1084计算方法（本）-国家开放大学2020年1月至2020年7月期末考试试题及答案（202001-202007共2套）

1、试卷代号：1084 座位号口口国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试计算方法（本）试题（半开卷） 2020年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1已知函数f(x1，x2)= x1x2，则(x1， x2)( ) A(x1)(x2) B. x1(x1)+ x2(x1) C . x2(x1) - x1(x2) D. x2(x1)+ x1(x2)2已知函数f(x) = x 3 -2 x +1，则二阶差商f0，1，2=( ) A.1 B3 C. 4 D. 53用切线法求方程x 3 -4 x +2=0根的迭代公式为( ) Ax n+1= x n- xn3-4xn+23xn2-4，n=0.1

2、，Bx n+1= x n +xn3-4xn+23xn2-4，n=0.1，C. x n+1= xn3-4x n+23xn2-4，n=0.1， D. x n+1= x n-3xn2-4xn3-4x n+2，n=0.1，二、填空题（每小题5分，共15分） 4近似值528. 60的准确数位为 。 5线性方程组2x1+4x2+3x3=13x1+5x2+4x3=12x1+3x2+2x3=1用列主元消元法经一次消元后得到的第3个方程为 。 6已知X=(2，-1，3)T，则X2=_三、计算题（每小题15分，共60分） 7求积分01f(x)dx以x0 =14, x1 =12, x2 =34为节点的内插求积公式，

3、并求其代数精确度8用n =4的复化梯形公式计算积分01dx1+x，并估计误差9. 用直接三角分解法解方程组 211454244 x1x2x3=131 .10用欧拉法求初值问题：y=x+yy0=1 在x=0(0.1)0.2处的解四、证明题（本题10分）11.设lk(x）(k=0，1，n)为n次插值基函数，证明当n3时，有k=0nlk(x)xk3=x3试卷代号：1084国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试计算方法（本） 试题答案及评分标准（半开卷）2020年1月一、单项选择题（每小题5分共15分） 1D 2B 3A二、填空题（每小题5分，共15分） 4. 10-2 5-13x2-23x

4、3=13 614三、计算题（每小题15分，共60分） 7求积分01f（x）dx以x0=14，x1=12，x2=34为节点的内插求积公式，并求其代数精确度. 解 已知节点为x0=14，x1=12，x2=34，计算系数得 A0=01(x-12)(x-34)(14-12)(14-34)dx=23 A1=01(x-14)(x-34)(12-14)(12-34)dx=-13 A2=01(x-14)(x-12)(34-14)(34-12)dx=23则内插求积公式为01fxdx23f14-13f12+23f(34). （10分） 已知求积公式有3个节点，此求积公式至少有2次代数精确度 . 令f(x)=x3，

5、左边=01x3dx=14，右边=23（14）3-13（12）3+23（34）3=14，左边=右边； 令f(x)=x4，左边=01x4dx=15，右边=23(14)4-13(12)4+23(34)4=37192， 左边右边， 因此，此求积公式具有3次代数精确度 . （15分） 8用n=4的复化梯形公式计算积分01dx1+x，并估计误差. 解 用n=4的复化梯形公式计算得 01dx1+x181+211+14+11+12+11+34+11+1 （10分） =181+245+23+47+120.6970 在区间0，1上，M2=maxf（x）=2，则误差估计为 R(f)M21216=1960.01 （1

6、5分） 9.用直接三角分解法解方程组211454244x1x2x3=131， 解 对系数矩阵A直接分解得 A=211454244=121111211321， （5分） 求解方程组LY=b，121111y1y2y3=131，得Y=11-1， 再求解方程组RX =Y，211321x1x2x3=11-1，得方程组的解为X=121-1 (15分) 10用欧拉法求初值问题：y=x+yy0=1在x=0(0.1)0.2处的解 . 解 将f(x，y)=x+y，h=0.1代人欧拉法公式得 yn+1=yn+hf(xn，yn)=0.1xn+1.1yn，n=0.1 （10分） 由x0 = 0，y0 = 1，计算得y1

7、 =1.1，y2 =1.22 （15分）四、证明题（本题10分）11设lk(x)(k=0.1，n)为n次插值基函数，证明当n3时，有k=0nlkxxk3=x3.证明 由拉格朗日插值法可知f(x)=Ln（x）+Rn(x).设f(x)=x3，由于n3，余项Rn(x)=fn+1n+1!x=0，故 k=0nlk(x)xk3=x3 . (10分)试卷代号：1084国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试计算方法（本） 试题（开卷）2020年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1.近似数a= 0. 3150103的误差限是（ ） A. 1210-4B. 1210-3 c. 1210-2D.

