高中数学知识点人教版总结(专题汇总)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专题一函数【知识概要】 一、映射映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，表示对集合A中的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果，且元素和元素对应，那么，元素叫做元素的原像，元素叫做元素的像，记为。【特别提醒】：（1）映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应法则，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素，在B中有且只有一个元素和它对应。（2）A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一

2、对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。 二、函数的概念1. 函数的定义：如果A、B都是非空的数集，映射就叫做A到B的函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域如果用表示值域，则有。通常表示“y是x的函数”，简记作函数。2. 函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域。3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法函数解析式的求法：（1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法. 已知复合函数的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围；（3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消

3、参的方法求出。（4）直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。复合函数：如果，则称函数为和g构成的复合函数，其中分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域。4. 函数的基本性质：（1）单调性：设函数的定义域为A，区间。如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数区间I叫做的单调减区间；如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单

4、调增函数区间I叫做的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。单调性的求解方法：定义法:取值作差变形定号判断复合函数：“同增异减”（2）最大（小）值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的，都有（或）；存在，使得那么我们称M是函数的最大（或小）值。求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。（3）奇偶性： 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函

5、数。奇函数的图象关于原点对称。 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。【特别提醒】（1）若，则既是奇函数又是偶函数，则是偶函数；若是奇函数且在处有定义，则.（3）函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考查的热点。（4）周期性： 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的

6、周期。对于常数T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期。【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象，由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。5. 一些有用的结论：奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；函数的单调性：单调增区间是：和；单调减区间是：和。 如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称。 三、初等函数 1. 二次函数 （1）二

7、次函数的三种表示形式： 标准式：；顶点式：，顶点；零点式： 。 （2）二次函数的图象：图象是抛物线，其对称轴方程为当时，开口向上；当时，开口向下。 （3）二次函数的性质 时，单调递减区间；单调递增区间，。 时，单调递增区间；单调递减区间，。（4）求解二次函数在限定区间上的最大（小）值要抓住四点：图象的开口方向；顶点；区间与对称轴的位置关系；区间端点函数值。2. 指数函数和对数函数 （1）指数和对数指 数对 数定 义 （叫做的次幂） （叫做以为底的对数）关系式 运算性质 根式：如果（，且），那么叫做a的n次方根，记作。式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数根式的性质有：（i）（，且）；（ii

8、）当n为奇数时，；当n为偶数时，。 分数指数幂 （i） （ii）（，且）； （iii）0的正分数指数幂等于0，0的负数指数幂、零指数幂没有意义。叫做常用对数，叫做自然对数，其底数分别为10和对数的换底公式及它的变形：。对数恒等式：。 （2）指数函数和对数函数指数函数对数函数图像11性质定义域：R 值域：过点，即时，当时，在R上是增函数； 当时，在R是减函数定义域： 值域：R过点，即时，当时，在上是增函数； 当时，在是减函数关系与（）互为反函数，其图象关于对称3. 幂函数（是自变量，是常数） 四、函数与方程 1. 函数的零点：有零点的图象与x轴有交点方程有实根。 2. 函数零点的存在性：如果函数

9、在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个就是方程的根 注意：上述判定方法中在内的零点不一定唯一；逆命题不成立。3. 二分法求方程近似解（1）确定区间，验证，给定精确度；（2）求区间的中点；（3）计算：若，则就是函数的零点；若，则令，此时零点；若，则令，此时零点。（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)步。4. 二次方程根的分布利用二次函数的图象讨论二次方程根的分布的关键：开口方向；区间的端点值；对称轴；判别式。 五、函数模型及其应用求解函数应用问题（如增长率、利润、产量、银行存款、节水等）要注意解题的步骤。（

10、1）步骤：设出未知数；构建函数模型；求解；作答。（2）常见函数模型：一次函数、正比例函数模型；二次函数模型；近似于指数函数模型；模型；分段函数模型；其它函数模型。专题二 三角【知识概要】 一、角的概念的推广、弧度制 1任意角：角是由射线绕端点旋转而成的，它有正角、负角与特殊的零角。 2终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，称为终边相同的角，记为 3象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。例如：第二象限角的集合： 4坐标轴上的角 终边在轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 终边在坐标轴上

