结构力学龙驭球动力学

1、第 10 章结构动力计算基础1高耸结构210-1 动力计算的特点和动力自由度1、结构动力计算的特点 动力荷载与静力荷载的区别 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。或者荷载虽随时间变化但变得很慢，对结构的影响与静力荷载比相差甚徵，这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，仍属于静力荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 动力计算与静力计算的的区别 两者都是建立平衡方程，但动力计算，根据达朗伯原理利用动静

2、法，建立的是形式上的平衡方程，力系中包含了惯性力；考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。 动力计算的内容：研究结构在动力荷载作用下的动力反应（内力、位移、速度、加速度及惯性力等）的计算原理和方法。3FP (t)tFP (t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载2、动力荷载分类 动力计算涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等）；3）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。 按变化规律及其作用特点可分为： 周期荷载： 荷载随时间作周期性变化。最简单也是最重要的

3、一种称为简谐荷载，荷载FP (t )随时间t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如转动电机的偏心力。其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载。结构动力学的任务讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。4 随机荷载： 冲击荷载：FPtFP (t)ttrFPtrFP短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载） 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或称为随机荷载（如地震荷载、风荷载）。53、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的

4、个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下： 集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mm m梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系62个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等4个自由度m1m2m32个自由度7水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)y(x,t)x无限自由度体系8自由度的确定举例: 1) 平面上的一个质点W=22) W=2*弹性支座不减少动力自由度3) 计轴变时W=2不计轴变时W=1*为

5、减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4) W=15) W=2*自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6) W=27) W=198) 平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的三维刚体W=6W=210) 4) W=15) W=2*自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6) W=27) W=110W=1自由度的确定 8) 平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的三维刚体W=610) W=211) 12) W=13*自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系。11（4）自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1

6、的体系称作多(有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系自由度。（3）自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。（1）弹性支座不减少动力自由度。（2）为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。确定动力计算自由度时应注意以下几点:12 广义坐标法： 假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表示。如具有分布质量 m 的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠度曲线可用三角级数来表示：用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。 ak (t) 称广义坐标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，若式中所需

7、确定的参数a k 只取有限项，则简支梁被简化为有限x yxy(x,t)自由度体系。 ( 此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系)这样，就简化为有限自由度体系。 如右图所示烟囱原来也是一个具有无限自由度的体系，由于底部是固定端，因此 x = 0 处，挠度 y 及转角 应为零。 根据上述位移边界条件，挠度曲线近似设为13 有限元法： 有限单元法可以看作为广义坐标的一种特殊应用。将结构分成若干个单元。单元的结点位移作为基本未知量（广义坐标）。整个结构的位移曲线则借助于给定的形状函数叠加而得。m l/5l/5l/5l/5l/5m l/5m l/5m l/55l/5432105432101(x)y1

8、 = 12(x)5432101 = 1 如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角）作为广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、1，y2、2，y3、3，y4、4 作广义坐标。 通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。 每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和 c中分别给出结点位移参数 y1 和1 相应的形状函数1(x) 和2(x)。 梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：第10章 所有习题动力自由度数的判断，写在课本上14补充 体系运动微分方程的建立 要了解

9、和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。运动方程m施力物体惯性力m形式上的平衡方程，实质上的运动方程15n 次超静定结构基本结构在荷载作用下发生的 沿Xi方向的 位移 基本结构在Xj=1作用下发生的沿Xi方向的 位移 假设原结构沿Xi方向的位移为零位移的地点产生位移的原因16n 次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔度系数及其性质主系数副系数5) 最后内力17一、柔度法F=1柔度系数柔度法步骤

10、：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。mEIly(t)y(t)柔度法实质：从变形协调角度建立运动微分方程,思路类同于力法方程的建立。18二、刚度法mEIl刚度系数刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。1y柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。刚度法实质：从静力平衡角度建立运动微分方程,思路类同于位移法方程的建立。柔度法实质：从变形协调角度建立运动微分方程,思路类同于力法方程的建立。19三、列运动方程例题(1)例1.mE

11、IlEIlF=1l将系数代入并整理后:20例2.=1lmEIlEIl/2l/2FP(t)FPl/4将系数代入并整理后:柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。21k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P= 0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P= 0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP= 0 具有n个独立结点位移的超静定结构： 位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。刚度矩阵中的系数称为刚度系数：对称方阵主系数副系数约束的地点

12、产生反力的原因结构的刚度矩阵基本结构j处附加约束发生单位位移在i处产生的约束反力22层间侧移刚度mlEIEIl1 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.EIllEIEIEI23层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.EIllEIEIEIEIllEIEIEI24三、列运动方程例题(1)例3.mEIlEIl1经整理后,得:25三、列运动方程例题(1)例4.mEIl/2EIl/2126三、列运动方程例题(1)列运动方程

13、时可不考虑重力影响例5.-FP(t)引起的动位移-重力引起的位移质点的总位移为加速度为mEIl/2l/2W27例6 建立图示体系的运动方程y(t)2y(t)3y(t)m2mlllkAm2mlllkA3m2mlllkA思考题?28例7 建立图示体系的运动方程llEImAB方法2:方法1:29三、列运动方程例题(2)例8.m1EIl/3l/3l/3m2=简记为位移向量柔度矩阵荷载向量质量矩阵加速度向量30例9.m1m2=刚度矩阵31例9.m1m2=+32例9.m1m23310-2 单自由度体系的自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置m 获得初位移ym 获得初速度自由振动产生

14、原因：体系在初始时刻（t = 0）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼 .341、自由振动微分方程的建立方法：达朗伯原理应用条件：微幅振动（线性微分方程） 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。mk弹簧模型 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。yym 如图所示的悬臂立柱顶部有一重物，质量为m。设柱本身质量比 m 小得多，可忽略不计。因此，体

15、系只有一个自由度。 设由于外界干扰，质点 m 离开静止的平衡位置。干扰消失后，由于柱弹性力的影响，质点m 沿水平方向产生自由振动，在任一时刻 t质点的水平位移为 y (t)。 取质量 m 在振动中位置为 y 时的状态作隔离体，其上作用有惯性力 ,与加速度 反向；弹性力 与位移 反向。动力平衡法（达朗伯原理）：考虑质点上力系的平衡35 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。FI (t)可得与刚度法相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。mky惯性力：2、自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数C1，C2 由初始条件确定。36设 t =

16、 0 时：（d）式可以写成 由式可知，位移是由初位移 y 引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令(103)式改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A 和 可由下式确定振幅相位角mky37y0ty-yTTTyt0yt0A-A383、结构的自振周期由式及图，可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周 期：工程频率：圆频率：计算频率和周期的几种形式：频率和周期的讨论： 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期； 是结构动力特性的重要数量标志。39l例10-1、计算图示结构的频率和周期。1 计算竖向振动周

17、期E,I1E,A1WlA,E,ImEI1 计算水平振动周期例10-2、图示结构杆顶有重物，其重量为W，分别求水平和竖向振动的周期。40IIEI1=mhk例10-3、计算图示刚架的频率和周期。 由截面平衡条件：41y(t)2y(t)3y(t)m2mlllkAm2mlllkA2m3mlllkA例 计算图示体系的自振频率。42练习10.1：结构柔度系数或刚度系数的求解。h11mmh11kh一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：431l/8l/8练习10-2、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。解：求柔度系数l/81l/2据此可得：1 2 3= 1 1.512 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。mmm习题10-3,10-444IIEI1=mhk例、计算图示刚架的频率和周期。 由截面平衡条件：质点沿振动方向发生单位位移在质点处沿振动方向所需要施加的力质点