大学课件电磁学-环路定理及电偶极子

1、力所做的功只与物体的始末位置有关，而与 所经历的路径无关，这类力叫做保守力。如： 万有引力、弹性力、静电力。万有引力fg =呷r2库仑力fe =警r 24 nso r 21.4.1 静电场的环路定理一、静电场的保守性1. 点电荷场E = er F = q0E4ns0r2 rw0dA = F dl = q0 E dlqq4 ns0 r 2 a12 =1 dA = MI 1 - 1 124 n I rir 丿=q0 E cos 0 dl =P2P1A = f (q0, r1, r2 ) 静电场力的功与路径无关2.任何静电场PzP2(力12 = J q0E dl = J qo g Ei J dZP2

2、P2P1P1P2 一 Pz 一Pz 一=J qo Ei “ + J qo E2 “+J qoEn “P1P1P1=f qqi （丄_ 丄、i=l4n0 I ri 1 ri2 丿结论n试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功只 与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。 静电力是保守力，静电力场是保守力场。、静电场的环路定理circuital theorem of electrostatic field）1. 表述: 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒为零2.f E dl = 0L（任意）场强的环流恒为零证明:静电场力是保守力f F dl =f qo E - dl = 0LLf E -

3、dl = 0L*静电场的基本方程 *保守场（无旋场）1.4.2 静电势能 (Electric potential energy)静电场力做功等于相应电势能的减量P2 -Ai2 =!F dl = Wi 一 W2P1P1 点电势能取 WP0= 0P2 点电势能电场力所做的功等于电 势能增量的负值（或电 势能的减少）。电势能的零点。P0(PP0)定义上W = As、= q0 J Edl即：电荷q0在电场中某点的电势能等于把电荷从该点沿任意路径0移动到电势能零点静电场力所做的功。电势能差b Wa - Wb = Aab = qo J E dla讨论M 1.电势能零点电势能零点的选择原则上是任意的：有限大

4、小带电体，选无限远处为电势能的零点。无限大带电体，选有限远处为电势能的零点。工程上取大地或金属外壳为电势能的零点。电势能wa = q0 J电势能零点E - dl讨论 2. 电场力所做的功有正（例如在斥力场中）有负（例如在引力场中），所以电势能 有正有负。电势能是属于电荷q0和产生电场的电荷系所共有的。电势能和试验电荷有关，不能用来描述电场。 1.4.3电势和电势差一、电势(Electric potential)E PA12 =PF dl = qofpE dl = Wi - W2根据静电场的环路定理定义Wl_ Wqoqo电势PP E dl =五-W Piqoqo p Wo与试验电荷无关，Po l

5、 l反映了电场在Pi、 W = qo fE dl P2 两点的性质PW(p = qo势能零点 l l pP =fE dl（p）任意路径电场中任一点的电势等于把单位正电荷自该点 沿任 意路径移动到电势零点静电场力所做的功， 等于场强从该点沿任意路径到电势零点的线积 分。势能零点- pP =JE - dl（P）任意路径1）电场中某点的电势与零点的选取有关。2）电势零点确定后，电势值唯一确定，相应的电势是空间位 置的函数。0 =（p（ x, y, z）3）电势零点的选取视方便而定，一般有三种情况：a）生场电荷为有限大小，通常选“无限远：处电势为零。记为：pP = Jp E - dl， Poo = 0

6、b）带电体为“无限大”，通常指定某位置P.电势值为零。场点P处电势为：pP =JpP Edl， Pp = 0c）实际工作中，常选大地为电势零点。电器外壳接地时的电势为零。地 = 0（4）电势的量纲SI制：V （伏特）5) 电势和电势能的关系 电势零点即电势能零点点电荷在电场中的电势能为W = qo0 任意带电体在电场中的电势能为W = gq 把电荷q从。沿任意路径移动到方静电场力所做的功为Aab = q0a 一申b )注意 电势是描述电场能量性质的物理量，与试验电荷无关；二、电势差 (Electric potential difference)*电场中单位正电荷在Pi、P2两点定乂的电势能之差

7、称为Pi、P2两点的电势差(电压)。i 2(P2 )- U12 =01 - 02 = J E - dl (p )任意路径电场中任意两点 P1、 P2 的电势差，等于把单位正电荷从 P1点沿任意路径移动到P2点静电场力所做的功，等于场 强沿任意路径从P1点到P2点的线积分。力12 = q0 U12力12 =昭一 W2 = q0（0l一 02）= q0U12Lightning EnergyA charge q = -30 C is pushed from cloud to ground.U = 2 x 108 V.Energy gained= Work done by electric field