11、的角的集合： 5角的度量：弧度制，角度制。角：弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为角。弧度和角度的换算： 6弧长和扇形面积公式 二、任意角的三角函数 1任意角的三角函数的定义：设点是角终边上一点，点O是坐标原点，那么角的正弦、余弦、正切分别是。 2三角函数值的符号：正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号是：xyxyxy OOOTMPAOyxTMPAxyOTMPAxyOTMPAxyO 3三角函数线：正弦线，余弦线，正切线。 三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1同角三角函数的基本关系式，注意公式的变形使用。 （1） （2） 2诱导公式：与角“”有关的诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变,

12、符号看象限”。应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断。求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值。 四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（以下）函数名图象O x yO x yO x y定义域RR值域R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增增区间：减周期性对称点对称轴不存在最大值不存在最小值不存在 五、函数的图象与性质 1图象的作法： 方法一：“五点法”。先找出确定图象形状起关键作用的五个点（强调：这五个点应该是使函数取得极大值、极小值和曲线与轴相交的点），找出它们的方法是作变量代换：设，由取来求出对应的的

13、值，再用光滑曲线将它们连接起来。纵坐标伸长或缩短到原来的A倍 方法二：图象的初等变换 振幅变换：函数 函数 横坐标伸长或缩短到原来的倍 周期变换：函数 函数 向右或向左平移个单位 平移变换：函数 函数 一般地，由的图象通过变换得到函数图象的两种常见方法, 其步骤如下：（横坐标伸长或缩短(到原来的倍 向左或向右平移个单位 纵坐标伸长()或缩短()到原来的A倍 向左或向右平移个单位 横坐标伸长或缩短(到原来的倍纵坐标伸长()或缩短()到原来的A倍 2性质：周期为 六、和、差、倍、半公式 1两角和与差的三角函数公式： 2二倍角公式： 3降幂公式： 七、正弦定理、余弦定理 1正弦定理： （R是三角形外

14、接圆的半径） 2余弦定理： ；。 3三角形面积公式： 正三角形的面积公式： 4三角形中的边与角的关系： 专题三平面向量【知识概要】 一、向量的概念及其运算 1向量：既有大小又有方向的量叫做向量。常用一条有向线段表示向量，的长度表示向量的大小，记为，长度为零的向量，记为。 2平行向量：方向相同或相反的向量。平行向量也叫共线向量，且规定与任一向量平行。ABCab 3向量加法的定义及向量加法的三角形法则。已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即。规定：（为任意向量）4向量加法的性质交换律： 结合律： 5向量加法的平行四边形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，则以为邻边的平行四

15、边形ABCD的对角线向量就是。 6向量减法的定义 （1）与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。 （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，记做，即。 7向量的数乘 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： （1）； （2）的方向与相同(或与相反(； （3）。 性质：若，则 （1）； （2）； （3）。8共线判定定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。 二、向量的坐标表示 1平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；不共线向量叫做平面内所有向量的一组基底。2平面向量的坐标表示如果，其中分别为与轴，

16、轴方向相同的单位向量，则有3平面向量的坐标运算；（；。4数量积的坐标表示：若，则有5向量平行的判定定理：设，则。6向量垂直判定定理：设，则。 7向量长计算公式 （1）若，则； （2）若点，则。 8三角形不等式 定理：设是任意两个向量，则有。 三、向量的数量积1数量积的定义：设向量与的夹角为，我们将数值称为向量与的数量积记为，并规定，因此得定义式：。 2数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 3数量积的基本性质 （1）垂直条件： （2）同向反向性：与同向，与反向 （3）数量积表示模：；或者 （4）夹角公式：设，则 （5）数量积不等式： 四、向量的应用 1平面几何中的向

