自动控制理论：5第五章 频率特性法-4

1、2022/7/13第四节 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性 时域中闭环系统稳定的充分必要条件是：特征根都具有负的实部，即位于s平面的左半部。也可用代数判据Routh（劳斯）和赫尔维茨判据判断。 本节介绍工程实用的图解法判据Nyquist（乃奎斯特）判据和基于 Bode(伯德)图的稳定性分析。 2022/7/13第四节 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性 一、Nyquist稳定判据的基本原理 Nyquist判据是利用系统开环幅相频率特性判断闭环系统稳定性的图解法. 可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标。2022/7/13第四节 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性 （）映射原理 Nyquis

2、t判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数 S平面上的点，将按上式映射到F(S)平面上的相应点；S平面上的零点将映射到F(S)平面上的原点，S平面上的极点将映射到F(S)平面上的无限远点，S平面上的其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。2022/7/13例如： 当取 时， 为 即s平面上的点（ 1j2）映射到F（s）平面上的（1.115-j0.577）点，因此，当动点sl在s平面上顺时针方向绕封闭曲线C一周时，则在F(s)平面上也将映射出一条闭合曲线 。如图5-34所示。2022/7/13图5-34 s平面与F(s)平面的映射2022/7/13更为具体的例子见图5-35。图5-

3、35 上半s平面内的直线和在平面上的变换 2022/7/13映射原理： 设C为s平面上不经过F(s)的任何极点的封闭曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则当动点s顺时针在C上围绕一周时，映射到F(s)平面上的闭曲线将逆时针围绕坐标原点N 次，且有： N=p-z 2022/7/13映射原理：设C为s平面上不经过F(s)的任何极点的封闭曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则当动点s顺时针在C上围绕一周时,映射到F(s)平面上的闭曲线将逆时针围绕坐标原点N 次，且有 N=p-z 例如，对于当s平面上的封闭曲线包围两个 的极点时， 平面上的轨迹将逆时针方向包围 平面上原点两次 。见

4、图5-36。其零点为: 极点为：2022/7/130图5-36 s平面与F(s)平面的映射定理示例12022/7/13当s平面上的封闭曲线包围两个 的极点和两个零点时， 平面上的轨迹将逆时针方向包围 平面上原点0次 ，即不包围原点。见图5-37。D1ABFEDCA1B1F1E1C1图5-37 s平面与F(s)平面的映射定理示例22022/7/13如果s平面上的曲线只包围一个零点，相应的 的轨迹将逆时针包围原点1次，即顺时针包围原点一次；如果s平面上的封闭曲线既不包围的 零点又不包围 的极点， 平面上的轨迹将永远不会包围其原点。见图5-38。图5-38 s平面与F(s)平面的映射定理示例3202

5、2/7/13（二）特征函数F（s）与G(S)H（S）的关系设开环传递函数G(S)H(S)=B(S)A(S)， 则闭环传递函数为令F(s)为系统的闭环特征式，则有显然，F(s)的极点就是开环传递函数的极点；而F(s)的零点就是闭环传递函数的极点。2022/7/13根据闭环系统特征方程： F(S)=1G(S)H(S)=0 则有： G(S)H(S) = F(S)-1 这意味着G(S)H(S)与F(S)相差实数1。在映射原理中，闭曲线围绕F(S)平面原点的次数等于闭曲线围绕G(S)H(S)平面上的(1，j0)点的次数。 如图5-39所示。 即可利用前述已绘制的系统开环频率特性曲线(Nyquist曲线)

6、判断闭环系统的稳定性。2022/7/13图5-39 G(S)H(S)平面与F(S)=1G(S)H(S)平面2022/7/13（三） Nyquist回线 1932年Nyquist将映射原理用于自动控制理论的研究，成功地解决了经典控制理论中系统稳定性的分析问题。Nyquist为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个 轴C1(从 到 )和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹C2构成（轨迹的方向为顺时针方向），该封闭曲线为奈奎斯特回线，见图5-40。图5-40 奈奎斯特回线C2C12022/7/132022/7/13因为奈奎斯特回线包围了整个右半s平面，

