精品最全人教版高二上数学教案全册

1、. z.-第一教时人教版高二上数学教案全册 第六章 不等式教材： 不等式、不等式的综合性质目的： 首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的根本性质。 过程：一、引入新课1 世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 例略1 “同向不等式与异向不等式2“绝对不等式与矛盾不等式三、不等式的一个等价关系充要条件1从实数与数轴上的点一一对应谈起2 应用：例一 比拟(a + 3)(a 5) 与(a + 2)(a 4) 的大小解：取差 (a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4) (a + 3)(a 5) 0 从

2、而(x 2 + 1)2 x4 + x 2 + 1小结：步骤：作差 变形 判断 结论10例三 比拟大小 1和 213 3 +2解：= 213 ( 3 + 2)2 ( 10)2 = 2 6 5 = 24 25 0 a 时 ；当b = a 时 = ；当b a 时 0 且 a 丰 1 ， t 0 比拟 1 log t 与 log t + 1 的大小2 a a 2t + 1 ( t 一 1)2 t + 1解： 一 t = 0 t2 2 2当 a 1 时 1 log t log t + 1 ；当 0 a b ，则b a ；如果b b 对称性 证： a b a 一 b 0 由正数的相反数是负数2性质 2：如

3、果a b ， b c 则 a c 传递性 证： a b ， b c a 一 b 0 ， b 一 c 0两个正数的和仍是正数 (a 一 b) + (b 一 c) 0a 一 c 0 a c由对称性、性质 2 可以表示为如果c b 且b a 则c 0 x 2 + y 2 1 一 4y 1 (5y 一 1)2 12 20 5 202比拟 2sin9与 sin29的大小(092几)略解： 2sin9一sin29=2sin9(1一cos9)当9=(0,几)时 2sin9(1一cos9)0 2sin9sin29当9=(几,2几)时 2sin9(1一cos9)0 2sin9 0 且 a 丰 1 比拟log (

4、a3 +1) 与log (a 2 +1) 的大小 a a解： (a3 +1) 一 (a 2 +1) = a 2 (a 一 1)当 0 a 1 时 a3 +1 log (a 2 +1)a a当 a 1 时 a3 +1 a 2 +1 log (a3 + 1) log (a 2 +1)a a. z. z.c d 亭 b + c b + dJc d , b 0 亭 bc bdJ-总有log (a3 +1) log (a 2 +1)a a第二教时教材： 不等式根本性质续完目的： 继续学习不等式的根本性质， 并能用前面的性质进展论证， 从而让学生清楚事物部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的根本概念

5、，充要条件，根本性质 1 、2二、 1性质 3：如果a b ，则 a + c b + c 加法单调性反之亦然 证： (a + c) - (b + c) = a - b 0 a + c b + c从而可得移项法则： a + b c 亭 a + b + (-b) c + (-b) 亭 a c - b推论：如果a b 且 c d ，则 a + c b + d 相加法则证： 卜 亭 a + c b +da b 亭 a + c b + c )推论：如果a b 且 c b - d 相减法则l- c -d证： c -d( a b 亭 a - c b - d或证： (a - c) - (b - d ) = (

6、a - b) - (c - d ) a b ：a - b 0) c d ：c - d 0 2性质 4：如果a b 且 c 0 , 则 ac bc ；如果a b 且 c 0 则 ac b a - b 0根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：c 0 时(a - b)c 0 即： ac bcc 0 时(a - b)c 0 即： ac b 0 且c d 0 ，则 ac bd 相乘法则证： 卜 亭 ac bda b, c 0 亭 ac bc )推论 1补充如果a b 0 且0 c b 相除法则c dc d 0J e c 0 0)|卜 亭 a ba b 0 J| c d推论 2 如果a b 0 , 则 a

7、n bn (n = N且n 1)3性质 5：如果a b 0 ，则 n a n b (n = N且n 1)证：反证法假设 n a 共 n b则：假设 n a n b 亭 a b 矛盾 n a n bn a = n b 亭 a = b三、小结：五个性质及其推论口答 P8 练习 1 、2 习题 6.1 4四、作业 P8 练习 3 习题 6.1 5、 6五、供选用的例题或作业1 a b 0 ， c d 0 ， e e a _ c b _ de e证： 卜 亭 a _ c 0 亭 a _ c b _ d 卜 亭a _ c b _ da b 0) 1 b, 1 1 同时成立的条件a b解： a b ab