17、量问题 向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来。 2向量在物理中的应用 物理学中有很多矢量，因此其研究过程若引入向量的基本方法，可以收到较好的效果。专题四数列【知识概要】 一、数列的概念 1. 数列的有关概念： （1）定义：按一定的次序排列的一列数；它是定义域为（或的有限子集）的函数所对应的一列函数值，数列是自变量离散变化的函数。 （2）通项公式：数列的第项与项数之间的函数关系，如果能用一个公式表示，这个公式叫做数列的通项公式。 2. 数列的表示法： （1）列表法：用列表法给出函数关系，自变量省略，仅列出函数值；如： （2）图

18、象法：以序号为横坐标，相应项为纵坐标，描点画图得到函数图象，用一群孤立点表示。 （3）解析法：一般用通项公式表示，或用递推关系式表示。如 3. 数列的通项与前项和的关系： ，其中 4. 两个重要的变形： （1） （2） 二、等差数列和等比数列等差数列等比数列1. 定义如果（常数），那么就称为等差数列，为公差。如果（常数），那么就称为等比数列，q为公比。2. 通项公式3. 中项 公式成等差数列 成等比数列 前4. 项和 公式或5. 重要 性质1）若正自然数、满足，则。2）若为等差数列，则 为等差数列。3）若为等差数列，则 也是等差数列，公差为。1）若正自然数、满足 ，则。2）若为等比数列，且 均

19、不为零， 则为等比数列。3）若为等比数列，则 ，也是等比数列，公比分别为。6. 充要 条件为等差数列。为等比数列。7. 相互 关系1）设且，则成等比数列成等差数列。2）是正项等比数列是等差数列。 三、数列通项公式的求法 1. 根据，利用公式求通项。 2. 根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项，其要点是： （1）；（2） 3. 构造新的等差、等比数列，转化法求通项。 四、特殊数列求和 1. 利用等差、等比数列的公式求和。 2. 倒序相加法求和。 3. 乘公比错位相减法求和. 适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列。 4. 裂项法求和. 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项

20、（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式： （1） （2） 5. 分组求和. 通过拆和组的手段把问题化归为可求或易求的数列的问题。 五、数列应用题 在应用问题中，根据问题构造等差、等比数列的模型，然后再用数列的通项公式或求和公式等知识求解。专题五不等式【知识概要】 一、不等式的性质1. 两个实数大小的比较（1）设，则，。（2）设 则有；。2. 不等式的性质不等式的基本性质：性质1： 性质2：，性质3：， 性质4：，; ，不等式的运算性质：性质5：， 性质6：，性质7：， 性质8：，对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一条性质的条件和结论

21、，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面。单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的理论基础。 二、不等式的解法解不等式的基本思路是等价转化. 分式不等式整式化，高次不等式低次化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决。在转化的过程中一定要注意变换的等价性，因为不等式的解集多为无限集，不等价变换所产生的未知数取值范围扩大或缩小难以发现和控制，所以等价变换才能保证解题的正确性。 1. 一元一次不等式解法的基本步骤： （1）化成的形式； （2）求解集。(含字母系数要注意讨论) 2. 一元二次不等式解法的基本步骤： （1）化成或的形式

22、； （2）判断，进一步求方程的根； （3）根据及的正负，写解集。 3. 分式不等式解法的基本步骤： （1）化成或的形式； （2）同解变形为或； 4. 含字母不等式解法要注意的问题 字母的不同取值范围，不等式的转化结果也会不同，因而必须对字母分类讨论。对字母分类讨论时，一要考虑字母总的取值范围，二要用同一标准对字母进行划分，三要使得划分后不等式的解集表达式是确定的。 三、简单线性规划与应用 1. 二元一次不等式所表示的平面区域判定方法。 （1）特殊点代入检验法. 特殊点主要用原点、坐标轴上的点。 （2）系数判定法： () 不等式表示直线上半部分平面区域。 () 不等式表示直线下半部分平面区域。（

23、当时，简记为“大于号取上边，小于取下边”） 2. 求解线性规划应用问题的基本步骤： （1）分析题意，设出决策变量，找出所有线性约束条件和目标函数。 （2）做出可行域(注意边界及边界上的特殊点)。 （3）利用可行域和线性目标函数寻找最优解。(注意利用目标函数几何意义) （4）根据题设的实际需要调整最优解(如整数解)。 四、基本不等式及不等式应用 1. 基本不等式： 2. 运用基本不等式解决最值问题，要注意“一正、二定、三相等”的条件. （1）当，为定值且时，有最小值； （2）当，为定值且时, 有最大值； （3）若等号取不到时，应改用函数的单调性解决最值问题。专题六立体几何【知识概要】 一、多面体