8、 = -qU= -( -30 C)(2 x 108 V)= 60 x 108 J脑电图仪(EEG) 视网膜电图仪(ERG)电势能零点-W = qoJ E d/（P）任意路径W(P = q0J E: di（p）任意路径(P2)-电势差 U12 =申 一 02 = J E d / (Pi )任意路径电场力的功出2 = qE d/ 二 Wi - W2 二 q（0-02）电势的计算 场强积分法(由定义)电势零点亠- J E - dl(P)任意路径步骤：(1) 计算场强；(2) 选择合适的路径 L；(3) 分段积分(计算)。Q r P E dl例点电荷场的电势公式8 丨积分路径沿径向 dl = J dr

9、r 4 no r= J E - dl (p )8Q八=J 洛r 4 no rQ4 ne0 r旷球对称奇标量：正负Q 0，Q R E = e r4 ne0 r若场点在球面内，即r R8 -8 Q(p= E dl =dr =pr 4 nso r*电势分布讨论r、r p 4 hq Rr ? r p 4 ns0 r以无限远为电势零点。由于在球面外直 到无穷远处场强的分布都和电荷集中在 球心处的点电荷的场强分布一样，因此 球面外任一点的电势与电量集中在球心 0 的点电荷的电势分布相同。例求无限长直导线（+1外一点P的电势。解：E m孟叽 TOC o 1-5 h z 1_rpEP町，Q设% = 0,则p点

10、电势： 不合理申 P mJ E，d T mJ 1d r_-1(lnnT)Pr 2 ns0 r2 n0选 %Q m 0Q - P1亠 亠Q亠 亠 Q -%P = j e di = j e di + j e di = J e diTo 1dr 二 1 ln ro1. r r0,(pP 0r 2nsor 2n$o r2. r 0以乩和尽分别表示 电晕极与集电极的半 径，L表示集电极 筒高度，通常L R2,已知空气的击穿 场强为耳。请计算 出管式静电除尘器的 除尘电压。例无限长均匀带电圆筒(Ri, R2)，已知空气的 击穿场强为Em。求两筒面之间的电压。解： P 的场强为： e =1 er 一2 ns

11、0 r内外两极间电压为R2亠亠U =申 R 0R2 = J E dl12 R1=JR2-1R12 ns0 r=儿山R2 ns0 R1例 无限长均匀带电筒(R1,R2)，已知空气的解：击穿场强为Em。求两筒面之间的电压。E =er2 ne0 rU = fE - d/ =2-ln Rr2 nSoRl=11ln(R2 Ri)Ur ln(R2 R1)r ln( R2/ R1)由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到 空气电离的最大电场强度 Em 时，就可获得高 压电源必备的除尘电压U = Em RJn RR1例 巧克力碎屑的秘密 II 巧克力粉末及其电荷被均匀地以体电荷密度 r =-11 xlO-3 C

12、/m3散布在半径为R = 5.0 cm聚氯乙烯管 管道中。(1)求管道中的电势(设在接地的管壁上电势 为零)；(2)管道中心与其内壁之间的电势差是多少？ 解：Eint=r尸申= Eint -血=Jdr = 依2 一 r 2 )rr 2q4。在r = 0处，center =気人一”宀V 故 U = 0center 一洙=776xl04 V-a例 平行板电容器两板间的电势差 解：平行板电容器内部的场强为E /0两板间的电势差：U12 =(j)E d/ =(j Edl(+)(+)(-)=E J dl(+)U12 二 Ed1.4.4 电势的计算一、电势叠加原理（电势零点）-（P = JE dl =（p

13、 ）qi吒列电4n%r(电势零点L -(电势零点)-J ZEi dl =Z JEi dl(P) ii (P)0 = J d0 =J&dq4 ns0Mi （电势零点）二、任意带电体电势列（电势零点）-1）由定义式出发0= JEdl（P）2）电势叠加原理0 = 00 = J d 0方形的四个顶角上，各顶角与正方形中心 O 的距离例点电荷q1, q2, q3, q4均为40 xlO-9 C,放置在一正均为 5.0 cm， (1) 计算 O 点的电势；(2) 将试验电荷 q0 = 1.0 xlO-9 C从无限远处移到O点，电场力做的 功为多少？(3) 电势能改变多少？是增加还是减少？q1 -Q q4q

14、2二解 (1) 选无限远处为电势零点，根 据电势叠加原理， O 点电势为：9O =01 +02 +03 +04=401 = 4- = 2880 V4 ns0 r A = 00(08-00)= -2.88 x 10_6 J(3)壮一 WO = A = -2.88 x 106 J电势能改变 WO 一 W= 2.88 x 106 J增加0 = 3 OP = r4ne0 r_1 q i 1 (- q)+4ns0 r+4ns0 r_甲=申+七甲_ =1 qlcos 3例 求距电偶极子相当远处的电势。解：1q0+ =4ns0 r+r+ r cos 3 r r + cos 3+ 2 _ 21 q 10= 4

