三角函数经典例题含解析

1、三角函数经典例题含解析1设锐角的内角的对边分别为,.()求的大小;()求的取值范围.【解析】:()由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.().2在中,角ABC的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC()求角B的大小;20070316()设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)(2a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA0A,sinA0.cosB=.0B1,t=1时,取最大值.,-2+4k+1=5,k=.3在中

2、,角所对的边分别为,.I.试判断的形状;II.若的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4在中,a、b、c分别是角ABC的对边,C=2A,(1)求的值;(2)若,求边AC的长【解析】:(1)(2)又由解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5已知在中,且与是方程的两个根.()求的值;()若AB,求BC的长.【解析】:()由所给条件,方程的两根.(),.由()知,为三角形的内角,为三角形的内角,由正弦定理得:.6在中,已知内角ABC所对的边分别为a、b、c,向量,且(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值【解

3、析】:(1)2sinB(2cos2 EQ f(B,2)-1)=- EQ r(3)cos2B2sinBcosB=- EQ r(3)cos2Btan2B=- EQ r(3)02B,2B= EQ f(2,3),锐角B= EQ f(,3)(2)由tan2B=- EQ r(3)B= EQ f(,3)或 EQ f(5,6)当B= EQ f(,3)时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)ABC的面积SABC= EQ f(1,2)acsinB= EQ f(r(3),4)ac EQ r(3)ABC的面积最大值为 EQ r(3)当B= EQ f(5,6

4、)时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ EQ r(3)ac2ac+ EQ r(3)ac=(2+ EQ r(3)ac(当且仅当a=c= EQ r(6)- EQ r(2)时等号成立)ac4(2- EQ r(3)ABC的面积SABC= EQ f(1,2)acsinB= EQ f(1,4)ac2- EQ r(3)ABC的面积最大值为2- EQ r(3)7在中,角ABC所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.【解析】:(1)由余弦定理:cosB= EQ f(1,4)+cos2B=(2)由b=2,+= EQ f(1,2)ac+42ac,得ac,SABC=

5、 EQ f(1,2)acsinB(a=c时取等号)故SABC的最大值为8已知,求的值【解析】;9已知(I)化简(II)若是第三象限角,且,求的值【解析】10已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)的最小正周期由题意得即的单调增区间为(2)先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,就得到的图象11已知,(1)求的单调递减区间(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值【解析】:(

6、1)当时,单调递减解得:时,单调递减(2)函数与关于直线对称时,12已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】:(1)(2)13设向量,函数(I)求函数的最大值与最小正周期;(II)求使不等式成立的的取值集合【解析】14已知向量,与为共线向量,且()求的值;()求的值.【解析】:()与为共线向量,即(),又,因此,15如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.41

7、4,2.449)【解析】:在中,=30,=60-=30,所以CD=AC=0.1又=180-60-60=60,故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA在中,即AB=因此,故BD的距离约为0.33km16已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.()求的解析式;()当,求的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,由点在图像上的故又(2)当=,即时,取得最大值2;当即时,取得最小值-1,故的值域为-1,220已知的内角ABC所对边分别为a、b、c，设向量，且.（）求的值；（

8、）求的最大值.【解析】（）由，得即也即21已知函数，求：（1）函数的定义域和值域；（2）写出函数的单调递增区间。【解析】:（）函数的定义域函数的值域为（）令得函数的单调递增区间是22如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈途中与地面垂直以为始边，逆时针转动角到设点与地面距离为（1）求与的函数解析式；（2）设从开始转动，经过80秒到达，求.【解析】：（1），（2），(m)23设函数（1）求函数上的单调递增区间；（2）当的取值范围。【解析】：（1），（2）当，24已知函数，（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围【解析】（）

9、又，即，（），且，即的取值范围是25在锐角ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,已知(I)求角A;(II)若a=2,求ABC面积S的最大值【解析】:(I)由已知得又在锐角ABC中,所以A=60,不说明是锐角ABC中,扣1分(II)因为a=2,A=60所以而又所以ABC面积S的最大值等于26甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行,速度为15浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40浬处的B岛出发,朝北偏东(的方向作匀速直线航行,速度为10浬/小时.(如图所示)()求出发后3小时两船相距多少浬?()求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?【解析】:以A为原点,BA所在

10、直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1)Q(x2,y2).(I)令,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20).即两船出发后3小时时,相距锂(II)由(I)的解法过程易知:当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20即两船出发4小时时,相距20海里为两船最近距离.27在锐角中，已知内角ABC所对的边分别为a、b、c，且(tanAtanB)1tanAtanB(1)若a2abc2b2，求ABC的大小；(2)已知向量(sinA，cosA)，(cosB，sinB)，求32的取值范围【解析】D28如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【解析】解法一：设该扇形的半径为r米.由题意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=在中，即解得（米）29已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.(1)求的值;(2)定义行列式运算,求行