24、 1. 多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几个面就称为几面体。棱柱棱锥棱台定义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体。 当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体。 棱锥被一个平行于底面的平面所截后，截面和底面之间的部分。性质(1) 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；(2) 侧面都是平行四边形， 侧棱都相等；(3) 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。(1) 底面是多边形；(2) 平行于底面的截面与底面相似；(3) 侧面是有一个公共顶点的三角形。(1) 两个底面是相似多边形；(2) 两个底面以及平行于底面的截面是对应边互相平行的相似

25、多边形；(3) 侧面都是梯形。 2.底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形棱长相等四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体 二、中心投影和平行投影 1. 投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。投射线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。 平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。 2. 视图物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯视图、左视图称为三视图；作图关键：按“长对正、高平齐、宽相等”。 3. 空间几

26、何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图。三角形ABC的面积为S，用斜二测画法画得它的直观图三角形的面积为，则。作图关键：倾斜45，横“等”纵“半”。 三、平面基本性质：（三公理三推论）名 称内 容公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。公理3经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。推论2经过两条相交直线，有且仅有一个平面。推论3经过两条平行线，有且仅有一个平面。 四、空间两条不重合的直线的位置

27、关系1. 空间两条直线有三种位置关系：(1)相交直线； (2)平行直线； (3)异面直线。2. 若从有无公共点角度看，可分两类：有且只有一个公共点相交直线 平行直线没有公共点 异面直线3. 若从是否共面的角度看, 可分为两类： 相交直线在同一平面内 平行直线不同在任一平面内异面直线4. 异面直线(1) 定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。(2) 性质: 两条异面直线既不相交也不平行。(3) 判定定理连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。(4) 异面直线所成的角设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所

28、成的角(或夹角)。(5) 异面直线所成角的范围为。(6) 求异面直线所成的角分两步：一是找角，通过平行移动找两直线所成的角；二是求角，通过解三角形求角。两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.所以线线垂直包括两条相交直线互相垂直和两条异面直线互相垂直两种情况。五、空间的直线与平面1定义线面平行的判定定理线面平行的性质定理线面平行如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说直线与平面平行。记作: /即：线线平行线面平行即：线面平行线线平行2定义线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理线面垂直，有 记作: 即：线线垂直线面垂直即：线面垂直线线平行证明线面平行，要抓住上述判定定理中的“内”“

29、外”两关键字眼，“内应外合”。通过勾股定理的逆定理计算得出垂直也是常用手段。 3. 点到平面的距离过外一点向作垂线，则和垂足之间的距离叫做点到平面的距离。 4. 线面所成的角平面的一条斜线与它在该平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角. 时称与所成的角为直角；时称与所成的角为角。线面角范围为。 5. 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 6. 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 六、空间的平面与平面1定义面面平行的判定定理面面平行的性质定理面面平行记为: 如果一个平面内有两条

30、相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行即：线面平行面面平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。即：面面平行线线平行2定义面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理面面垂直如果两个平面所成的二面角是直二面角, 我们就说这两个平面互相垂直。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：线面垂直面面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即：面面垂直线面垂直 3. 二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为，两个半平面分别为的二面角记为。二面角范围

31、为。 4. 二面角平面角的作法：一是定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个面作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；二是利用线面垂直的判定和性质，在二面角的一个面内取一点作另一个面的垂线，自垂足作二面角的棱的垂线，与棱交于点，则即为二面角的平面角或其补角；三是过空间一点作二面角的棱的垂面，垂面与二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角。 七、柱、锥、台、球的表面积和体积 1. 侧面积公式（注: 表示柱、锥、台的底面周长，表示棱台上底面周长，表示正棱锥或正棱台的斜高）直棱柱正棱锥正棱台公式 2. 体积公式棱柱棱锥棱台公式 3. 球与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体

