2021-2022学年江苏省南京市金陵高二上学期期末数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 19 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 页2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高二上学期期末数学试题一、单选题1经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为（）ABCD【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为，将交点坐标代入求得，即可的解.【详解】解：由，解得，即两直线的交点坐标为，设所求直线的方程为，则有，解得，所以所求直线方程为，即.故选：B.2已知等比数列满足，则数列前6项的和（）A510B126C256D512【答案

2、】B【分析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，可得，解得，所以数列前6项的和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3若圆与圆相外切，则的值为（）ABC1D【答案】D【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.【详解】由可得，所以圆的圆心为，半径为，由可得，所以圆的圆心为，半径为，因为两圆相外切，所以，解得，故选：D4下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平

3、行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|30cm，则|AD|（）A10cmB20cmC25cmD30cm【答案】B【分析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，故双曲线方程为，设，则，则，所以，则，解得：，故.故选：B5已知为偶函数，且当时，其中为的导数，则不等式的解集为()ABCD【答案】A【分析】根据已知不等式和要

4、求解的不等式特征，构造函数，将问题转化为解不等式.通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.【详解】令，则根据题意可知，g(x)是奇函数，当时，单调递减，g(x)是奇函数，g(0)0，g(x)在R上单调递减，由不等式得，.故选：A.6函数的图象的大致形状是（）ABCD【答案】B【分析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，即，又，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误

5、；对D，函数 在上不单调，故D错误.故选：B.7已知数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.【详解】解：依题意，当时，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C.8已知数列满足，在任意相邻两项与 (k1，2，)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列记为数列的前n项和，则的值为（）A162B163C164D165【答案】C【分析】确定数列的前70项含有的前6项和64个

6、2，从而求出前70项和.【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故故选：C二、多选题9已知等差数列的前n项和为，且，则（）A数列是递增数列BC当时，最大D当时，n的最大值为14【答案】BCD【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，依次判断各选项即可得出结果.【详解】等差数列中，公差，数列是递减数列，A错误 ，B正确.，数列是递减数列，当时，最大,C正确.,.当时，n的最大值为14,D正确.故选:BCD.10已知函数f (x)的定义域为R，导数为，如图是函数的图象，则下列说

7、法正确的有（）A函数f (x)的单调递减区间是B函数f (x)的单调递增区间是Cx0是函数f (x)的零点Dx2时函数f (x)取极小值【答案】BD【分析】根据的图像，分析出各个区间的导函数的符号即可判断每个区间的单调性.【详解】由图可知，当 ，即 是单调递减的，当 时，是单调递增的， 时， ，是单调递增的，在x=-2时取极小值，故A错误，B正确，D正确，对于C，不能判定是的零点，故错误；故选：BD.11已知P(x，y)为曲线上一动点，则（）A若zxy，则z的最大值为1B存在一个定点和一条定直线，使得点P到该定点的距离等于点P到该定直线的距离CP到直线yx2的距离的最小值为D的最小值为6【答案

8、】ABD【分析】由曲线为抛物线的右半部分（包含原点）即可判断B正确；借助二次函数的最值即可判断A正确；数形结合判断C选项错误；利用抛物线的定义即可求出的最小值，从而判断D正确.【详解】由题意知：，即曲线为抛物线的右半部分（包含原点），由抛物线定义可知，B正确；，当时，A正确；由图像可知，原点到直线yx2的距离最小，此时距离为，C错误；设点，易知抛物线焦点为，准线为，设点到准线的距离为，则，D正确.故选：ABD.12已知函数，g(x)lnx，其中e为自然对数的底数下列结论正确的是（）A函数yf(x)g(x)在(0，1)上单调递减B函数yf(x)g(x)的最小值大于2C若P，Q分别是曲线yf(x)

