函数与导数 (2)

1、函数与导数函数是数学永恒的主题，是中学数学中最重要的主干知识之一，导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础，其观点及其思想方法，贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识。在高考中，对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、最值、证明不等式问题等，体现高考的综合热点。是高考考查等价转化，化归，数形结合，分类讨论等数学思想和数学方法的主要阵地，所以在高考中函数知识占有极其重要的地位。从近几年高考命题的特点看，函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现多样性，既有填空题又有解答题，体现全方位，多层次，

2、巧综合，变角度，重能力等多方面的特点。主要涉及知识点有以下几个方面：一函数的概念与性质函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容，对于函数性质的考查在高考中频率较高，属热点问题。首先我们必须牢固掌握所有基本知识点，构建知识网络和基本的解题方法。例1：（2013江苏）已知是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为.解析：因为是定义在上的奇函数，所以易知时，解不等式得到的解集用区间表示为;本题考查函数的奇偶性和解不等式。解题思路有两种：一是利用奇函数的性质：，先求出时，再解不等式；二是利用奇函数的性质：奇函数的图像关于原点对称，作出函数的图像，再利用和图

3、像解决问题。奇函数是我们解题的突破点。例2：（2012江苏）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值为 -10 本题考查函数的周期性。解题思路：根据函数的周期性知：对,有，故有，且，可以解出和的值。函数的周期性是解题的出发点。二：牢固掌握基本初等函数及图像和性质基本初等函数主要包含：二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，对初等函数的考查主要突出图像和性质极其简单的应用，同时也是考查数列、不等式等知识的载体。需熟练掌握基本初等函数的图像和性质，尤其是指数、对数函数的图像和性质。例3（2012江苏）函数的定义域为 本题主要考查函数的定义域和对数函数的简单性质。例4.（2013

4、江苏）平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为.解析：由题意设,则有令,则 其对称轴方程为： = 1 * GB3 .时， = 2 * GB3 . 时， 综上.本题主要以反比例函数作为载体，主要考查了二次函数的最值问题，体现了转化与化归，和分类讨论的思想方法。故我们应该重视基本函数知识的理解和应用。例5.（2014江苏）已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是 例6. （2014江苏）已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 三：导数的概念和运算利用导数的几何意义求曲线在某点

5、处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义：表示曲线在点处的切线的斜率。例7.（2014江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 -3四函数的应用函数的应用主要包含两个方面：实际应用和综合应用，历来是高考重视的考点，主要体现在函数模型、函数与方程方面，函数与方程已成为高考命题的热点。常与导数融合考查函数的图像与性质。利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题已经成为高考考查的热点问题，例8（2012江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知

6、炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由x（千米）y（千米）O例9. （2013江苏）设函数 ，其中为实数.(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.解：（1）， 由题意：对恒成立，即对恒成立， 所以， 在上有最小值 当时，恒成立，在无最值 当时，由题意， 。 综上：的范围是：（2）在上是单调增函数 对恒成立，即对恒成立，所以。 令，

7、则 则有的零点个数即为与图像交点的个数 令，则 易知在上单调递增，在上单调递减 函数在时取到最大值 又当时，当时， 所以易由图可知：时，有1个零点 时，有2个零点本题主要与导数结合考查了函数的性质，函数的零点。体现了转化和数形结合的解题思想，将函数的零点个数转化为与图像交点的个数。例10.（2012江苏）已知是实数，1和-1是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数解：（1）由题设知：，且，解得。（2）由（1）知，因为，所以的根为，于是函数的极值点只可能是当时，；当时，故是的极值点。当时，故1不是的极值点。所以的极值点为-2.（3）令，

8、则。先讨论关于的方程根的情况，。当时，由（2）可知，的两个不等根为1和-2，注意到是奇函数，所以的两个不等根为-1和2.当时，因为所以-2，-1,1,2都不是的根，由（1）知 = 1 * GB3 当时，于是是单调增函数，从而，此时无实根，同理，在上无实根。 = 2 * GB3 当时，于是是单调增函数，又的图像不间断，所以在内有唯一实根，同理在内有唯一实根。 = 3 * GB3 当时，故是单调减函数，又，的图像不间断，所以在内有唯一实根由上可知：当时，有两个不等实根，满足；当时，有三个不等实根，满足，现考虑函数的零点：（ = 1 * roman i）当时，有两个根满足，而有三个不等的实根，有两个

9、不等实根，故有5个零点。（ = 2 * roman ii）当时，有三个不等的实根，满足，而三个不等的实根，故有9个零点.综上可知：当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点.本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用，考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大例11. （2014江苏）已知函数其中e是自然对数的底数（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在，使得成立试比较与的大小，