32、，简称球。 球面与定点距离等于定长的点的集合。 大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。 两点的球面距离球面上两点之间的最短距离（就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）。 4. 球的截面性质arRd(1) 用一个平面截球，所得的截面是一个圆面；(2) 球心和截面圆心的连线截面；(3) 球心到截面距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系：。 5. 球面面积公式： 6. 球体积公式：专题七解析几何之圆锥曲线【知识概要】 1圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义 与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹。 与两个定点，的距离之差的绝对值等

33、于常数的点的轨迹。与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。标准方程焦点在轴上：焦点在轴上：焦点在轴上：焦点在轴上： 焦点在轴上，开口向右：焦点在轴上，开口向左：焦点在y轴上，开口向上：焦点在y轴上，开口向下：图形焦点在轴上OxyF1F2P焦点在轴上F1OxyF2P焦点在轴上OxyF1F2P焦点在轴上F1OxyF2P焦点在轴上，开口向右:焦点在轴上，开口向左：OxylFPOxylFP 焦点在轴上，开口向上：焦点在轴上，开口向下：OxyPFOxyPF 焦点 ； ；顶点焦点在轴上：， 焦点在轴上：， 焦点在轴上： 焦点在轴上：关系 () ()为焦点到准线的距离离心率准线焦点在轴上：焦点在轴上：焦

34、点在轴上： 焦点在轴上：焦点在轴上，开口向右准线： 焦点在轴上，开口向左准线：焦点在轴上，开口向上准线：焦点在轴上，开口向下准线：渐近线焦点在轴上：焦点在轴上：统一定义 到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值的点的集合时，轨迹是椭圆；时，轨迹是双曲线，时，轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准线配对使用)2椭圆与双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依椐和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础。在许多实际问题中正确使用这一定义可以使问题的解决更加灵活。另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成，双曲线的标准方程可以统一设成。3椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度以及双曲线开口大

35、小的一个量，其取值范围分别是和离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点内容，在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值去计算，而是根椐题目给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数、的方程或不等式求得离心率的值或范围。椭圆的离心率与、的关系：；双曲线的离心率与、的关系：。4双曲线的特殊性质 （1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。 （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：。 （3）渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。如果双曲线的渐近线为，则

36、它的双曲线方程可设为()；要求双曲线()的渐近线，只需令即可。5若是椭圆上一点，、是其两个焦点，且，则的面积；若是双曲线上一点，、是其两个焦点，且，则的面积。6已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点、，则有下列性质：，或为直线的倾斜角，。7直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况。其判断方法都是利用代数方法，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去得到一个关于的一元二次方程。（1）当时，若有，则与相交；若有，则与相切；若有，则与相离；（2）当时，即得到一个一次方程，若方程有解，则与相交，此时只有一个公共点，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，直线与抛物线的对称轴平行。所

37、以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线的与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。若斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点、，则弦长： 8高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1）圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及、五个参数的求解。圆锥曲线的几何性质的应用。2）求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直

38、接法：建系、设点、列式、化简、证明（可以省略），此法适用于较简单的问题；定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可由曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义直接写出轨迹方程；待定系数法：若已知曲线的形状（如椭圆、双曲线、抛物线），可用待定系数法；相关点法（坐标代换法）：若动点依赖于另一动点，而又在某已知曲线上，则可先写出关于的方程，再将换成。3）有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现。

39、4）求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势。专题七解析几何之直线与圆的方程【知识概要】一、直线1直线的方程（1）直线的倾斜角的取值范围是；平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角。（2）直线的斜率且）。变化情况如下：倾斜角斜率变化关系随的增大而增大随的增大而增大不存在任何直线都有倾斜角，但不一定有斜率斜率的计算公式：若斜率为的直线过点与，则。（3）直线方程的五种形式名称条件方程形式不能表示的直线特殊情