9、和yg(x)上的动点，则|PQ|的最小值为D若f(mx)g(x)(1m)x对恒成立，则【答案】BCD【分析】AB.令，用导数法判断；C. 由与关于对称，且与切于，与切于求解判断；D.将f(mx)g(x)(1m)x对恒成立，转化为对恒成立，用导数法求解判断.【详解】解：设，则，所以在上递增，又，又，则存在，当时，递减，当时，递增，故A错误；有，即，所以当时，当时，所以，又，则，故B正确；易知与关于对称，且与切于，与切于，所以|PQ|的最小值为，故C正确；若f(mx)g(x)(1m)x对恒成立，则对恒成立，令，则，所以在上递增，则，即，令，则，当时，当时，所以，则，解得，故D错误；故选：BCD三、

10、填空题13曲线在点处的切线方程为_【答案】【分析】求导后令求出切线斜率，即可写出切线方程.【详解】由题意知：，当时，故切线方程为，即.故答案为：.14已知是等差数列，设，数列的前n项的和为，则_【答案】-3033【分析】先求得，进而得到，再利用并项法求解.【详解】解：因为是等差数列，且，所以，解得，所以，则，所以，.故答案为：-303315已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)若，则椭圆的离心率为_【答案】 【分析】由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以为直角三角

11、形，即，所以设，则，所以，得，因为则，所以，所以，即离心率为，故答案为：16已知函数集合，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为_【答案】32【分析】作出的图像，由时，不等式成立，所以，判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价于时，；时，；利用数形结合，进行求解.【详解】作出的图像如图所示：因为时，不等式成立，所以，符合条件的非零整数根只有三个.由可得：时，；时，；所以在y轴左侧，的图像都在的下方；在y轴右侧，的图像都在的上方；而，.平移直线，由图像可知：当时，集合A中除了0只含有1，2，3，符合题意，此时整数a可以取：-23，-22，-21-9.一共15个；当时，集合A中除了

12、0含有1，-1，-2，符合题意.当时，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合题意，此时整数a可以取：5，6，720一共16个.所以整数a的值一共有15+1+16=32（个）.故答案为：32【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：(1)零点个数：几个零点；(2)几个零点的和；(3)几个零点的积.四、解答题17已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程

13、为（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为 过点，解得 所求圆的方程为（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为 故由点到直线的距离公式得：解得，所以直线l的方程为综上所述，则直线l的方程为或【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题

14、.18已知等差数列中，等比数列中，(1)求数列的通项公式；(2)记，求的最小值【答案】(1)(2)0【分析】（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可知，则，观察分析即可解【详解】(1)设等差数列的公差为d，所以由，得所以，从而，所以，q3，所以(2)由（1）可知，所以，当n1时，为正值所以；当n2时，为负值所以；当时，为正值所以又综上：当n3时，有最小值019已知函数f(x)ax2lnx(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数g(x)x2，若存在，使得f(x)g(x)，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析；(2).【

15、分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】(1)当a0时，在(0，)上恒成立；当a0时，令得；令得；综上：a0时f(x)在(0，)上单调递减；a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；(2)由题意知 ax2lnxx2 在(0，)上有解则axx22lnx，令，xg(x)0g(x)极大值所以，因此有所以a的取值范围为：【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.20等差数列的公差d不为0，满足成等比数列，数列满足.(1)求数列与的通项公式：(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)，

16、(2)【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差，即可求出的通项公式，由，当时，求出，当时，两式作差，即可求出；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；【详解】(1)解：由已知，又，所以故解得（舍去）或故当时，可知，当时，可知得又也满足，故当时，都有；(2)解：由（1）知，故，由得整理得.21已知椭圆C：经过点，且离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在O：，使得O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有若存在，求出r的值，并求此时AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用离心率和椭圆所过的点列出方程组，求出，求出

17、椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出AOB面积的取值范围.【详解】(1)因为椭圆C：的离心率，且过点所以解得所以椭圆C的方程为(2)假设存在O：满足题意，切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：ykxm与椭圆方程联立，消去y得，()设，由题意知，()有两解所以，即由根与系数的关系可得，所以因为，所以，即化简得，且，O到直线l的距离所以，又，此时，所以满足题意所以存在圆的方程为O：AOB的面积，又因为当k0时当且仅当即时取等号又因为，所以，所以当k0时，斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点易知存在圆的方程为O：且综上，所以【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.22函数(1)求在上的单调区