09抛物线与直线的联立

1、A、2aB、C、4aD、一 a秒杀秘籍：焦点弦的特殊几何性质如图，已知AB是过抛物线y2 = 2px（p0）焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN 11 ,N为垂足。则：（1）(3)(4)以AB为直径的圆与准线l相切。(2) FN 1 ABA(x y)、B(x y ),则 y y =-p2,xx =1 p2 (重点)11221 21 2411:+一22 1 22=p (重点)(5)FA FB设BD 11,D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上（重点）:/*KJ .yJLz 8.已知抛物线y2 = 2px（p0）的焦点弦AB的两端点为()A. 4B.-4C. 1抛物线与直线联立的方式

2、与性质证明：（1）过A作AC垂直L，C为垂足。|FA| = |AC|,|FB| = |BD|在梯形ACDBK2：，n 1/CAN = ZANMBF 1=/CAN=/aNNb=90.，acNab为直径的圆与准线l相切。.在 ACN 与 AFN/CaNNaNM,|A平料FFN在Rt ABN中fNN/MCn/ANM,/CAN = /ANM, ACN = AFN :AFN =/ACN = 90 FN 1 AB:.ACN = AFN/AFN = /ACN.FN 1 AB设直线AB的方程为建为耳虫与抛物线。y2 :-:/ AFN = /ACN = 90FN 1AB 2故F =ab2； xx =虻 M=pi

3、 2 尸 1 22 p 2 pP 由于 A =；1 - COS a（5 ）因为点AF +|BF =P1+COS a=2px 联立得：今2 = 2p ky + ，即 y 2 - 2pky - p 2 = 0,111 - cos a 1 + cos a 2； 故1=1=；故 |AF| |BF|pp p，直线oa的方程为y =二x，因此只要证明y9 x21py12 x1即证明A(x , y )， B(x , y )，则关系式1122D.-1圮的值一定等于x xAFl9.已知抛物线y2 = 2px（p0）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于A、B两点若点A的横坐标为x。,则局为2 x =站1 p已知

4、A、B是过抛物线y2 = 2x的焦点的弦，A点坐标为（8,4）， 已知抛物线y2 = 2px（p0）过焦点F的弦AB，则诉引+ |F前=设坐标原点为O,抛物线y2 = 2x与过焦点的在线交于A、B两点，则OA OB =2 x y = - py即证明y2y =-p2y ,y y =-p21211 2则B点的坐标为.直线l交抛物线y 2 = 2x于M（x1,y1）,N（x2,y2）,且/过焦点，则七y2的值为过抛物线y2 = 4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线有A、一条8、二条C、无数条D、不存在过抛物线y2 = 2px（p0）的焦点且与x轴垂直的弦AB

5、,抛物线的准线与x轴的交点为C，则/ACB人、大于90。B、等于90。C、小于90。D、不能确定抛物线y = ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，已知PF=p,FQ=q，则2 p（）A.x 0mnpB.2 x010.过抛物线y = ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则m + n等于（）A. B. C. 2a D.2a4a4过抛物线y2 = 4x的焦点F作直线m交抛物线于点A、B，则AAOB是（）A 直角三角形 B 锐角三角形C 钝角三角形D 不确定过抛物线C： y2=2px （p0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以

6、AB为直径的圆与C的准线有公共点M,若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A. 1 B. 2C. 4 D. 8已知点F是抛物线C： y2 = 2px（p0）的焦点，过F且倾斜角为60。的直线l交平抛物线C于A、B两点（B在x 轴下方），过B左抛物线C的对称轴的平行线交抛物线的准线于C，试判断直线AC是否过原点？如图已知抛物线y2 = 4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线l与x轴交于K点.（1）写出 抛物线的焦点坐标及准线方程；（2）求证：KF平分ZMKN； （3） O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、 0设直线MN的倾斜角为，试用9表示线段PQ的长度IPQI，并求IPQ

7、I的最小值.例1：求直线y = x-1被抛物线y2 = 4x截得线段的中点坐标。4(y + 1)n y + y = 4 n y2 - 4y - 4 = 0，故 y = y1 + y2 = 21202解：y = x -1 n x = y + 1，代入抛物线方程得：y2 =x0 = y0 +1 = 3，即中点坐标为G,2）。例2： F是抛物线y2 = 2px（p0）的焦点，点A （4,2）为抛物线内一定点，点P是抛物线上一动点。已知|PA| + PF秒杀秘籍：定理：已知AB是抛物线y 的倒数）推论一：推论二：两种直线与抛物线的联立形式2 = 2px（p0）弦，则令AB方程为x = ky + m，故