40、况点斜式直线的斜率为，且经过点不能表示垂直于轴的直线时，方程为斜截式直线的斜率为，在轴上的截距为不能表示垂直于轴的直线时两点式直线经过两点，且，不能表示垂直于轴和轴的直线时，方程为；时，方程为截距式直线在轴和轴上的截距分别为和（）不能表示垂直于轴和轴及过原点的直线一般式（不同时为零）可以表示平面内的任意直线2两条直线位置关系（1）设两条直线和，则有下列结论：且； 。（2）设两条直线不全为和，不全为0)，则有下列结论：且或且；。（3）求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。（4）与直线平行的直线一般可设为；与直线垂直的直线一般可设为。（5）过两条已知直线交点的直线系：3

41、中点公式：平面内两点、，则两点的中点为。4两点间的距离公式：平面内两点，则两点间的距离为：。5点到直线的距离公式：平面内点到直线的距离为：。设平面两条平行线，。二、圆1圆的方程（1）圆的标准方程：，其中圆心为，半径为r。（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径。圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质常能使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。 几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求； 代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求。2直线与圆、圆与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系设直线：和圆：，圆心到直线的距离为，则。相交或直线与圆的方程组成的方程组

42、，消去或转化为一元二次方程，其判别式；（代数法）相切或；（代数法）相离或。（代数法）（2）圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为，半径分别为，则：两圆相交；两圆外切；两圆内切； 两圆相离。（3）研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系这一关键点，这个过程充分体现了数形结合、分类讨论的思想在解析几何中的应用。 （4）直线被圆截得弦长的求法： 几何方法：，为弦心距，为圆半径。代数方法：设直线与圆：相交于A、B两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于的方程，求出，则。（整体运算）三、对称问题 1. 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对

43、称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设，对称中心为，则P关于A的对称点为。2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有，可求出,。特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为。3. 曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。一般结论如下： （1）曲线关于已知点的对称曲线的方程是。 （2）曲线关于直线的对称曲线的求法：设曲线上任意一点为，P点关于直线的对称点为，则

44、由（2）知，P与的坐标满足，从中解出、，代入已知曲线，应有。利用坐标代换法就可求出曲线关于直线的对称曲线方程。4. 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为； （2）点关于轴的对称点为； （3）点关于原点的对称点为； （4）点关于的对称点为； （5）点关于直线的对称点为。专题八之复数【知识概要】 一、复数的概念1、虚数单位i（1）；（2）i的幂的周期性：， ()。2、复数的定义：形如的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部；又叫做复数的代数形式；复数集用字母C表示。复数是实数是虚数纯虚数bi非纯虚数3、复数的分类：4、复数集与其它数集之间的关系：5、两个复数相等

45、的充要条件：, 6、复数的模：（1）定义：复数z在复平面上对应的点Z到原点的距离，叫复数z的模. 用表示。若，则。 （2）模的性质：； ；。7、共轭复数：（1）定义: 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。z的共轭复数记为。（2）性质：z是实数； ； ； 若 则。 二、复数的运算 1、 2、 3、 (以上 4、复数的运算律：对任意的及有：交换律：；结合律：；分配律：；z(a, b)ybaOx图8-1； 三、复数的几何意义 1、复数的几何意义： 点平面向量，如右图8-1所示。OxyZ2Z1Z图8-2 2、复数加法的几何意义： 复数的加法满足向量运算的平行四边形法则，

46、设复数在复平面上所对应的向量为、，以、为邻边作平行四边形，OxyZ2Z1图8-3则. 如右图8-2所示。 3、复数减法的几何意义： 复数的减法满足向量运算的三角形法则，如右图8-3所示。专题八之概率【知识概要】 一、古典概型 1随机事件 （1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件。 （2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生事件的事件。 （3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2频率与概率 （1）频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。 （2）概率：对于给定的随机事件A，

47、如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，简称为A的概率。 3概率的性质与计算 （1）随机事件A的概率为： （2）概率的基本性质：；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。 4基本方法：寻找一次试验等可能的结果数的基本方法枚举法，用枚举法来寻找试验的结果数时注意合理地分类。 二、几何概型 1几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积等)成比例，则这样的概率模型叫几何概型。 2几何概型计算：在几何概型中，事件A的概率为： 3基本方法 （1）适当地选择角度； （2）将基本事件转化为与之对应的区域； （3）将事件A转化