10、并证明你的结论本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1），是上的偶函数（2）由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立（3），当时，在上单调增令，即在上单调减存在，使得，即设，则当时，单调增；当时，单调减因此至多有两个零点，而当时，；当时，；当时，例5：（2013江苏）设函数 ，其中为实数.(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.解：（1）， 由题意：对恒成立，即对恒成立， 所以， 在上有最小值 当时，恒成立，在无最值 当时

11、，由题意， 。 综上：的范围是：（2）在上是单调增函数 对恒成立，即对恒成立，所以。 令，则 则有的零点个数即为与图像交点的个数 令，则 易知在上单调递增，在上单调递减 函数在时取到最大值 又当时，当时， 所以易由图可知：时，有1个零点 时，有2个零点本题主要与导数结合考查了函数的性质，函数的零点。体现了转化和数形结合的解题思想，将函数的零点个数转化为与图像交点的个数。四：导数的概念和运算利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义：表示曲线在点处的切线的斜率。例6：在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是本题

12、主要考查导数的几何意义、函数的最值问题，直线是曲线的切线是解题的突破口，切点是导数几何意义中的必备要素，从而很快明确需设出切点，利用导数的几何意义找到的关系。五：利用导数求函数的单调区间、极值、最值。利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题已经成为高考考查的热点问题，解决此类问题要明确:导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可。例7：（2012江苏）已知是实数，1和-1是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数解：（1）由题设知：，且，

13、解得。（2）由（1）知，因为，所以的根为，于是函数的极值点只可能是当时，；当时，故是的极值点。当时，故1不是的极值点。所以的极值点为-2.（3）令，则。先讨论关于的方程根的情况，。当时，由（2）可知，的两个不等根为1和-2，注意到是奇函数，所以的两个不等根为-1和2.当时，因为所以-2，-1,1,2都不是的根，由（1）知 = 1 * GB3 当时，于是是单调增函数，从而，此时无实根，同理，在上无实根。 = 2 * GB3 当时，于是是单调增函数，又的图像不间断，所以在内有唯一实根，同理在内有唯一实根。 = 3 * GB3 当时，故是单调减函数，又，的图像不间断，所以在内有唯一实根由上可知：当时

14、，有两个不等实根，满足；当时，有三个不等实根，满足，现考虑函数的零点：（ = 1 * roman i）当时，有两个根满足，而有三个不等的实根，有两个不等实根，故有5个零点。（ = 2 * roman ii）当时，有三个不等的实根，满足，而三个不等的实根，故有9个零点.综上可知：当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点.本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用，考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大六.突出函数与导数为主的综合应用高考命题

15、强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查。中学数学的内容可以聚合成数与形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看作两个函数值的大小比较，数列、三角则是特殊的一类函数。所以，在高考中涉及函数的考题面很广，所以，高考对有关函数综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在于方程、不等式等相关知识的联系，要求具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现以函数为载体，多种能力同时考查的思想。例8：记函数的导函数为，已知（）求的值（）设函数，试问

16、：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由（）若实数和（），满足：，试比较与的大小，并加以证明解：（），由得 （），令得，当时，是增函数；当时，是减函数当时，有极小值，也是最小值，当时，；当时（可取体验），当时，函数有两个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点，综上所述，存在使得函数有且只有一个零点 （），得， 则，当时，设，则（当且仅当时取等号），在上是减函数，又，当时，设，则（当且仅当时取等号），在上是增函数，又，综上所述，当时 ，当时本题主要考查函数、导数基础知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解等能力，体现函数与方程思想、数形

17、结合思想、化归和转化思想、分类与整合思想。函数导数，是高中数学的一个重要组成部分，与各大模块的关系都非常紧密，是整个高中数学的基础。我们在学习理解中应予以高度重视，并注意如下几个方面：1.对函数概念的复习要“恰到好处”，求函数的解析式，定义域，零点，值域，一般出现在填空题中，属基础题，因此复习时不宜拓展。2.对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点。并注重横向联系。历年来高考中考查对函数知识的应用。既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注对数学思想方法的考查。试题多数围绕函数的概念，性质，图象等方面命题。围绕二次函数，分段函数，指、对数函数等几个基本函数来进行，故在复习中，应该全面夯实基础，突出对上面所讲重点内容的复习。3.另外，对函数性质单调性，奇偶性，周期性和图象对称性等内容的考查，多以组合形式，一题多角度考查，尤其是利用导数解决函数的单调性与极值，最值问题，不等式问题，函数与方程的联系等重点考点。考查力度还有可能加大。而函数题的综合趋势几乎涉及所有模块，但重点还是在与不等式综合。在解