15、nS0 r cos 3 4nS0 r + - cos 3 4ns0 r 221_p er _ 1 p rOH* TBIMfrz 03=寸2 Q I ILrol0SOV70 I s解：取 dqdq = l dx =dx例均匀带电直线，长/,带电为Q，求其延长线上离杆 B 端距离为 a 的 P 点的电势。l ldxp点电势伽=0吠(p =(p =3. 电量可非均匀分布。例 求均匀带电圆环轴线上的电势 (R，q)。另解：圆环轴线上任一点的场强为：E =q-i方向沿轴线指向无限远4 ns0 (-2 + R 2距环心为-处p点的电势为：Vr/ (P = p E - d =iP Ed-q-d-_ q4 n

16、s0yl - 2 + R 2例 己知：均匀带电总电量Q,半径R。求：盘轴线上任意点 P 处的电势。解：利用电势积分法。1.分割合适电荷元 dq = adS ” nR 2dS = 2n pdpd0 = 4 ns0 rdq2.电荷元dq在P处电势3总电量Q在P处电势0=J d0=JQQ 4 ns0 (p2 + x2 卜0 = d = JQQ 4 no (r2dq+ x2nb 2 - pdpR04n0(p2 + x2) 2 =Q4 ns0 R 2=(IR2 + x2 - x)2n0 R21 p2 + x 20环0 = 4注意：0盘o = 2环o例 两个半径分别为 R1 和 R2 的带电球面同心放置,

17、所带电量分别为Qi和Q2,求其电 场的电势分布。解：Q1 产生的电势分布为r Ri)14 ns0 r区域内壳贡献外壳贡献总电势r R10 -Q1内-4n0R0 -Q201内+ 02内R1 r R201外 - 4n0r02 外 _d 24 ns0 r01外+ 02外解： 总电势分布为0 = 0 +Ql + Q(r R1)4 ns0 R14 ns0 R2= - +Q1(R1 v r R2)dq 10内4 ns0 r 4 ne0 rB 負(R - rB )+ 4nB 3 尿-R1)例均匀带电球层r内外半径为R1, r2,求：a、b两点的电势 解：取带电球面 dg = p4 nr 2dr1.求申AR2

18、 dqR2 p4nr2dr=J dW = =r1 4 ns0 r=P倨-R1)2旬2求(pBR2pB =0於外+伽内=JrB6.0 3 R - rB -驚当 R1 = 0 时，均匀带电球体内% =務3 R 一 rB)一）已知电荷分布求电势1.点电荷q 一 4n%r2.点电荷系申_2叭_2 qi=14 no r3.电荷连续分布的带电体d = q4 ns0 r二）已知电场分布求电势电势零点-=JE dl电势的计算方法P （任意路径L ）（1）零点的选取注意 （2）最方便的路径（3）E 分区时，分区积分02 一01 =03 一02等势面 1.4.5 等势面(Equipotential Surface

19、s) 一、定义由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程0( x, y, z ) = C 当常量C取等间隔数值时，可以得 到一系列的等势面。 等势面的法线方向指向电势增高的 方向。规定：任意两个相邻等 势面之间的电势 差相等。电偶极子人心脏的等 电势线，类 似于电偶极 子。cos0 = 0二、等势面与电场线的关系过等势面与电场线处处正交证：设一试探电荷 q0 沿等势面电场力所做的元功d/ = q0E dl = q0Edlcos0 = 0 nn乂f&= n E丄dl2电场线指向电势降的方向设申c %，AF指向电势升高的方向2 = qoE - Af = qO0a 一 qO0c V 0E - AF V

20、 0 , E与A反向Ef 指向电势降落的方向等势面的疏密反映了场的强弱设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值0+A0 EAn 或 E 0AnAn T 0E = limAmO An等势面密的地方场强大真空中静电场小结两个物理量 E 申两个基本定理Y Q内isE -dS = JlE d/ = 00两种计算思路E = J dE0= J d0(Q)(Q)Y Q内P(0)Js E - dS -0= J E dl强调两句话 (P)点电荷 均匀带电球面（体）注重典型场无限长的带电线（柱）注重叠加原理无限大的带电面（板）1.2.3.1.4.6 电势梯度 (Potential gradient)、电场

21、强度和电势的关系 积分关系式% = f E -血b = 0a微分关系式E = - grad% = -V%grad%, V%:电势梯度SI单位：伏/米(V/m)二、电势梯度两等势面电势分别为0和0 + d0且呦0er: P1点处法线方向的单位矢量花Z、P3dw:两个等势面之间在P1点处的法向距离pd7 对任意 dldn d00 0 + d0dw dl在Pl点处，沿er方向的电势增加率最大grad0 = d0erdn电势梯度:在方向上与该 点处电势增加率最大的方 向相同，在量值上等于沿 Gl=i注意 电势梯度是矢量三、 电场强度和电势微分关系的证明已知：在静电场中，等势面与电场线 处处正交。电场线的方向，亦P2即电场强度的方向，指向电势 Xd p 降落的方向。eXp 3当单位正电荷从电势为(P的p