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文档简介
1、 PAGE .第1讲 相似三角形讲义 学习目标 解三角形相似的判定方法学习重点:能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题学习难点:运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1:已知,如图,D为ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在ABC外作CBE=ABD,BCE=BAD求证:DBEABC 例2、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:如图:称为“平行线型”的相似三角形(2)如图:其中1=2,则ADEABC称为“相交线型”的相似三
2、角形。(3)如图:1=2,B=D,则ADEABC,称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及EAF与ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DFAC=BCFE 例4:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D。求证:(1)MA2=MDME;(2) 三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例5:已知:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且。求证:AEF=FBD例6、直角三角形ABC中,ACB=
3、90,BCDE是正方形,AE交BC于F,FGAC交AB于G,求证:FC=FG 例7、RtABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于O,过O引BC的平行线交AB于F,求证:AE=BF 目标训练一、填空题1、 两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 (第3题图)OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAFB图22、 如图2,平行四边形中,是边上的点,交于点,如果,那么 3、如图,点在射线上,点在射线上,且,若,的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为 4. ABC中,DEFGBC,且AD:DF:FB=3:2:1,则SADE:S四边形DFGE:S
4、四边形FBCG= 二、选择题1.已知ABCDEF,且AB:DE=1:2,则ABC的面积与DEF的面积之比为( ) (A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )A只有1个 B可以有2个 C有2个以上但有限 D有无数个3.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感如图,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A4cmB6cmC8cmD10cm4、如图,ABC是等边三角形,被一平
5、行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积是ABC的面积的 ( ) EHFGCBA(第4题图) ADBCEFM(第5题图)5、 如图,直角梯形ABCD中,BCD90,ADBC,BCCD,E为梯形内一点,且BEC90,将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合,得到DCF,连EF交CD于M已知BC5,CF3,则DM:MC的值为 ()A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如图,在RtABC内有边长分别为的三个正方形,则满足的关系式是( )A、 B、 C、 D、7、如图,RtABAC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PEAB于E,PDAC于D,设BP=x
6、,则PD+PE=( )A. B. C. D. 三、解答题1、如图5,在ABC中,BCAC, 点D在BC上,且DCAC,ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.(1)求证:EFBC.(2)若四边形BDFE的面积为6,求ABD的面积.2、 (本小题满分10分)如图:在等腰ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.证明:CAE=CBF;证明:AE=BF;以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG,如果存在点P,能使得SABC=SAB
7、G,求C的取之范围。FCABPEH3、如图,四边形ABCD中,ADCD,DABACB90,过点D作DEAC,垂足为F,DE与AB相交于点E.(1)求证:ABAFCBCD(2)已知AB15cm,BC9cm,P是射线DE上的动点.设DPxcm(x0),四边形BCDP的面积为ycm2.求y关于x的函数关系式;当x为何值时,PBC的周长最小,并求出此时y的值. 4、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N求证:(1);(2)5、 如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,BAC=AGF=90,它
8、们的斜边长为2,若ABC固定不动,AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围. (3)以ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BDCE=DE. (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BDCE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.GyxOFEDCBA GFEDCB
9、A 6、 为了加强视力保护意识,小明想在长为3.2米,宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表在一次课题学习课上,小明向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖,构思巧妙(1)甲生的方案:如图1,将视力表挂在墙和墙的夹角处,被测试人站立在对角线上,问:甲生的设计方案是否可行?请说明理由(2)乙生的方案:如图2,将视力表挂在墙上,在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜,根据平面镜成像原理可计算得到:测试线应画在距离墙 米处(3)丙生的方案:如图3,根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视力表如果大视力表中“”的长是3.5cm,
10、那么小视力表中相应“”的长是多少cm?HH(图1)(图2)(图3)(第6题)3.5ACF3mB5mD7、将两块大小一样含30角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ABD不动,将ABC向轴的正方向平移到FGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,FBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出
11、t的取值值范围.DCBAE图9EDCHFGBAPyx图1010.8、如图1,一副直角三角板满足ABBC,ACDE,ABCDEF90,EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中,(1)如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.(2)如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?,并说明理由.(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式为_,其中的取值范围是_(直接写出结论,不必证明)【探究二】若,AC30cm,连续PQ,设EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:(1)S是否存在
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