7、所以它包围了1+G(s)H(s) 的所有正实部的极点和零点。如果 1+G(s)H(s) 在右半s平面不存在零点，则闭环系统在右半s平面不存在闭环极点。，据此，可利用映射原理判断系统稳定性。2022/7/13二、 Nyquist稳定性判据 （一） Nyquist判据 当系统开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统)，得Nyquist稳定判据： 闭环系统稳定的充要条件是：当从-+时，系统的开环频率特性G(j)H(j) 按逆时针方向包围(-1，j0)点P周，P为位于s平面右半部的开环极点数目。即 NP2022/7/13【例5-7】 设系统的开环传递函数为：绘制频率特

8、性曲线，并判断闭环系统的稳定性。解：的频率特性曲线如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，即P0的轨迹不包围所以该系统都是稳定的。图5-41 例5-7的极坐标图2022/7/13（二） 虚轴上有开环极点时的乃氏判据 当系统开环传递函数G(s)H(s)在s平面的虚轴上有极点时(含有积分环节，例如I型系统以上系统)，则不能使用乃氏判据。因为映射定理要求s平面上的封闭曲线不经过F（s）的奇点。 为了在这种情况下应用乃氏稳定判据，需对乃氏回线进行修改。2022/7/13（二） 虚轴上有开环极点时的乃氏判据 为了在这种情况下应用乃氏稳定判据，需对乃氏回线进行修改，为此： 以虚轴上的开环极点为圆心，

9、无限小的正数 为半径作右半圆，形成完整的Nyquist回线。如图5-42所示。图5-42 修改后的乃氏回线及其映射2022/7/13此半径为的半圆在s平面可表示为：映射到 平面为：为开环传递函数中积分环节的个数2022/7/13上式说明当s沿着小半圆从 运动到 时， 角从90度变化到90度，而 平面上的映射曲线将沿半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从 变化到 。见图5-42。 由此时的 平面上完整的映射曲线，即可依据乃氏判据判断系统的稳定性。难点2022/7/13【例5-8】 设系统的开环传递函数为：绘制频率特性曲线，并判断闭环系统的稳定性。解：系统的开环传递函数含有一个积分环节，即 ，其乃氏回线

10、应排除s平面的原点，频率特性由从90度到90度，半径为无穷大的半圆弧段补全。如图5-43所示。 显然，补全后的nyquist曲线不包围（1，j0）点，又，该系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点所以该闭环系统稳定。2022/7/13图5-43 例5-8的乃氏回线及其Nyquist图2022/7/13【例5-9】 设系统的开环传递函数为：绘制频率特性曲线，并判断闭环系统的稳定性。解：系统的开环传递函数含有两个积分环节，即 ，其乃氏回线应排除s平面的原点，频率特性由从180度到180度，半径为无穷大的圆弧段补全。如图5-44所示。 显然，补全后的nyquist曲线包围(-1，j0)点两次，又该系

11、统的开环传递函数在s平面右半部没有极点，所以该闭环系统不稳定。（闭环系统在s平面右半部有2个极点。）2022/7/13图5-44 例5-9的乃氏回线及其Nyquist图2022/7/13【例5-10】设系统具有开环传递函数：试确定以下两种情况下系统的稳定性：增益K较小增益K较大。解：分别绘出两种情况下的nyquist图如下，易判断其稳定性。小K值时是稳定的 大K值时是不稳定的 图5-44 例5-10的Nyquist图2022/7/13【例5-11】 设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和解：1、当 时， 的轨迹不包围2、当 时， 的轨迹通过点 这表明极点位于虚轴上，因此系统是临界稳定的。

12、3、当 时， 的轨迹顺时针方向包围点 两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。 系统是稳定的见图5-45。的相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定闭环系统的稳定性。2022/7/13图5-45 例5-11的Nyquist图2022/7/13【例5-12】 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。解：因此得开环系统的nyquist图如图5-46所示。2022/7/13设有正实部极点个数为x，则有：2022/7/13图5-46 例5-12的Nyquist图图5-46中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，即又， 在右半s平面内有一个极点(p1),所以有，这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。2022/7/13【例5-13】 设一个闭环系统