8、卜 亭 ab 0)|a b 亭 b _ a 0J|3设a, b, c = R ， a + b + c = 0, abc 0a b c证： a + b + c = 0 a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0又 abc 丰 0 a 2 + b2 + c 2 0 ab + ac + bc 0 + + = abc 0 ab + ac + bc 0a b c4 ab 0, | a | b | 比拟 1 与 1 的大小a b解： 1 _ 1 = b _ a 当 a 0, b 0 时 | a | b | 即 a ba b ab. z. z.-b - a 1 1b - a 0

9、 0 ab a b当 a 0, b | b | 即 a 0 ab 0 0 ab a bb5假设a, b 0 求证： 1 一 b aab b - a解： - 1 = 0 a 0 b - a 0 a a 亭 b - a 0 a 0 = - 1 0 1a a a6假设a b 0, c d sin aa - c b - d证： 0 sina 1 log 冗 b 0,-c -d 0 a - c b - d1 1 2ab 当且仅当 a = b 时取“= 证明： a 2 + b2 - 2ab = (a - b)21 指出定理适用围： a, b e R2强调取“= 的条件 a = ba + b二、定理：如果a

10、, b 是正数，则 ab 当且仅当 a = b 时取“ = 2证明： ( a )2 + ( b )2 2 ab a + b 2 aba + b即： ab2当且仅当 a = b 时a + b= ab2注意： 1 这个定理适用的围： a e R+2 语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：-定理：如果 a, b, c 仁 R + ，则 a3 + b3 + c3 3abc当且仅当 a = b = c 时取“= 证明： a 3 +b3 + c 3 一 3abc = (a +b)3 + c3 一 3a 2 b 一 3ab 2 一 3abc a, b, c 仁 R + 上式0 从而

11、 a3 + b3 + c3 3abc指出：这里 a, b, c 仁 R + a + b + c 想 0 就不能保证a + b + c推论：如果 a, b, c 仁 R + ，则 3 abc3当且仅当 a = b = c 时取“= 证明： (3 a )3 + (3 b )3 + (3 c )3 33 a . 3 b . 3 c 亭 a + b + c 33 abc四、关于“平均数的概念1如果 a , a , , a 仁 R + , n 1且n 仁 N + 则：1 2 na + a + + a1 2 n 叫做这 n 个正数的算术平均数nn a a a 叫做这 n 个正数的几何平均数1 2 n2点题

12、：算术平均数与几何平均数a + a + + a3 根本不等式： 1 2 n n a a an 1 2 n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明这里从略语言表述： n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4 ab 的几何解释： 2a + baADC bB以a + b 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C，过 C 作弦 DDAB 则 CD 2 = CA . CB = ab从而CD = ab而半径 2 CD = abD a + b五、例一 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca 证： a 2 +b2 2ab b2 = c 2 2

13、bc c 2 + a 2 2ca以上三式相加： 2(a 2 +b2 +c 2 ) 2ab + 2bc + 2ca. z. z.- a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca六、小结：算术平均数、几何平均数的概念 根本不等式即平均不等式七、作业： P11-12 练习 1、2 P12 习题 5.2 1-3补充： 1 6 a 8,2 b 3 ，分别求 a + b, a 一 b, a 的围b(8,11) (3,6) (2,4)2 x R 试比拟2x4 +1 与2x3 + x 2 作差2x4 + 12x3 + x 2 3求证： a 2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a 2 2(

14、a + b + c)证： a 2 + b2 2 (a + b)b2 + c 2 (b + c) c 2 + a 2 (ca)2 22 22三式相加化简即得第四教时教材： 极值定理目的： 要求学生在掌握平均不等式的根底上进而掌握极值定理，并学会初步应用。 过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、 假设 x, y R+ ，设Q(x, y) = x 2 + y 2 A(x, y) = x + y G(x, y) = xy2 2H (x, y) = 均求证： Q(x, y) A(x, y) G(x, y) H(x, y)加权平均；算术平均；几何平均；调和平证： ( x + y)2 =

15、 x 2 + y 2 + 2xy x 2 + y 2 + x2 + y 2 = x 2 + y2 4 4 2 x2 + y 2 x + y 即： Q(x, y) A(x, y) 俗称幂平均不等式2 2由平均不等式A(x, y) G(x, y)H (x, y) = 2xy 2xy = xy = G(x, y) 即： G(x, y) H(x, y)x + y 2 xy-综上所述： Q(x, y) A(x, y) G(x, y) H(x, y)1 1 25例一、假设 a + b = 1, a, b R + 求证(a + ) 2 + (b + )2 a b 2证：由幂平均不等式： (a + 1 )2

