型为： 2s?0.02c5?0.c0t8?0.0c4?550.t?036u?0.027 0.645(3) 趋势面分析的适度检验：趋势面的适度问题关系到趋势面分析的应用效果。从统计学观点来看，趋势面分析拟合程度的上下是回归效果好坏的关键。常用F检验来检验趋势面的适度，其方法是将z的总离差平方和分解为两局部，即 ?i?i?，它是所?i)?i?z?i?i?其中，回归平方和SSR?i?

20、zSST?(zi?z i?1i?1i?1N2N2N2 ?i?，它是其有p个自变量对因变量z的变异的影响；剩余平方和SSs?zi?z i?1N2 它随机因素对z的变异影响。SSR越大或SSS越小表示z与自变量的线性关系越密切，回归的效果越好。以SSR/SST?100%表示趋势面的拟合度，显然拟合度越高回归效果越好。因此，对于k此趋势面回归分析的显著性检验，可用统计量F?n?p?1?SSR/p/SSs进展方差分析。假设该F值大于临界F值为显著，反之那么不显著。 用DPS计算得出该趋势面回归的检验相关数值如下表： 11 表七：F检验表 由表可知拟合度为73.25%，到达预期水平，适用度高；p值小于0

21、.05，说明回归效果良好。 问题四： 利用问题三中统计的路段上游车流量、事故断面实际通行能力的数据，对这两个变量进展回归分析。先假设这两个变量之间存在线性关系，把事故断面实际通行能力c作为应变量，路段上游车流量u作为自变量，用SPSS计算 表八：回归系数表二 再对回归系数进展t检验，用SPSS计算得出检验的p值如下： 表九：t检验p值表三 得出路段上游车流量、事故断面实际通行能力之间的回归模型为： 用SPSS计算得出回归标准化残差的标准P-P图如下： 12 图七：回归标准化残差的标准P-P图 由图可知散点根本落在一条直线附近，说明回归效果良好。 把题目所给的上游车流量u?1500(pcu/h)带入模型可以得出，事故横断面实 m)，路段上游车流量际通行能力c?1213(pcu/h)。将车辆排队长度s?140( u?1500(pcu/h，事故横断面实际通行能力)c?1213(pcu/h)带入模型3中计算得出，车辆排队长度到达上游路口所需的时间为t?379(s)。 13 六、模型的评价与推广 在许多实际问题中，常常需要研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，例如：某种产品的销售额不仅受到