8、1210-12.用辛卜生公式计算积分01dxx+1（ ）. A. 2536B. 34 C. 12D. 323.已知X=(3，-8，5)T，则X=（ ）. A.-5B.2 C.8D.15二、填空题（每小题5分，共15分）4.已知f (1)=3，f (2) = -1，用线性插值求f (1.6)的近似值是_ _ _ .5.用梯形公式计算积分011-x2dx .6.由切线法迭代公式生成的序列xn收敛于方程在a，b内的唯一根.三、计算题（每小题15分，共60分）7.求矛盾方程组2x1+x2=4x1+x2=3x1-x2=1的最小二乘解.8.用列主元消元法求解方程组x1+2x2=12x1+3x2+x3=2-

9、x2+2x3=1 .9.用高斯一塞德尔迭代法求解方程组8x1+2x2+x3=22x1+8x2+2x3=4x1+2x2+8x3=1取初始值 X(0)=(0，0，0)T，求出X(l) .10.用预估一校正法求初值问题dydx=2x-yy0=1在x =0(0.2)0.4处的解.四、证明题（本题10分）11.计算a(a0)的双点弦法迭代公式为Xn+1=xnxn-1+axn+xn-1（n=0,1,2，）.试卷代号：1084国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试计算方法（本） 试题答案及评分标准（开卷）（供参考）2020年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分） 1D 2A 3C二、填空题（每

10、小题5分，共15分） 4.0.6 5.0.5 6（单调）平方三、计算题（每小题15分，共60分）7求矛盾方程组2x1+x2=4x1+x2=3x1-x2=1 的最小二乘解 解 设x1，x2 =(2x1+x2-4)2+(x1+x2-3)2+(x1-x2-1)2（5分） 由 x1=26x1+x2-12=0 x2=22x1+3x2-6=0 ，得法方程组 6x1+2x2=122x1+3x2=6 （10分） 得最小二乘解为 x1=127 ，x2=67 . （15分） 8用列主元消元法求解方程组x1+x2=12x1+3x2+x3-x1+x2=1 =2 解 用列主元消元法求解得x1+2x2=12x1+3x2+

11、x3=2-x1+2x3=12x1+3x2+x3=212x2-12x3=0-x2+2x3=12x1+3x2+x3=2-x2+2x3=112x3=12（10分） 回代求得方程组的解为X=（-1，l，1）T（15分）9用高斯一塞德尔迭代法求解方程组8x1+2x2+x3=22x1+8x2+2x3=4x1+2x2+8x3=1取初始值X（0）=(0，0，0)T，求出X(l) 解 系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则高斯一塞德尔迭代法收敛 高斯一塞德尔法迭代公式为 x1（m+1 ）=18(2-2x2m-x3(m)x2（m+1 ）=184-2x1m+1-2x3m m=0.1x3（m+1 ）=18(1-x1m+1-2x2(m+1) ，（10分） 取初值X(0)=(0，0，0)，计算得x1（1）=14 ，x2（1）=716 ，x3（1）=164 ， X(1)=( 14 ，116 ，-164 )T（15分） 10.用预估一校正法求初值问题dydx=2x-yy(0)=1在x=0(0. 2)0.4处的解解将f (x，y) =2x -y，h=0.2代入预估一校正公式得 yn+10=0.4xn+0.8yn yn+1=yn+0.1(2xn-yn+2xn+1-yn+1(0) (n=0，1)（10分） 取x0 =0，y0 = 1，计算得y1 =0. 86，y2 =0. 8172.（15分）四、证明题（本题10