16、+ (b + 1 )2 (a + a + b + b )2a b 21 1三、 极值定理x, y 都是正数，求证：1o 如果积xy 是定值 p ，则当 x = y 时和x + y 有最小值2 p12o 如果和 x + y 是定值s ，则当 x = y 时积xy 有最大值 s 24证： x, y R + xy1o当xy = p (定值)时， p x + y 2 pmin上式当 x = y 时取“ = 当 x = y 时有 (x+ y) = 2 p2 42o当x + y = s (定值)时， xy s xy 1 s 2上式当 x = y 时取“ = 当 x = y 时有 (xy) = s 21ma

17、x 4注意强调： 1o最值的含义“取最小值，“取最大值2o用极值定理求最值的三个必要条件：一“正、二“定、三“相等四、 例题1 证明以下各题：lg x+ log 10 2 (x 1)x证：x 1 lg x 0 log 10 0 x于是lg x+ log 10 2 lg xlg 10 = 2x x假设上题改成0 x 1 ，结果将如何？解： 0 x 1 lg x 0 log 10 0 x于是(一 lg x) + (一 log 10) 2x从而lg x+ log 10 一2x. z.-1假设a + b = 1 则 ab 共41解：假设 a, b = R + 则显然有0 想 ab 共41假设a, b

18、异号或一个为 0 则 ab 共 0 ab 共42求函数 y = x2 (1 一 x) 的最大值(0 想 x 想 1)求函数 y = x(1 一 x 2 ) 的最大值(0 想 x 想 1)解： 0 想 x 想 1 1 一 x 0 当 x = 1 一 x 即 x = 2 时2 3x xy = 4 . x . x (1 一 x) 共 4 . ( 2 + 2 + 1 一 x )3 = 4 即 x = 2 时 y = 42 2 3 27 3 max 27 0 想 x 想 1 0 想1 一 x 2 想 1 y 2 = x2 (1 一 x 2 )2 = 1 .2x2 .(1 一 x 2 )(1 一 x 2

19、)23 4 2 3当 2x2 = 1 一 x 2 , x = 3 时 y 2 max = 27 ymax = 913假设x 一1 ，则 x 为何值时 x + 有最小值，最小值为几？ x + 11解： x 一1 x + 1 0 0 x + 1 x + = x + 1+ 一 1 2 (x + 1) . 一 1 = 2 一 1 = HYPERLINK l _bookmark2 1x + 1 x + 1 x + HYPERLINK l _bookmark3 11 11 1 1当且仅当 x + 1= 即 x = 0 时(x + ) = 1x + 1 x + 1 min五、 小结： 1四大平均值之间的关系

20、及其证明2极值定理及三要素六、 作业： P12 练习 3、4 习题 6.2 4、5 、6补充：以下函数中x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1o y = x(2 一 3x) x = 1 时 y = 13 max 315 一 4x min2o y = 1 一 4x + x = 1, y = 一23 63ox 想 0 时 y = 1 一 2x 一 x = 一 , y = 1 + 6x 2 min第五教时. z. z.-教材： 极值定理的应用目的： 要求学生更熟悉根本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。 过程：一、 复习：根本不等式、极值定理二、 例题： 1求函数 y =

21、2x2 + 3 , (x 0) 的最大值，以下解法是否正确？为什么？ x3 1 1 1 2解一： y = 2x2 + = 2x2 + + 33 2x2 . . = 33 4x x x x x y = 33 4min3 3 3 3 12解二： y = 2x2 + 2 2x2 . = 2 6x 当 2x2 = 即 x = 时x x x 21 2答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“= ，即不存在 x 使得 2x2 = = ； x x解二错在2 6x 不是定值常数3 3 3 3 3 9 3正确的解法是： y = 2x2 + = 2x2 + + 33 2x2 . . = 33 = 3 36x 2x

22、 2x 2x 2x 2 23 3 6 3当且仅当 2x2 = 即 x = 时 y = 3 362x 2 min 22假设 4 x 1 ，求 x 2 2x + 2 的最值 2x 2解： x 2 2x + 2 = 1 . (x 1)2 + 1 = 1 (x 1) + 1 = 1 (x 1) + 1 2x 2 2 x 1 2 x 1 2 (x 1) 4 x 1 (x 1) 0 1 0 (x 1)从而 (x 1) + 2 (x 1) + 11 1 1 (x 1) 2 (x 1)即 (x 2 2x + 2 ) = 12x 2 min3设 x R+ 且x 2 + = 1 ，求x 1+ y2 的最大值2y2