8、y2 = 2p（ky + m） （k为直线AB斜率 故 y + y = 2 pk; y y = -2 pmy1 + y2 = 2pk n y =皓六=pk （中点弦问题）（k为直线AB斜率的倒数） y - y = -k（x-x ）n 0- pk = -k（x-x ）n x = x + p （中垂线过定点问题）故抛物线y2 = 2px（p0）的弦AB中点M（x0, yj，则AB中垂线过定点（x0 + p,0） 22x x + y y = 1 2 + y y = m2 - 2pm n m = 2p 时，OA 1 OB。（垂直问题）21 24 p 21 2故OA 1 OB o直线AB过点（2p,0

9、）已知AB是抛物线x2 = 2py（p0）弦，则令AB方程为y = kx + m，故x2 = 2p（x + m） （k为直线AB斜率） 推论一：x1 + x2 = 2pk n x = % + x1 y 一 y 02 = pk （中点弦问题）（k为直线AB斜率） 02一x0）n y 一y0 =-1（0一pk）n y = y0 + p （中垂线过定点问题）故抛物线x2 = 2py（p0）的弦AB中点M（x0,y0），则AB中垂线过定点G,y0 + p） x 2 x 2推论二：x x + y y = x x + = = m2 - 2pm n m = 2p 时，OA 1 OB。（垂直问题）1 2121

10、 24 p 2故OA 1 OB o直线AB过点（0,2p）+ - 4 + - 8 n p - 8，故抛物线方程为y2 = 16x ； 2.AB 方程为 x - ky + m，OA OB - 0 n xx + yy - 01 212ky + m）n y 2 -16ky -16m - 0 ； y1 y2 - -16m ；（16,0 ），的最小值为8J1）求抛物线方程；（2 ）若O为坐标原点，问是否存在点M,使过点M得动直线与抛物线交于B、 C两点,OA OB = 0,若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由。解：（1）如图，令p到准线的距离为根据几何性质|pa| + p尸| - |pa| + d

11、|pa| + |pf|， 故（pa| + pf |） - xA （2）令 A（x , yB（x , y直线与抛物线联立得2 y2 -16xx + y y - 1 y 2 + y y - m2 - 16m n m -16，故 M 点坐标为 1 21 21621 2例3：已知抛物线y2 - 4 x的焦点为F ,直线l过点M （4,0） .（I）若点F到直线l的距离为0）上异于原点O的两点，则“OA OB =0”是“直线AB恒过定点（2p,0广的（）A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件已知抛物线y2=4x的焦点F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线

12、与x轴的交点是（4, 0），则IABI是最大值为（）A. 2B. 4C. 6D. 10（2015四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x-5） 2+y2=r2 （r0）相切于点M,且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A.（1, 3） B.（1, 4） C. （2, 3） D. （2, 4）已知抛物线y2=4x的焦点F, A, B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4, 0）,则IABI是最大值为（）A. 2B. 4C. 6D. 10 A,B是抛物线y2 - 2px（p0）上的两点，且OA 1OB , （1）求A,B两点

13、的横坐标之积和纵坐标之积；（2） 求证：直线AB过定点；（3）求弦AB中点P的轨迹方程；（4）求AAOB面积的最小值；已知p0,动点M到定点F I ,0|的距离比M到定直线l: x = - p的距离小.（I）求动点M的轨迹C的方V2 ）2程;（II）设a, B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,OAOB - 0,求AAOB面积的最小值；（111）在轨迹C上是否存在两点P,Q关于直线m : y - k x - p （k丰0）对称?若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.V 2）如图，A、B是抛物线C : y2 - 2px（p0）上的两个动点，F是焦点，直线AB不垂直于x轴且交x轴于点D .（

14、1） 若D与F重合,且直线AB的倾斜角为:，求证：E.B是常数；（2）若|af| + |BF| - 8 ,线段AB的垂直平分线恒 过定点Q（6,0），求抛物线C的方程； TOC o 1-5 h z 过点M （2, 1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px （p0）交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为（）RA.B. 1 C. D. 22过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若IMNI=40，贝|J|HFI=（） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 设直线x+y=1与抛物线y2=2px （p0）交于A，B两点，若OAOB，则 O

15、AB的面积为（）A. 1 B 3C5 D. 2已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若IAFI+IBFI=6，则点 D 的横坐标为（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2抛物线y=2x2上两点A （x1，y1），B （x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2= - 1，则2m的值是（）A. 3B.4 C.5D.6设A、B是抛物线y2=2px （p0）上的两点，O是坐标原点，已知OAOB，ODXAB于D，点D的坐标为（1，3），贝| P= （） A. 2 B. 3C. 4D. 5已知直线y=2 （x - 1）与抛物线C： y2=4x交于A，B两点，点M （- 1，m），若MAMB=O,则m