高等代数环的定义及性质

1、. 环的定义与根本性质环的定义：定义1：交换群称为加群群，其运算叫做加法，记为+。定义2：代数系统称为环，假设，是加群；代数系统适合结合律；乘法对加法的分配律成立。例子1、都是环，均称为数环。、，则也是数环，称之为高斯整环。设是任一数环，则关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。所有模剩余类，则是模剩余类环，这里，设，是加群，规定乘法如下：，则作成一个环，称之为零环。二环的根本性质：。为整数。、为整数。、为整数。为整数。假设环中元、满足，则。、为整数三交换律与单位元：、定义：环叫做交换环，假设有定义：环的元称为单位元，假设有约定：环假设有单位元，则记其单位元为，并称为有的环。性质：设是有环，则假

2、设；假设不仅含一个元，则、定义：为有环，、则称为的逆元，记为。性质：有环的所有可逆元关于乘法构成群。整环、除环、域一整环、定义：设为环，、，假设但，则称为的一个左零因子，为的一个右零因子。定理：在一个无左零因子的环里，两个消去律都成立；反之，假设一个环里有一个消去律成立，则该环无零因子。推论：环中，假设有一消去律成立，则另一消去律也成立。、定义：无零因子的有交换环称为整环。、例子、分别是全阵环的左右零因子。整数环是整环；实数域上的多项式环是整环；证明左逆元不是零因子。二除环与域、定义：一个至少包含一个非零元的有环中，假设的任一非零元都有逆元，则称为除环或体。交换除环称为域。根本性质：除环无零因

3、子。为除环有，且都可逆。为除环，则关于乘法作成一个群，反之也然。为除环，则，方程 在中各有唯一解。为域，、则方程在中各有唯一解，且解一样，记为商的形式。在域中，商有如下性质：；。环、整环、除环、域的隶属关系：无零因子环域有环交换环整环除环环无零因子环的特征定理：无零因子环的非零元对于加群而言阶一致。定义：无零因子环的非零元在加群中的阶叫做该环的特征。环的特征记为定理：无零因子环的特征或为无限大，或为素数。推论：整环、除环、域的特征或无限大，或是素数。子环、环的同态一子环、子环的概念与例子定义：设是环的一个非空子集，假设对于的两个运算也作成环，则称为的子环，而为的扩环。特别，可相仿得到子体、子域

4、的概念。、子环的判别定理定理：为环的非空子集，以下四条等价：为的子环；。定理：设是体域的非空子集，以下四款等价：是有子体域；且；。、环与子环关于交换律、零因子、单位元的情形：关于交换律： = 1 * GB3 交换环的子环必是交换环； = 2 * GB3 非交换环的子环可能是交换环，也可能是非交换环。关于零因子： = 1 * GB3 无零因子环的子环无零因子； = 2 * GB3 有零因子环的子环可能有零因子，也可能无。关于单位元的例： = 1 * GB3 、的单位元都为，这里. = 2 * GB3 为的单位元，而的单位元为 = 3 * GB3 的单位元为，但的子环偶数环却无单位元 = 4 *

5、GB3 对运算，作成环，但无单位元，而为的子环，有单位元 = 5 * GB3 为偶数环，为的子环，与都无单位元二环的同态以下总设、是代数系统。、环的同态根本性质：定理：设是环，则也是环，而且；假设为交换环，则也是交换环；假设有，则为的单位元。定理：设、都是环，则是整环体、域是整环体、域。关于零因子与特征的例：为合数，则而无零因子，有零因子；规定则是环，且有零因子令，则，但无零因子。为素数，同1，则，且，但。、挖补定理：引理：假设存在代数系统到集的一个双射，则可在上规定代数运算，使。定理挖补定理设是环的子环，是在中的补集，是另一环。假设，且则存在的扩环使。五、理想定义：环的一个非空子集叫做的一个

6、理想子环，简称理想，如果、。任何一个环都至少有两个理想：环本身，称为环的单位理想；以及，称为该环的零理想。定理：除环只有零理想与单位理想。定理：是一个环，则是的一个理想。定义：定理中的称为由生成的的一个主理想，记为。定理：设为环的元，则假设为交换环，则假设为有环，则假设为有交换环，则。定理：为环的元，则是的理想。定义：定理中的称为由生成的理想，记为。六、剩余类环、同态与理想假设为环的理想，则；是；的不变子群，则商群，其中为所在的陪集，并称为的一个模剩余类。显然，定理：对于运算作成一个环，且，这里为环的一个理想。定义：称为环的模的剩余类环。定理：、都为环，且，则为的一个理想，且定理：环，则的一个子环理想的象是的子环理想；的一个子环理想的逆象是的子环理想。七、最想定义：一个环的一个不等于的理想，假设没有其它包含的理想存在，则称为的一个最想。即，假设为之一理