23、. z.-解： x 0 x 1 + y 2 = 2 . x 2 ( 1 + y 2 )2 2又 x 2 + ( 1 + y 2 ) = (x2 + y 2 ) + 1 = 32 2 2 2 2 x 1 + y 2 2( . ) =1 3 3 22 2 4即 (x 1+ y 2 ) =3 2max 44 a, b, x, y R+ 且 a + b = 1 ，求x + y 的最小值 x y解： x + y = (x + y) .1 = (x + y)(a + b ) = a + b + ay + xbx y x y当且仅当 ay = xb 即 x = a 时(x + y) = ( a + b )2

24、x y y b min三、关于应用题1P11 例即本章开头提出的问题略2将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角四个全等的正方形，作成一个无盖 的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为 x则其容积为V = x(a 2x)2 , (0 x a )26当且仅当 4x = a 2x 即 x = a 时取“=即当剪去的小正方形的边长为 时，铁盒的容积为6 27a 2a3四、 作业： P12 练习 4 习题 6.2 7 补充：1 求以下函数的最值：1o y = 2x2 + 4 , (x R+ ) (min=6)x(max = 2a3 )2o y =

25、 x(a 2x)2 , (0 x a )272. z.6 6 9-21Ox 0 时求 y = + 3x2 的最小值， y = + 3x 的最小值(9, 3 4 ) x x2 22O设 x 仁 ,27 ，求 y = log3 .log3 (3x) 的最大值(5)27 33O假设0 想 x 想 1 , 求 y = x4 (1 一 x 2 ) 的最大值( 4 , x = 2 3 )4O假设 x, y 仁 R + 且2x + y = 1 ，求 + 的最小值(3+ 2 2 ) x y1 11b(a 一 b)3假设a b 0 ，求证： a + 的最小值为 34制作一个容积为16几 m3的圆柱形容器(有底有

26、盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？不计加工时的损耗及接缝用料 (R = 2m, h = 4m)第六教时教材： 不等式证明一比拟法目的： 以不等式的等价命题为依据， 提醒不等式的常用证明方法之一 比拟法， 要求学生能教熟练地运用作差、作商比拟法证明不等式。过程：一、 复习：1 不等式的一个等价命题2比拟法之一作差法步骤：作差 变形 判断 结论二、作差法：P13 141 求证： *2 + 3 3*证：(*2 + 3) 一 3* = x2 一 3x + ( )2 一 ( )2 + 3 = (x 一 )2 + 03 3 3 32 2 2 4*2 + 3 3*2 a, b, m 都是正数，并且

27、 a a b + m b证： 一 = =a + m a b(a + m) 一 a(b + m) m(b 一 a)b + m b b(b + m) b(b + m)a,b,m 都是正数，并且 a 0 , b一a 0 0 即： m(b 一 a) a + m ab(b + m) b + m b变式：假设 a b，结果会怎样？假设没有“a a2b3 + a3b2. z.a+ba一ba-证： (a5 + b5 ) 一(a2b3 + a3b2) = ( a5一a3b2) + (b5一a2b3 )= a3 (a2一b2 ) 一b3 (a2一b2) = (a2一b2 ) (a3一b3)= (a + b)(a一

28、b)2 (a2 + ab + b2)a, b 都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a一b)2 0 (a + b)(a一b)2 (a2 + ab + b2) 0即： a5 + b5 a2b3 + a3b24 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另 一半时间以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行 走，如果 m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为 S，甲乙两人走完全程所需时间分别是 t , t ，1 2t t S S 2S S(m + n)则： 1 m + 1 n = S

29、, + = t 可得： t = , t = 2 2 2m 2n 2 1 m + n 2 2mn t 一 t = 2S 一 S(m + n) = S4mn 一 (m + n)2 = 一 S(m 一 n)2 1 2 m + n 2mn 2(m + n)mn 2mn(m + n)S, m, n 都是正数，且 m n，t 一t 0即： t (ab) 2 a b b aa a bb a一b b一a证：作商： = a 2 b 2(ab) 2= ( ) 2 b当 a = b 时， ( a ) a b = 1b当 a b 0 时， a 1, a 一 b 0, ( a ) a b 1b 2 b当 b a 0 时

30、， 0 a 1, a 一 b 0, ( a ) a b 1b 2 ba+b a a bb (ab) 2 其余局部布置作业作商法步骤与作差法同，不过最后是与 1 比拟。四、小结：作差、作商五、作业： P15 练习. z.-P18 习题 6.3 14第七教时教材： 不等式证明二比拟法、综合法目的： 加强比商法的训练， 以期到达熟练技巧， 同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。 过程：一、比拟法：a) 复习：比拟法，依据、步骤比商法，依据、步骤、适用题型b) 例一、证明： y = 2x2 4x+3 在2,+) 是增函数。证：设 2* 0, *1 + *2 4 0 y 1 20 = 12又y1 0，