48、为与之对应的区域； （4）一般如果所设及的问题是一个单变量，可能测度是长度，角度等，如果涉及两个变化量的随机试验，可设这两个变量(如约会问题)，利用平面直角坐标系研究组成的点集。 三、互斥事件及其概率 1基本概念 （1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。 一般地，如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么就说彼此互斥。 （2）对立事件：如果两个互斥事件中必有一个发生，那么这两个事件叫对立事件。2有关计算：若事件A与事件B互斥，则; 特别地，若事件A与事件B互为对立事件，则；如果事件中的任何两个都是互斥事件，则。 四、随机变量1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： =

49、 1 * GB3 试验可以在相同的情形下重复进行； = 2 * GB3 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； = 3 * GB3 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分

50、布列.P有性质； .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. = 1 * GB2 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（np），其中n，p为参数，并记. = 2 * GB2 二项分布的判断与应用. = 1 * GB3 二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

51、 = 2 * GB3 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称服从几何分布，并记，其中5. = 1 * GB2 超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，则其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为.分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规

52、定时，则k的范围可以写为k=0，1，n. = 2 * GB2 超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1na+b），则次品数的分布列为. = 3 * GB2 超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即.我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回

53、抽样.五、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. = 1 * GB2 随机变量的数学期望： = 1 * GB3 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身. = 2 * GB3 当时，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和. = 3 * GB3 当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.01Pqp = 2 * GB2 单点分布：其分布列为：. = 3 * GB2 两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） = 4 * GB2

54、二项分布： 其分布列为.（P为发生的概率） = 5 * GB2 几何分布： 其分布列为.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质. = 1 * GB2 随机变量的方差.（a、b均为常数）01Pqp = 2 * GB2 单点分布： 其分布列为 = 3 * GB2 两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） = 4 * GB2 二项分布： = 5 * GB2 几何分布： 5. 期望与方差的关系. = 1 *

55、 GB2 如果和都存在，则 = 2 * GB2 设和是互相独立的两个随机变量，则 = 3 * GB2 期望与方差的转化： = 4 * GB2 （因为为一常数）.六、正态分布. 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于x轴上方，落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数，由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.2. = 1 * GB2 正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：. （为常数，且），称服从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线. =

56、 2 * GB2 正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：. = 3 * GB2 正态曲线的性质.曲线在x轴上方，与x轴不相交.曲线关于直线对称. = 3 * GB3 当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. = 4 * GB3 当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. = 5 * GB3 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. = 1 * GB2 标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则

57、称服从标准正态分布. 即有，求出，而P（ab）的计算则是.注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. = 2 * GB2 正态分布与标准正态分布间的关系：若则的分布函数通常用表示，且有. 4. = 1 * GB2 “3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步： = 1 * GB3 提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布. = 2 * GB3 确定一次试验中的取值是否落入范围. = 3 * GB3 做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. = 2 * GB2 “3”原则的应用：若随机变量服从

58、正态分布则 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）.专题八之算法初步【知识概要】 一、算法的定义 对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，算法是对特定问题求解步骤的一种描述. 现代意义的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤。 二、算法的五个特征 1. 确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二义性，算法只有唯一的执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。 2. 有限性：一个算法必须在执行有限次运算后结束. 在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的。 3

59、. 可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的。 4. 算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤。 5. 有输出: 算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的。 三、算法的描述 描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图、伪代码、程序设计语言等。 1. 自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，如汉语、英语或数学语言等，使用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解。缺点是如果算法中包括判断和转向，并且

60、操作步骤较多时，就不那么直观清晰了。 2. 框图（流程图）：（共有顺序结构、选择结构、循环结构三种结构） 程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。画程序框图的规则： （1）使用标准的框图符号。 （2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 （3）除判断框外，大多数框图符号只一个进入点和一个退出点。判断框是具有超过一个退出点的唯一符号。 （4）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （5）流程线必须画箭头，因为它是反映流程的执行的先后次序的。 顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法结构都离不开的最简单、最基本的结构。其