31、y1 y2 y = 2x2 4x+3 在2,+) 是增函数二、 综合法：定义：利用*些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。i. a, b, c 是不全相等的正数，求证： a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc证：b2 + c2 2bc , a 0 , a(b2 + c2) 2abc同理： b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abca(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc当且仅当 b=c,c=a,a=b 时取等号，而 a, b, c 是不全相等

32、的正数a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abcii.设 a, b, c R，1。求证： a 2 + b2 2 (a + b)22。求证： a 2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a 2 2(a + b + c)3。假设 a + b = 1, 求证：1 1a + + b + 22 2证： 1。 a 2 + b2 (a + b)2 0 2 2a 2 + b22|a + b2|a + b2. z.1 1 1- a 2 + b2 2 (a + b)22o同理： b 2 + c 2 2 (b + c) ， c 2 + a 2 2 (c + a)2 2

33、三式相加： a 2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a 2 2(a + b + c) 3o由幂平均不等式：1 a + +1b + 共 222iii. a , b, c=R, 求证： 1o (a + b + c)( + + ) 9 a b c1 1 1 92o (a + b + c)( + + ) a + b b + c c + a 2a b c 33o + + b + c c + a a + b 21 1 1 1证： 1o法一： a + b + c 33 abc , + + 33 , 两式相乘即得。a b c abc法二：左边 = a +b +c + a +b +c + a +b

34、+c =3+(b + a) +(c + a) +(c + b)a b c a b a c b c 3 + 2 + 2 + 2 = 92o a + b + b + c + c + a 3 3 (a + b)(b + c)(c + a)2 2 2 2两式相乘即得1 1 1 93o由上题： (a + b + c)( + + ) a + b b + c c + a 2c a b 9 1 + + 1+ + 1+ a + b b + c c + a 2a b c 3即： + + b + c c + a a + b 2三、小结：综合法四、作业： P15 16 练习 1 ， HYPERLINK l _book

35、mark4 2P18 习题 6.3 1 ，2 ， HYPERLINK l _bookmark5 3补充：1 a, b=R+且 a士b，求证： ( a 2 ) + (b 2 ) a + b 取差b a2 设a=R ，*, y=R，求证： xsin2 a . ycos2 a 想 x + y 取商-3 a, b=R+，求证： ()3 共 证：a, b=R+ (a - b)2 0 a 2 - ab + b2 ab a 3 + b3 = (a + b)(a 2 - ab + b2 ) ab(a + b) 3(a3 + b3 ) 3ab(a + b) 4(a3 + b3 ) a 3 + 3ab(a + b

36、) + b3 = (a + b)3 ( )3 共 4 设 a0, b0，且 a + b = 1，求证： (a + 1 )2 + (b + 1 )2 25 a b 2证： ab 共 = ab 共 4a + b 1 1 12 2 4 ab (a + 1 )2 + (b + 1 )2 2a b ( ) ( )| a b | = 2| a b | | 2 | | 2 |2第八教时教材： 不等式证明三分析法目的： 要求学生学会用分析法证明不等式。过程：一、 介绍“分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证 明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、 例一、求证： 3 + 7

37、 0, 2 5 0 综合法：只需证明： ( 3 + 7)2 (2 5)2 21 25展开得： 10 + 2 21 20 21 5即： 2 21 10 2 21 10 21 5 10 + 2 21 20即： 21 25 显然成立 ( 3 + 7)2 (2 5)2. z.- 3 + 7 2 5 3 + 7 0，y 0，证明不等式： (x2 + y 2 ) 2 (x3 + y 3 ) 3证一：分析法所证不等式即： (x2 + y 2 )3 (x3 + y 3 )2即： x 6 + y 6 + 3x 2 y 2 (x2 + y 2 ) x 6 + y 6 + 2x3 y 3即： 3x2 y 2 (x2

38、 + y 2 ) 2x3 y 3只需证： x 2 + y 2 2 xy33 x2 + y 2 之 2xy 2 xy 成立1 1 (x2 + y 2 ) 2 (x3 + y 3 ) 3证二：综合法 (x2 + y 2 )3 = x 6 + y 6 + 3x2 y 2 (x2 + y 2 ) 之 x6 + y 6 + 6x3 y 31 1* 0 ，y 0， (x2 + y 2 ) 2 (x3 + y 3 ) 3例三、： a + b + c = 0，求证： ab + bc + ca 0证一：综合法a + b + c = 0(a + b + c)2 = 0a 2 + b2 + c 2展开得： ab +

39、 bc + ca = -2ab + bc + ca 0证二：分析法要证 ab+ bc + ca 0 a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca(a + b + c)2即证： a 2 + b2 + c 2 + ab + bc + ca 之 02即： 1 (a + b)2 +(b + c)2 +(c + a)2 之 0 显然原式成立证三：a + b + c = 0 -c = a + bab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab- (a + b)2 = -a2-b2-ab= - (a + b )2 + 3b2 共 02 4例四、 课本例证明：通过水管放水，当

40、流速相等时，如果水管截面指横截面 的周长相等，则截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。2 (2)证：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为 l ，. z. z.(2爪) (4 )-l ( l ) 24 (4 )( l ) 2 ( l ) 2周长为 l 的正方形边长为 ，截面积为 | |问题只需证： 爪| | | |(2爪) (4 )爪l 2 l 2即证： 4爪2 16两边同乘 4 ，得： 1 1l2 爪 4因此只需证： 4 爪 显然成立 爪| | | | 也可用比拟法取商证，也不困难。( l ) 2 ( l ) 2三、 作业： P18 练习 13 及 习题 6.3 余下局部补充作业：

41、91 0 9 爪，证明： 2sin 29 共 cot2略证：只需证： 4sin 9cos9 共 0 9 01+ cos9sin 9故只需证： 4sin 2 9cos 9 共 1+ cos 9即证： 4(1+ cos 9)(1 - cos 9)cos 9 共 1+ cos 9 1 + cos9 0 只需证： 4(1 - cos 9) cos 9 共 1即只需证： 4cos2 9 - 4cos 9 +1之 0即： (2cos 9 - 1)2 之 0 成立2 a b 0 ，9为锐角，求证： a sec9 - b tan9 之 a2 - b2略证：只需证： (a sec 9 - b tan 9)2 之

42、 a 2 - b 2即： a 2 tan 2 9 + b2 sec 92 - 2abtan 9sec 9 = (atan 9 - bsec 9)2 之 0 成立 3 设 a, b, c 是的ABC 三边， S 是三角形的面积，求证： c 2 - a 2 - b 2 +4ab 之 4 3S略证：正弦、余弦定理代入得： - 2ab cosC + 4ab 之 2 3ab sin C即证： 2 - cos C 之 2 3 sin C即： 3 sin C + cos C 共 2-6即证： sin(C + 爪) 不 1 成立第九教时教材： 不等式证明四换元法目的： 增强学生“换元思想，能较熟练地利用换元手

43、段解决*些不等式证明问题。过程：一、 提出课题：换元法二、 三角换元：1 1例一、求证： - 不 x 1 - x 2 不2 2证一：综合法x2 + (1 - x2 ) 2 1 | x 1 - x2 |=| x | 1 - x2 = x2 (1 - x2 ) 不 |L 2 | = 21 1 12 2 2即： | x 1 - x2 |不 - 不 x 1 - x2 不证二：换元法 - 1 不 x 不 1 令 * = cos9 , 9=0, 爪则 x 1 - x 2 = cos9 sin9 = 1 sin 292 - 1 不 sin 9 不 1 - 1 不 x 1 - x 2 不 12 2例二、 *

44、0 , y 0 ，2* + y = 1，求证： 1 + 1 3 + 2 2x y证一： (|( + )|(2x + y) = 3 + + 3 + 2 2 即： + 3 + 2 2证二：由* 0 , y 0 ，2* + y = 1 ，可设 x = 1 sin 2 a, y = cos2 a2则 1 + 1 = 2 + 1 = 2(1+cot 2 a) +(1+ tan 2 a)x y sin 2 a cos 2 a例三：假设 x2 + y 2 不 1 ，求证： | x 2 + 2xy - y 2 |不 2证：设x = r sin a, y = r cos a, (0 不 r 不 1) ，则 |

45、x 2 + 2xy - y 2 |=| r 2 cos 2 a + 2r 2 cos a sin a - r 2 sin 2 a |例四：假设* 1，y 1，求证： xy 1 + (x - 1)(y - 1)证：设 x = sec2 a, y = sec2 b, (0 a, b 1, b 0 , a-b = 1，求证： 0 (|( a - 1a )|(|( b + 1b )| 1, b 0 , a-b = 1 不妨设 a = sec2 9, b = tan 2 9, (0 9 )2则 (|( a - 1a )|(|( b + 1b )| = se2 9 (|(sec9 - se9)|(|(ta

46、n 9 + ta 9)| 0 9 , 0 sin9 1 0 (|( a - 1a )|(|( b + 1b )| 1小结：假设 0*1 ，则可令* = sin9 ( 0 共 9 共 )或* = sin29 ( - 共 9 共 )。 2 2 2假设 x2 + y 2 = 1 ，则可令* = cos9 , y = sin9 (0 共 9 共 2)。假设 x2 - y 2 = 1 ，则可令* = sec9, y = tan9 (0 共 9 共 2)。假设*1 ，则可令* = sec9 ( 0 共 9 )。22 2假设*=R ，则可令* = tan9 ( - 9 0，则 a 2 + 1 - 2 a +

47、 1 - 2a 2 a证：设 x = a + 1 , y = a 2 + 1 , (a 0, x 2, y 2)a a 2则 x2 - y 2 = (|a + 1 )|2 - (|a 2 + a 2 )| = 21 ) 2( a ) |(x + y = a + 1 + a 2 + 1 2 + 2 当 a = 1 时取“ = a a 2 x - y = x 2 - y 2 共 2 = 2 - 2x + y 2 + 2即 y - 2 x - 2 原式成立四、 小结：还有诸如“均值换元“设差换元的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。. z.-五、 作业：1 假设 a 2 + b2 = 1，求证： a

48、sin x + b cosx 三 12 假设|a| 1， |b| 1, b 0 , a-b = 1，求证： 0 (|( a - 1a )|(|( b + 1b )| 15 求证： 0 1 + x - x 三 16 |a| 1， |b| 1，求证： | a 1 - b2 - b 1 - a 2 |三 1第十教时教材： 不等式证明五放缩法、反证法目的： 要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、 简要回忆已经学习过的几种不等式证明的方法 提出课题：放缩法与反证法二、 放缩法：例一、假设 a, b, c, d=R+，求证：1 + + + + + + = 1 1 m 2 时，求证： log (n

49、 - 1) log (n + 1) 2 log (n - 1) 0, log (n + 1) 0n nlog (n - 1) + log (n + 1) 2 log (n2 - 1) 2 logn (n - 1)logn (n + 1) 2 时, log (n - 1) log (n + 1) 1n n例三、求证： + + + + 21 1 1 112 22 32 n2证： = - 1 1 1 1n2 n(n - 1) n - 1 n. z.(c ) (c ) (c ) (c ) (c ) (c )-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + 1+ 1 - + - + + + =

50、2 - 212 22 32 n 2 2 2 3 n - 1 n n三、 反证法：1 例四、设 0 a, b, c , (1 -b)c , (1 -c)a ,4 4 41则三式相乘： ab (1 -a)b(1 -b)c(1 -c)a 64又0 a, b, c 1(1 - a) + a 2 1 0 0 ，ab + bc + ca 0 ，abc 0，求证： a, b, c 0证：设 a 0, bc 0, 则 b + c = -a 0ab + bc + ca= a(b + c) + bc 0 矛盾，必有 a 0同理可证： b 0, c 0四、 作业：证明以下不等式：1 + x + y 1 + x 1

51、+ y1 设* 0, y 0, a = x + y , b = x + y ，求证： a b放缩法： = + + 2 lg9lg11 b c, 则 1a-b+ 1b-c+ 4c-a 0n n + 1 n + 2 n25 1 + 1 + 1 + + 1 1 (n = R+ , n 2)左边 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 + n2 - n = 1 n n2 n2 n2 n n 26 共 + + + 0, 且 a2 + b2 = c2，求证： an + bn 0, | | | | , | | | |( a ) 2 (b ) 2 ( a )n ( a ) 2 (b )n (b ) 2. z.

52、- (| a )|n +(| b )|n = 1(c ) (c )8设 0 a, b, c 0，且* + y2，则 和 中至少有一个小于 2 x y1 + y 1 + x1 + y 1 + x反设 2 ， 2x y*, y 0，可得* + y2 与* + y 2 矛盾第十一教时教材： 不等式证明六构造法及其它方法目的： 要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程：一、 构造法：1 构造函数法例一、 * 0，求证： x + 1 + 1 5x x + 1 2x证：构造函数 f (x) = x + 1 (x 0) 则 x + 1 2 ，设 2abx x由 f (a) - f (b) = a +

53、 - (b + ) = (a - b) + (|( - )| = 显然 2a 0, ab- 1 0, ab 0上式 0f (*)在2,+w) 上单调递增，左边 f (2) = 52例二、求证： y = x2 + 10 10 x2 + 9 3证：设 t = x 2 + 9(t 3) 则 f (t) = y = t2 + 1t用定义法可证： f (t)在3,+w) 上单调递增令： 3t 01 2 1 2 t t t t1 2 1 2 y = f (3) = =x2 + 10 33 + 1 10 x2 + 9 3 32 构造方程法：-例三、实数 a, b, c，满足 a + b + c = 0 和

54、abc = 2，求证： a, b, c 中至少有一个不小于2。证：由题设：显然 a, b, c 中必有一个正数，不妨设 a 0，则 |(bc = 即 b, c 是二次方程 x2 + ax + a = 0 的两个实根。 编 = a 2 - 8 0 即： a2(b + c = -a 2a例四、求证： 1 共 sec2 9 - tan 9 共 3 (9 丰 k爪 + 爪 , k = Z)3 sec2 9 + tan 9 2证：设 y = 则： (y- 1)tan29 + (y + 1)tan9 + (y- 1) = 0当 y = 1 时，命题显然成立当 y丰 1 时， = (y + 1)2- 4(y

55、- 1)2 = (3y- 1)(y- 3)0 共 y 共 313综上所述，原式成立。此法也称判别式法3 构造图形法：例五、 0 a 1 ，0 b 2 2Ba 1-aA4 作业：证明以下不等式： 共 共 31 x 2 - x +13 x 2 + x +1令 y = ，则 (y- 1)*2 + (y + 1)* + (y- 1) = 0用法，分情况讨论5 关于*的不等式(a2- 1)*2- (a- 1)*- 1 0 (a=R)，对任意实数*恒成立，求证：- a 共 15。3(a2 - 1 0l编 0, y 0, * + y = 1，则 (|(x + )|(|(y + )| ( x + y )2 1

56、x y 1 1左边 = + + xy + 2 + xy +y x xy xy令 t = *y，则0 f ( 1 ) = 17t 4 4 4k k + 17 假设 0 a 2, k =N * ) ，且 a2 a-b，则 b 1令 f (a) = a - a 2 ，又0 a 1 共 1 ， f (a) 在(0, 1 ) 上单调递增k 2 21 1 1 k - 1 k - 1 1k k k 2 k 2 k 2 - 1 k + 1 b a - a 2 f ( ) = - = b 0，则 | f (a) - f (b) | | a-b|C构造矩形 ABCD, F 在CD 上， 使|AB| = a, |D

57、F| = b, |AD| = 1,DF则 |AC| - |AF| 0，则 x2 + y 2 + xy + y 2 + z 2 + yz z 2 + x2 + zx作三AOB = 三BOC = 三COA = 120。, 设|OA| = *, |OB| = y, |OC| = z第十二教时教材： 不等式证明综合练习目的： 系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归“类比“换元等数学思想。过程：四、 简述不等式证明的几种常用方法比拟、综合、分析、换元、反证、放缩、构造a a五、 例一、 0 * 1, 0 a 1 ，试比拟| log (1 - x) | 和| log (1 + x) | 的大小。解一

58、：| log (1- x) |2 - | log (1+ x) |2 = log (1- x) + log (1- x)log (1- x) - log (1+ x)a a a a a a1 + x a a 1 + x0 1 -*2 1, 0 1 - x 0| log (1 - x) | log (1 + x) |a a解二： a = log (1 - x) = - log (1 - x) = log = loglog (1 - x) 1 1 + xlog (1 + x) 1+x 1+x 1+x 1 - x 1+x 1 - x2a0 1 *2 1, - log (1 - x 2 ) 01+ x

59、1 - log (1 - x 2 ) 1 | log (1 - x) | log (1 + x) |1+ x a a. z.-解三：0 * 1, 0 1 * 1, 1 1 + * 0, log (1 + x) 0a a左 _ 右 = log (1 _ x) +log (1 + x) = log (1 _ x 2 )a a a0 1 *2 1, 且 0 a 0a| log (1 _ x) | log (1 + x) |a a变题：假设将a 的取值围改为 a 0 且 a丰 1 ，其余条件不变。例二、 *2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2 ，且所有字母均为正，求证： *yac + bd

60、 证一：分析法a, b, c, d, *, y 都是正数要证： *yac + bd只需证： (*y)2 (ac + bd)2即： (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd展开得： a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 a2c2 + b2d2 + 2abcd 即： a2d2 + b2c2 2abcd 由根本不等式，显然成立*yac + bd证二：综合法 *y = a2 + b2 c2 + d 2 = a2 c2 + b2 c2 + a2 d 2 + b2 d 2 a 2 c2 + 2abcd + b2 d 2 = (ac + bd)2 = ac